Файл: Лекция 1 Основные понятия и определения теории моделирования.pdf

Лекция №1
Основные понятия и определения теории
моделирования
Моделированием называется замещение одного объекта, называемого
системой, другим объектом, называемым моделью, и проведение экспериментов с моделью (или на модели), исследование свойств модели, опираясь на результаты экспериментов с целью получения информации о системе.
Моделирование позволяет исследовать такие системы, прямой эксперимент с которыми: а) трудно выполним; б) экономически невыгоден; в) вообще невозможен.
Система'>Моделирование
- важнейшая сфера применения средств вычислительной техники, когда положения теории моделирования используются в различных областях науки, производства и техники.
Система
Модель создается на основе исходной системы.
Система — это совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в одно целое для достижения некоторой цели, которая определяется назначением системы. При этом элемент — это минимально неделимый объект, рассматриваемый как единое целое.
Существует большое количество различных классификаций систем: по характеру взаимодействия элементов, по характеру изменения системы во времени и т.д. Рассмотрим следующую классификацию:
Система
Модель

Все системы можно разделить на детерминированные (без каких либо случайных или неизвестных внешних факторов), стохастические (системы, в которых действуют случайные факторы), и неопределенные системы (в которых вообще-то могут и не присутствовать случайные факторы, но некоторые детерминированные факторы нам неизвестны и не могут быть нами определены).
1. Детерминированные системы можно разделить на:
1.1 Статические, которые не изменяются со временем.
1.2. Динамические, которые зависят от времени. Динамические системы делятся на:
1.2.1. Непрерывные, в которых время изменяется непрерывно.
1.2.2. Дискретные, в которых состояние изменяется не непрерывно, а скачками – дискретно.
2. Стохастические системы также могут быть
2.1.Статическими, тогда в системе присутствуют случайные
величины.
2.2 Динамическими, тогда в системе присутствуют случайные
процессы. Динамические стохастические системы делятся на
2.2.1 Непрерывные
2.2.2 Дискретные
3. Неопределенные системы подразделяются на подвиды в зависимости от причины, по которой мы не можем определить ее параметры:
3.1. Игровые системы- в системе действуют две стороны, цели которых взаимопротивоположны. Каждая из сторон точно знает параметры собственной подсистемы, но не знает параметры подсистемы противника.
3.2. Природные системы – некоторые параметры действующих природных факторов не до конца изучены.

3.3. Системы с неизученными взаимосвязями. В этих системах все параметры известны, но нет точного представления об их взаимодействии.
3.4. И др.
Примеры систем
1. Детерминированная статическая система: распределение товаров от поставщиков к потребителям. Требуется определить количество некоторого товара, которое нужно перевести от производителей с известными объемами производства к потребителям с известными объемами потребления из условия минимума затрат на транспортировку.
2. Детерминированная динамическая непрерывная система: полет баллистического управляемого снаряда. Необходимо определить закон управления для движения снаряда так, чтобы он поразил цель.
В этой модели мы должны контролировать скорость, высоту и дальность полета, то есть отслеживать изменение состояния объекта во времени.
Система
Детерминированная
Стохастическая
Неопределенная
Непрерывная
Дискретная
Статическая
Динамическая
Непрерывная
Дискретная
Статическая
Динамическая
Игровая
Природная
Неизученные взаимосвязи
Др.

3. Детерминированная динамическая дискретная система: вызов лифта. В момент вызова лифт может быть свободен или занят. Если лифт свободен, то он может находиться на одном из 9-ти этажей.
Если занят – то идти на один из 9 этажей. После освобождения и вызова лифт может оказаться также на одном из 9 этажей (на том, где была нажата кнопка вызова). Для описания подобных систем используются так называемы конечные автоматы, чаще всего в виде диаграмм переходов (специальных графов).
4. Стохастическая стационарная система: сигнализация. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.
Какова вероятность того, что оба сигнализатора откажут одновременно?
5. Стохастическая динамическая непрерывная система: управление самолетом в трудных погодных условиях. Необходимо определить параметры автопилота самолета при турбулентных возмущениях атмосферы с известной интенсивностью так, чтобы он летел по заданной траектории.
6. Стохастическая динамическая дискретная система: автосервис.
Автосервис работает круглосуточно и имеет три бокса для ремонта. На осмотр и ремонт каждой машины затрачивается в среднем 50 мин. В среднем в автосервис приезжают 52 машины в сутки в случайные моменты времени. Если машина, прибывшая в автосервис, не застает ни одного бокса свободным, она уезжает. Хватит ли имеющихся боксов, а если нет, то сколько надо добавить, чтобы автосервис обслуживал не менее 95% приезжающих машин? Это задача теории массового обслуживания.
7.
Игровая система: оборона города. Сторона А обороняет город от авианалѐтов противника. Для этого могут использоваться зенитные

