Файл: Реферат Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.docx
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 162
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
РефератОсновные типы дифференциальных уравнений первого порядка1. Уравнения с разделяющимися переменнымиРассмотрим уравнение X(x)dx+Y(y)dy=0, (1) в котором коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy - только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.Будем предполагать, что функции X(x) и Y(y) непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y. Тогда уравнение (1) можно переписать так . (2)Поэтому . (3)Это есть общий интеграл уравнения (1). Особых решений нет.К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение видаp1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y. Определение 1.: Уравнение вида P (x, y)dx + Q (x, y)dy = 0 (4)называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в следующем виде P(x,y) = p1(x)p2(y), Q(x,y) = q1(x)q2(y).В точках, где p2(y) № 0 и q1(x) № 0, переменные x и y можно отделить друг от друга, разделив обе части уравненияp1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0на произведение p2(y)q1(x): .Интегрируя, получим общий интеграл уравнения (4): , где С - произвольная постоянная.Замечание. Если уравнение p2(y)q1(x) = 0 допускает решения x = a или y = b, то они, очевидно, являются решениями дифференциального уравнения (4), кроме точек пересечения прямых x = a и y = b, так как в этих точках уравнение (4) не определено. Если эти решения входят в общий интеграл, то каждое из них есть частное решение дифференциального уравнения (4), а если нет, то это особые решения.Пример 1. Проинтегрировать уравнение .Разделяя переменные, имеем: .Интегрируя почленно, получаем:
- общий интеграл решения.Уравнение имеет решения , которые являются особыми, так как не получаются из общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.. Однородные дифференциальные уравненияОпределение: Функция двух переменных f(x,y) называется однородной функцией степени однородности m, где m целое, если при любом k выполняется следующее равенство:f (kx,ky) = kmf (x,y). Покажем, что всякую однородную функцию нулевой степени можно представить в виде функции отношения . Пусть f (x,y) - однородная функция нулевой степени. Возьмем множитель ; по определению однородности имеем: и в правой части действительно стоит функция только отношения . Пусть теперь f (x,y) - однородная функция степени m. Очевидно, что функция будет однородной функцией нулевой степени и по указанному выше можно написать: , откуда . (5)Это общий вид однородной функции степени m.Определение: Однородным уравнением первого порядка называется уравнение видаP (x,y)dx + Q (x,y)dy = 0 (6)где P (x,y) и Q (x,y) - однородные функции одной и той же степени однородности.Решение такого уравнения проводится путем введения новой переменной , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, пользуясь формулой (5), можно переписать однородное уравнение в следующем виде:
(7).Предположим, что функции P(x,y) и Q(x,y) не содержат общего множителя xk, ибо если бы такой множитель был, то уравнение распалось бы на два: х=0, . В этом случае второе уравнение уже не содержит множителя xk.Таким образом xm № 0 и можем разделить обе части уравнения (7) на xm:Полагаем , откуда . Подставляя эти значения в последнее уравнение, имеем:или .Получилось уравнение с разделяющимися переменными, которое решаем, как было указано выше: ,отсюдаи, потенцируя, получаем: x=CЧw(t), где через w(t) обозначено все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t отношением , получаем окончательный вид общего интеграла:x = CЧw( ).Необходимо учитывать, что при делении на могут быть потеряны решения.Интегральные кривые однородного уравнения обладают интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу и центр подобия находится в начале координат.Пример 2. Решить уравнение .В приведенных выше обозначениях обе функции являются однородными функциями второй степени
получим однородное уравнение Интегрируя его и возвращаясь к переменным x и y, найдем общий интеграл уравнения (8). Если же то мы имеем , откуда a1=ka, b1=kb. Поэтому уравнение (8) можно переписать в этом случае так: .Введя здесь вместо y новую неизвестную функцию z по формуле z=ax+by,мы придем к уравнению, не содержащему независимой переменной: .Пример 3. Решить уравнение .Заменяя y’ на получаем: .Введем вместо x и y переменные ξ и η, связанные с x и y линейной зависимостьюx=ξ+α, y=η+β,вследствие чего dx=dξ, dy=dη. Постоянные α и β надо подобрать так, чтобы множители в уравнении при dξ, dη были однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих множителяхотсутствовали свободные члены, то есть чтобы былоИз этой системы уравнений находим: и подставляем их в формулы для x и y: . Заменяя x и y в данном уравнении, используя эти формулы, получаем однородное уравнение в переменных ξ и η: .Решаем это уравнение по правилам решения однородных уравнений, вводя переменную
