Разворачиваем определитель, учитывая парность касательных напряжений:



Путем сокращения получаем:









Корни полученного характеристического кубического уравнения напряженного состояния представляют собой величины главных напряжений . Для определения ориентации площадки, где действует в уравнение системы







вносится значение вместо , далее определяются значения l,m,n с учетом теоремы косинусов, определяются l₁,m₁,n₁. Аналогично для 2 и 3.

Инварианты напряженного состояния в точке.

Расположение главных площадок и значение главных напряжений в точке тела зависит от действующих напряжений и не зависит от системы координат и ее изменения. Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения напряженного состояния инвариантны к изменению системы координат. Инвариант - коэффициент характеристического уравнения напряженного состояния, не зависящий от системы координат.







Тензор напряжений.

Напряженное состояние в точке тела описывают с помощью скалярных величин напряжений или 3 векторов, включающих 3 скалярные величины.

Величины, описываемые векторами, принято называть тензорами.



Тензор симметричен в силу парности касательных напряжений, что позволяет характеризовать его 6 скалярными величинами.

---

6. 
   Дифференциальные уравнения равновесия.
   

Рассмотрим равновесие элемента тела, примыкающего к точке А с координатами (x,y,z).



На гранях, содержащих точку А напряжения имеют следующие значения:

АDEF:

ABCD:

ABGF:

AGBC: ( )

HGFE: ( )

HCDE: ( )

Кроме напряжений на гранях, на объем действуют массовые силы X,Y,Z. Спроецировав действующие силы на оси координат, получим дифференциальное уравнение равновесия:







Уравнения равновесия для моментов:

7. 
   Краевые условия для напряжений.
   

Равновесие элементов, примыкающих к поверхности тела, обеспечивается силами, действующими на поверхности. И наоборот, силы на поверхности уравновешиваются напряжениями, возникающими в теле.



Нагрузку на поверхности тела можно представить как вектор напряжений

---

, действующий на поверхности dS. Элемент поверхности dS, ввиду его малости, можно рассматривать как площадку с нормалью V, напряжение, возникшее в теле можно связать с нагрузками на поверхности, используя уравнение системы







Получим краевые условия:

8. 
   Д еформированное состояние в точке, тензор деформаций. Инварианты тензора деформаций. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела (уравнения Коши).
   

Определение понятия деформации выводится на основании допущения о том, что перемещение точек неподвижного тела возможно только вследствие его деформации. Решается геометрическая задача об изменении длины и взаимных углов между элементами тела. Перемещение точки твердого тела после деформации в проекциях на координатные оси обозначают - эти величины малы и непрерывны в пределах всего тела. Рассмотрим элементарный объем:
Если тело подвергается деформации и компоненты перемещения в точке Р, то перемещение в напряжении оси Х точки А на длине dx составит следующее:



Соответственно увеличение длины ребра РА вследствие деформации равно . Относительное удлинение в точке Р в направлении оси Х соответственно . Аналогичное рассуждение справедливо для других осей .

Относительное удлинение обозначают - и называют линейной деформацией 1 рода:

---

Кроме линейных деформаций твердое тело можно деформировать без изменения объема, сдвигом:




Рассмотрим изменение угла между элементами РА и РВ в плоскости XY



После перемещения, линейный элемент РА переместиться в новое положение P’A’и образует с начальным положением угол . Аналогично P’В’ образует угол . Первоначальный угол между элементами РВ и РА равный 90 уменьшиться на величину - эта величина представляет собой деформацию сдвига между плоскостями и обозначается







Связь перемещения точек тела и деформаций тела выражается с помощью 6 уравнений, называемых формулами Коши:













6 величин, описывающих деформацию тела, образуют тензор деформаций:



Тензор симметричен относительно главной диагонали, вследствие парности угловых деформаций

Деформации инвариантны к преобразованию системы координат:

---

Компоненты тензора деформации не могут быть произвольными величинами, не связанными с - величинами перемещений. Для определения перемещений по величинам деформации они должны удовлетворять 6 уравнениям неразрывности (сплошности):













Если уравнения неразрывности деформации не удовлетворяются, то деформация тела происходит с разделением на фрагменты или с образованием надрывов на поверхности.

9. 
   Закон Гука для упругой изотропной среды.
   

Опытным путем установлено, что процесс деформации конструкционных материалов разделяется на несколько этапов:

1. 
   Характеризуется линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.
   

Р. Гук в 1679 году первым опубликовал о линейной связи деформаций и напряжений. Линейное соотношение между тензором напряжений и тензором деформаций принято называть законом Гука.





Для трехмерного напряженного состояния закон Гука приобретает другую форму:

---

Смотрите также файлы

• Введение (Задачи организации работы складского хозяйства строительной организации).docx

• Инструкция по просмотру результатов и подаче апелляций.docx

• Вопрос 1 Регулярно ли Вы питаетесь в ресторане быстрого обслуживания да, нет.docx

• Курсовой проект пм 01 Участие в проектировании зданий и сооружений мдк 01. 02 Проект производства работ Тема Проектирование проекта производства работ на возведение жилого дома с декоративной штукатуркой Курсовой проект выполнен.docx

• 1. Д. Исабековті пке драмасында суреттелген отбасылы мселе.docx