ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 421
Скачиваний: 2
мальчик - девочка, девочка - мальчик и девочка - девочка. Если
предположить, что все 4 типа семей встречаются одинаково часто, то
вероятность семьи с двумя мальчиками будет равна 1/4. Наблюдения
показывают, что это соответствует действительности, однако на каком
основании мы предположим, что семьи всех 4-х типов встречаются
одинаково часто?
В этом рассуждении мы, кроме предположения, что половина всех
новорожденных – мальчики, должны сделать еще одно предположение. Мы
предполагаем, что если первый ребенок мальчик, вероятность того, что и
второй ребенок будет мальчиком, все равно остается равной
Р(В)
=1/2,
другими словами, что пол второго ребенка не зависит от пола первого.
Таким образом, в половине всех семей с двумя детьми первый ребенок
мальчик, и в половине семей от этой половины второй ребенок тоже будет
мальчик. Значит, вероятность того, что в семье будет два мальчика, равна
Р(АВ)
=1/2·1/2=1/4. Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к
выводу, что вероятность и всех других типов семей также равна 1/4.
Условные вероятности.
До сих пор мы рассматривали только
независимые
события. Но нам часто может понадобиться найти вероятность
того, что произойдут два события, причем вероятность одного из них зависит
от того, произошло или нет другое.
Событие
А
называется
зависимым
от события
В
, если вероятность
события
А
меняется в зависимости от того, произошло событие
В
или нет.
Вероятность события
А
, вычисленная при условии, что имело место
другое событие
В
, называется
условной вероятностью события А
и
обозначается
Р(А|В)
или
Р
В
(А)
.
Условная вероятность события
А
при условии наступления события
В
равна:
(
)
(
)
( )
P AB
P A B
P B
(5)
Эта формула называется формулой
условной вероятности
.
Какова, например, вероятность того, что из двух карт, наугад вынутых
из колоды, обе окажутся пиковой масти? Вероятность того, что первой
картой будет пиковая, равна
Р(В)
=13/52=1/4. После того, как одна пиковая
карта уже вынута, в колоде остается 51 карта, из них 12 – пики.
Следовательно, вероятность того, что второй картой будет пиковая, при
условии, что пиковой уже была первая, равна
Р(А|В)
=12/51, т.е. не равна 1/4.
Формула полной вероятности:
Пусть дана группа несовместных
событий
B
1
, B
2
…
B
n
и некоторое событие
А,
подразделяющееся на частные
случаи
АB
1
, АВ
2
... АВ
n
.
И пусть даны вероятности
Р(B
1
), Р(В
2
,...Р(В
n
)
и
условные вероятности
Р(А|В
1
), Р(А|В
2
)...Р(А|В
n
).
Требуется определить
вероятность
Р(A)
.
Так как
А = АB
1
+ АВ
2
+... + АВ
n
,
(6)
то
Р(А)= Р(АВ
1
+ АВ
2
+... +АВ
n
)
(7).
События
B
1
, B
2
…
B
n
- несовместные, следовательно, события
АB
1
,
АВ
2
... АВ
n
тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для
несовместных событий:
Р(А) = Р(АВ
1
+АВ
2
+... + АВ
n
) = Р(АВ
1
)+ Р(АВ
2
)+. . . +Р(АВ
n
)
(8)
.
По теореме умножения для каждого слагаемого имеем:
Р(АВ
i
) = Р(В
i
)Р(А|В
i
)
(9)
.
Следовательно
Р(А) = Р(В
1
)Р(А|В
1
) + . Р(В
2
)Р(А|В
2
) + …+ Р(В
n
)Р(А|В
n
)
(10).
Или
1
( )
( )
( |
)
n
i
i
i
P A
P B
P A B
(11).
Эта формула называется
формулой полной вероятности
.
В рассмотренной схеме событие
А
осуществляется только вместе с
каким-либо из событий
B
1
, B
2
…
B
n
.
Последние, таким образом, выступают
как единственно возможные и взаимно исключающие условия,
определяющие появление события
А,
или как гипотезы, в предположении
которых (и только их) может произойти событие
А
.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть, например, мы знаем, что в семье с тремя детьми есть девочка, и
нас интересует вероятность того, что у этой девочки есть старший брат.