- общий интеграл решения.Уравнение имеет решения , которые являются особыми, так как не получаются из общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.. Однородные дифференциальные уравненияОпределение: Функция двух переменных f(x,y) называется однородной функцией степени однородности m, где m целое, если при любом k выполняется следующее равенство:f (kx,ky) = kmf (x,y). Покажем, что всякую однородную функцию нулевой степени можно представить в виде функции отношения . Пусть f (x,y) - однородная функция нулевой степени. Возьмем множитель ; по определению однородности имеем: и в правой части действительно стоит функция только отношения . Пусть теперь f (x,y) - однородная функция степени m. Очевидно, что функция будет однородной функцией нулевой степени и по указанному выше можно написать: , откуда . (5)Это общий вид однородной функции степени m.Определение: Однородным уравнением первого порядка называется уравнение видаP (x,y)dx + Q (x,y)dy = 0 (6)где P (x,y) и Q (x,y) - однородные функции одной и той же степени однородности.Решение такого уравнения проводится путем введения новой переменной , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, пользуясь формулой (5), можно переписать однородное уравнение в следующем виде:
(7).Предположим, что функции P(x,y) и Q(x,y) не содержат общего множителя xk, ибо если бы такой множитель был, то уравнение распалось бы на два: х=0, . В этом случае второе уравнение уже не содержит множителя xk.Таким образом xm № 0 и можем разделить обе части уравнения (7) на xm:Полагаем , откуда . Подставляя эти значения в последнее уравнение, имеем:или .Получилось уравнение с разделяющимися переменными, которое решаем, как было указано выше: ,отсюдаи, потенцируя, получаем: x=CЧw(t), где через w(t) обозначено все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t отношением , получаем окончательный вид общего интеграла:x = CЧw( ).Необходимо учитывать, что при делении на могут быть потеряны решения.Интегральные кривые однородного уравнения обладают интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу и центр подобия находится в начале координат.Пример 2. Решить уравнение .В приведенных выше обозначениях обе функции являются однородными функциями второй степени
, следовательно, данное уравнение однородное. Вводим новую переменную, полагая y=tx. Тогда dy=tdx+xdt, и уравнение после подстановки имеет вид: 
Разделяем переменные:
(так как делим только на x и на сумму квадратов 
, то потери возможных корней нет); затем, интегрируя, получаем
;
потенцируем
и заменяем t через 
:
.
Делаем преобразование 
,
Рис. 1
После чего становится ясно, что имеем семейство окружностей с центрами в точках 
на оси Ox и с радиусами, равными 
. Все эти окружности касаются оси
Oy в начале координат и подобны друг другу (рис.1).
Рассмотрим уравнение вида
. (8)
Если с1=с=0, то это уравнение однородное, ибо оно приводится к виду (6). Пусть хоть одно из чисел с1, с отлично от нуля и предположим еще, что
Сделаем линейную замену обеих переменных:
Тогда наше уравнение примет вид:
Выбрав α и β так, чтобы
получим однородное уравнение Интегрируя его и возвращаясь к переменным x и y, найдем общий интеграл уравнения (8). Если же то мы имеем , откуда a1=ka, b1=kb. Поэтому уравнение (8) можно переписать в этом случае так: .Введя здесь вместо y новую неизвестную функцию z по формуле z=ax+by,мы придем к уравнению, не содержащему независимой переменной: .Пример 3. Решить уравнение .Заменяя y’ на получаем: .Введем вместо x и y переменные ξ и η, связанные с x и y линейной зависимостьюx=ξ+α, y=η+β,вследствие чего dx=dξ, dy=dη. Постоянные α и β надо подобрать так, чтобы множители в уравнении при dξ, dη были однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих множителяхотсутствовали свободные члены, то есть чтобы былоИз этой системы уравнений находим: и подставляем их в формулы для x и y: . Заменяя x и y в данном уравнении, используя эти формулы, получаем однородное уравнение в переменных ξ и η: .Решаем это уравнение по правилам решения однородных уравнений, вводя переменную