установки трех конструкций I, II и III. Известно, что у противника имеется три типа самолетов-бомбардировщиков. Для каждого типа самолетов известна самая эффективная в смысле поражения установка, но не известно, на каком конкретно самолете будет осуществлен очередной налет. Необходимо определить установку для обороны.
8.
Природная система: выращивание картофеля.
Сельхозпредприятие имеет три участка земли: влажный, средней влажности, и сухой.
Один из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, а остальные – для посева зеленой массы.
Известно, что для получения хорошего урожая требуется определенное количество влаги в почве: при излишней влажности картофель может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться. Требуется определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай, если средняя урожайность на каждом участке в зависимости от погодных условий известна, а какие точно будут погодные условия – нет.
9. Система с неизвестными взаимосвязями: прогноз загрязнения атмосферы. Известно, что количество свинца в воздухе зависит от его выброса автомобильным транспортом, но не напрямую. Т.е. зависит от факторов, которые можно измерить и посчитать (типов автомобилей, типов их двигателей, количества автомобилей на данном участке и т.п.), и от целого набора факторов (типа застройки данного района города, степени износа каждого автомобиля и т.п.), которые измерить невозможно. Необходимо уметь предсказывать уровень загрязнения атмосферы свинцом только по измеряемым факторам.

Модель
Модель — это физический или абстрактный объект, отражающий в той или иной степени процессы в исследуемой системе.
Основное требование к модели – это еѐ адекватность (приравненный,
равный - лат.), под которым понимается степень соответствия процессов, протекающих в модели, процессам, имеющих место, в системе, и, следовательно, степень соответствия свойств и характеристик модели свойствам и характеристикам системы.
Адекватность модели зависит от: а) степени полноты и достоверности сведений об исследуемой системе; б) степени учета в модели всех действующих факторов; в) соответствия зависимостей параметров в модели реальным зависимостям этих параметров в исходной системе. г) уровня подготовки и опыта самого исследователя.
Модели подразделяются на: а) физические; б) математические, в том числе компьютерные.
Физические модели — это "материальные" модели, эквивалентные или подобные в той или иной степени оригиналу. В общем случае физические модели — это модели, процесс функционирования которых такой же, как у оригинала, имеет ту же или подобную физическую природу.
Математические модели — это абстрактные модели, представляющие собой формализованное описание изучаемой системы с помощью абстрактного языка: в виде формул, таблиц, графов, алгоритмов и т.п.
Компьютерные модели являются лишь реализацией математических моделей, и не могут существовать отдельно.
Компьютерная модель – это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например, рисующими и изменяющими графические образы во времени).

В данном курсе физические модели не рассматриваются.
Математические, а, следовательно, и компьютерные модели делятся на три больших класса: аналитические, имитационные и интеллектуальные.
Далее рассмотрим аналитические и имитационные модели более подробно.
Аналитические модели
Такие модели применимы для систем, которые полностью можно описать в виде некоторых математических соотношений (алгебраических формул, дифференциальных уравнений, логических цепочек и т.д.).
Большинство детерминированных систем
(статических или динамических) можно описать аналитически в виде либо системы уравнений, либо в виде задачи оптимизации.
Пример 1 – детерминированная статическая модель:
Купец продаѐт двух коней с сѐдлами, причем цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Конь А с хорошим седлом втрое дороже коня
В с дешѐвым, а конь В с хорошим седлом вдвое дешевле коня А с дешѐвым.
Какова цена каждого коня?
Обозначим цены коней черезxиy. По условию составим систему уравнений, которая и будет являться аналитической моделью задачи:
(
)
120 3
25 25 2
120
(
)
x
y
x
y