Очевидно, вероятность зависит от того, старшая, средняя или младшая из
детей эта девочка. Для того, чтобы решить эту задачу, мы должны четко
представить, что в данном случае означает вероятность. Мы определили
вероятность как отношение числа «успешных испытаний» к общему числу
«испытаний». В данном случае можем представить себе, что собрали всех
девочек страны и отобрали из них тех, в семье которых есть, кроме них, еще
два ребенка. Эти отобранные девочки и будут представлять собой
«испытания». Те из них, у кого есть старший брат, соответствуют
«успешным испытаниям».
Из отобранных нами девочек:
Р(В
1
)
=1/3 будут старшими в семье и у них старших братьев не будет
(
Р(А|В
1
)
=0);
Р(В
2
)=
1/3 будут средними и у половины из них будут старшие братья
(
Р(А|В
2
)
=1/2);
Р(В
3
)=
1/3 будут младшими и по крайней мере один старший брат будет
у 3/4 из них (так как вероятность того, что из двух старших детей по крайней
мере один мальчик, равна 3/4) (
Р(А|В
3
)
=3/4);.
Итак, искомая вероятность равна:
Р(А)
=1/3
0+1/3
1/2+1/3
3/4=5/12.
Подобные расчеты часто используются при применении близнецового
метода исследования признаков.
Формула Байеса.
Пусть дана группа несовместных событий
B
1
, B
2
…
B
n
и
некоторое событие
А,
подразделяющееся на частные случаи
АB
1
, АВ
2
... АВ
n
.
И
пусть даны вероятности
Р(B
1
), Р(В
2
,...Р(В
n
)
и
условные вероятности
Р(А|В
1
),
Р(А|В
2
)...Р(А|В
n
).
Требуется определить условные вероятности
Р(В
1
|А)
,
Р(В
2
|А),...Р(В
n
|А).
По теореме умножения
Р(АB) = Р(В)Р(А|В)
или
Р(АВ) = Р(А)Р(В|А
(12).
Следовательно,
Р(В)Р(А|В)=Р(А)Р(В|А)
(13)
.
Воспользуемся последним равенством и выразим
Р(В|А)
в общем
случае:
1
(
| )
(
)
( |
)
n
i
i
i
i
P B A
P B
P A B
(14).
P(A)
находим по формуле общей вероятности:
1
( )
( )
( |
)
n
i
i
i
P A
P B
P A B
(15).
Итак,
1
(
) ( |
)
(
| )
(
) ( |
)
i
i
i
n
i
i
i
P B P A B
P B A
P B P A B
(16).
Эта формула называется
формулой Байеса
.
События
В
i
называют гипотезами, а теорему Байеса - теоремой гипотез.
Вычисление общих вероятностей всегда начинают с некоторых
допущений, а затем рассчитывают вероятность некоторого определенного
события. При расчете обратных вероятностей задача состоит в том, чтобы,
исходя из некоторого имевшего места события или группы событий,
определить вероятность того, что некоторое общее утверждение более или
менее истинно. В такой форме задача неразрешима и, более того,
бессмысленна, если под «вероятностью» мы имеем в виду «частоту
события». Общее утверждение не может быть истинным только в некоторой
доле случаев. Однако существует класс задач, в которых «обратное
рассуждение» применяется для вычисления вероятности того, что некоторое
утверждение истинно. Утверждение не может носить общего характера и
быть иногда ложным, а иногда истинным. Приведем пример, поясняющий
этот метод.
Предположим, что женщина с группой крови 0 выходит замуж за
мужчину с группой крови АВ и у нее рождаются двое мальчиков-близнецов с
группой крови В. Если это все, что нам известно, то какова вероятность того,
что эти близнецы однояйцовые?
Трудность заключается в следующем: если бы мы знали, что двое
близнецов, родившихся от такого брака, однояйцовые, то было бы нетрудно
рассчитать вероятность принадлежности их обоих к группе крови В, но ведь
нам предложено решить обратную задачу. Начнем с простого. Генетическая
схема наследования групп крови будет иметь следующий вид:
О А
О В
1
2
О
А
1
2
О
В
Таким образом, вероятность того, что оба двуяйцовых близнеца имеют
группу крови В, равна 1/2·1/2=1/4. В случае однояйцовых близнецов
вероятность того, что первый будет иметь группу крови В, равна 1/2; второй
будет, разумеется, иметь ту же группу крови. Таким образом, вероятность
того, что оба однояйцовых близнеца будут иметь группу крови В, равна 1/2.
Р(2В | дв.) =1/4;
Р(2В | одн.) = 1/2.
Нам же нужно определить Р(одн. | 2В), т.е. вероятность того, что
близнецы однояйцовые, при условии, что оба они имеют группу крови В. Эту