Файл: Реферат Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.docx
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 48
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, и получаем общий интеграл: 
. Возвращаясь от переменных ξ и η к старым переменным x и y, получаем окончательный вид общего решения данного уравнения: 
.
Пример 4. Решить уравнение
.
В этом уравнении коэффициенты при x и y в числителе и знаменателе пропорциональны. Введем новую переменную по формуле x+y=z. Перепишем данное уравнение в виде
(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0
и заменим переменные
(z+1)dx+(2z-1)(dz-dx)=0, (dx+dy=dz, dy=dz-dx).
Разделим переменные
(z+1-2z+1)dx+(2z-1)dz=0,
.
Решаем это уравнение и получаем общий интеграл:
.
Возвращаясь к переменным x и y, находим окончательный вид общего интеграла данного уравнения:
.
. Уравнения в полных дифференциалах
Определение: Уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.
Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.
Пусть дано уравнение вида (9). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение равенства
. (11)
Допустим, что для данного выражения (10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области (S) и, следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).
Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы
и
.
Положим
, (12)
где функция j(у) будет определена ниже. Из формулы (12) тогда следует, что
(13)
во всех точках области (S). Теперь подберем функцию j(у) так, чтобы имело место равенство
. (14)
Для этого перепишем нужное нам равенство (14), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (12):
. (15)
Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и
- непрерывные функции двух переменных):
. (16)
Так как по (11)
, то, заменяя на 
под знаком интеграла в (16), имеем:
.(17)
Проинтегрировав по у, найдем саму функцию j(у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что
в области (S). (18)
Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его
.
Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая
, убеждаемся в том, что
, (19)
а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом
- непрерывные в R функции.
Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда
.
Интегрируя левую и правую части по x, получим:
. (*)
Чтобы найти φ(y), используем тот факт, что
, т.е.
,
откуда
,
.
Подставляя найденное значение φ(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):
,
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид
. (20)
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).
. Линейные дифференциальные уравнения
Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
y’ + P(x)y = f(x), (21)
где P(x) и f(x) - непрерывные функции.
Название уравнения объясняется тем, что производная y’ - линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y’ = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.
Если f(x) = 0, то уравнение
y΄+ P(x)∙y = 0 (22)
называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
y’ +P(x)y = 0;
,
. (22*)
Если f(x) ≠ 0, то уравнение
y΄+ P(x) y = f(x) (23)
называется линейным неоднородным уравнением.
В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.
Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):
y = UЧV. (24)
Найдем производную:
y’ = U’V + UV’ (25)
и подставим эти выражения в уравнение (1):
U’V + UV’ + P(x)UV = f(x).
Сгруппируем слагаемые в левой части:
U’V + U[V’ + P(x)V] = f(x). (26)
Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения
V’ + P(x)V = 0. (27)
Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):
; 
; 
;
. (28)
Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U∙V было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения
. (29)
Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому
;
. (30)
Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):
. (31)
Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общий интеграл уравнения
.
Это уравнение не является линейным относительно y и y’, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к
, получаем
, или 
.
Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда
. Получаем уравнение:
, или
. (*)
Выберем функцию V(y) так, чтобы
. Тогда
или 
.
Подставляя найденное значение V в (*), найдем:
.
Тогда
- общее решение дифференциального уравнения.
Другим методом интегрирования линейных уравнений является метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Будем искать решение уравнения (23) в том же виде, что и общее решение (22*) соответствующего однородного уравнения (22), но будем считать С не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой функцией от x, т.е. положим
(32)
и выберем функцию C(x) так, чтобы (32) удовлетворяло уравнению (21). Подставляем (32) в (21):
,
откуда:
.
Следовательно,
,
где С - произвольная постоянная. Подставляя эти значения C(x) в формулу (32), получим:
.
Это и есть общее решение уравнения (21).
. Возвращаясь от переменных ξ и η к старым переменным x и y, получаем окончательный вид общего решения данного уравнения: .Пример 4. Решить уравнение
.В этом уравнении коэффициенты при x и y в числителе и знаменателе пропорциональны. Введем новую переменную по формуле x+y=z. Перепишем данное уравнение в виде
(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0
и заменим переменные
(z+1)dx+(2z-1)(dz-dx)=0, (dx+dy=dz, dy=dz-dx).
Разделим переменные
(z+1-2z+1)dx+(2z-1)dz=0,
.Решаем это уравнение и получаем общий интеграл:
.Возвращаясь к переменным x и y, находим окончательный вид общего интеграла данного уравнения:
.. Уравнения в полных дифференциалах
Определение: Уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.
Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.
Пусть дано уравнение вида (9). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение равенства
. (11)Допустим, что для данного выражения (10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области (S) и, следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).
Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы
и
.Положим
, (12)где функция j(у) будет определена ниже. Из формулы (12) тогда следует, что
(13)во всех точках области (S). Теперь подберем функцию j(у) так, чтобы имело место равенство
. (14)Для этого перепишем нужное нам равенство (14), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (12):
. (15)Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и
- непрерывные функции двух переменных): . (16)Так как по (11)
, то, заменяя на под знаком интеграла в (16), имеем: .(17)Проинтегрировав по у, найдем саму функцию j(у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что
в области (S). (18)Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его
.Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая
, убеждаемся в том, что , (19)а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом
- непрерывные в R функции.Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда
. Интегрируя левую и правую части по x, получим:
. (*)Чтобы найти φ(y), используем тот факт, что
, т.е. ,откуда
, .Подставляя найденное значение φ(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):
,Общий интеграл исходного уравнения имеет вид
. (20)Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).
. Линейные дифференциальные уравнения
Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
y’ + P(x)y = f(x), (21)
где P(x) и f(x) - непрерывные функции.
Название уравнения объясняется тем, что производная y’ - линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y’ = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.
Если f(x) = 0, то уравнение
y΄+ P(x)∙y = 0 (22)
называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
y’ +P(x)y = 0;
,
. (22*)
Если f(x) ≠ 0, то уравнение
y΄+ P(x) y = f(x) (23)
называется линейным неоднородным уравнением.
В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.
Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):
y = UЧV. (24)
Найдем производную:
y’ = U’V + UV’ (25)
и подставим эти выражения в уравнение (1):
U’V + UV’ + P(x)UV = f(x).
Сгруппируем слагаемые в левой части:
U’V + U[V’ + P(x)V] = f(x). (26)
Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения
V’ + P(x)V = 0. (27)
Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):
; ; ; . (28)Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U∙V было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения
. (29)Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому
; . (30)Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):
. (31)Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общий интеграл уравнения
.Это уравнение не является линейным относительно y и y’, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к
, получаем
, или .Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда
. Получаем уравнение: , или . (*)Выберем функцию V(y) так, чтобы
. Тогда или .Подставляя найденное значение V в (*), найдем:
.Тогда
- общее решение дифференциального уравнения.Другим методом интегрирования линейных уравнений является метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Будем искать решение уравнения (23) в том же виде, что и общее решение (22*) соответствующего однородного уравнения (22), но будем считать С не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой функцией от x, т.е. положим
(32)и выберем функцию C(x) так, чтобы (32) удовлетворяло уравнению (21). Подставляем (32) в (21):
,откуда:
.Следовательно,
,где С - произвольная постоянная. Подставляя эти значения C(x) в формулу (32), получим:
.Это и есть общее решение уравнения (21).