(1.1)
Решив эту систему, находим: x=735, y =260.
Пример 2– детерминированная статическая модель:
Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц. Стул требует 10 человеко-часов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко- часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов, при производстве

стола - 80 долларов. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?
Обозначим: Х
1
- число изготовленных стульев, Х
2
- число сделанных столов.
Задача оптимизации, которая и представляет собой аналитическую модель, имеет вид:
45 Х
1
+ 80 Х
2
→ max ,
5 Х
1
+ 20 Х
2
≤ 400 ,
10 Х
1
+ 15
Х
2
≤ 450 ,
(1.2)
Х
1
≥ 0 ,
Х
2
≥ 0 .
Пример 3– детерминированная динамическая модель
Определить дальность полета ракеты. Ракета разгоняется в течении 20 сек. на активном участке, затем движется за счет силы инерции.
Рис. 1.1
Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
x
x
V


, (0) 0
x

,
y
y
V


, (0) 0
y

,
(1.3)
x
V
cuCos



,
0
)
0
(

x
V
,
y
V
cu Sin
q




,
0
)
0
(

y
V
Здесь x– дальность, y– высота,

x
V
горизонтальная составляющая скорости,

y
V
вертикальная составляющая скорости,



1 2
с
км
c
скорость

истечения газов из сопла двигателя,



1 02
,
0
c
u
расход массы в единицу времени,
2 01
,
0


с
км
q
- ускорение силы тяжести. Программа тангажа

определяется выражением:
3
,
57
/
)
90
(
t
a



, где а = 1,
20 0


t
На пассивном участке уравнения движения имеют вид:
x
x
V


,
20
(20)
x
x

,
y
y
V


,
20
(20)
y
y

(1.4)
0
x
V


,
20
(20)
x
x
V
V

,
y
V
q
 

,
20
(20)
y
y
V
V

Момент падения ракеты определяется соотношением ( ) 0
y T

Системы дифференциальных уравнений (1.3) и (1.4) и представляют собой аналитическую модель системы.
Имитационные модели
В случае имитационного моделирования поведение системы описывается набором алгоритмов, которые затем реализуют ситуации, возникающие в реальной системе.
Моделирующие алгоритмы позволяют по исходным данным и фактическим значениям параметров системы отобразить реальные явления и получить информацию о поведении системы в конкретном частном случае.
Часто имитационные модели описывают системы со случайными составляющими, т.е. стохастические системы. Таким образом, при имитационном моделировании результат заранее предсказать нельзя.
Поэтому для изучения поведения системы необходим набор экспериментов на модели при различных исходных данных.
Как правило, имитационные модели описывают динамические стохастические системы.
Пример 1 – система массового обслуживания (стохастическая
динамическая дискретная система):

Необходимо определить минимальное количество обслуживающего персонала отделения банка, при котором средний размер очереди клиентов не должен превышать N человек.Известно какие клиенты посещают банк, какое количество клиентов приходит в течение рабочего дня, атакже сколько времени занимает обслуживание одного клиента. Клиенты приходят в случайные моменты времени. Создается модель, которая соответствует структуре ибизнес-процессамотделения банка. Схематично такую модель можно представить в виде последовательности следующих действий (модель построена в системе AnyLogic):
Рис. 1.2.
Как правило, модель вначале описывается в виде графа, а затем реализуется в специальном пакете моделирования. Самое главное, что в модели присутствует датчик случайных чисел, имитирующий приход очередного клиента.
На вход модели подаются исходные данные: интенсивность прихода клиентов, среднее время обслуживания клиентов, количество доступного персонала. На основании этих данных модель имитирует работу банка в течение заданного промежутка времени, например, рабочего дня. В каждый момент времени можно видеть, сколько клиентов пришло, сколько из них обслуживается, а сколько стоит в очереди.
Время
Событие
Длина очереди
19:54 клиент №167 пришел и встал в очередь
1 19:55 клиент №168 пришел и встал в очередь
2 19:57 клиент №164 закончил обслуживаться и ушел
2 19:57 клиент №167 начал обслуживаться
1