Файл: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы 1 методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы 2.docx
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 573
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИпо выполнению домашней контрольной работы по дисциплинеВысшая математикаНаправленность (профиль) образовательной программы«Менеджмент в электроэнергетике и электротехнике»Направление подготовки13.03.02 Электроэнергетика и электротехникаДля обучающихся заочной формы обученияЧелябинск, 2019СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕМЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫВВедениеКурс дисциплины «Высшая математика» является фундаментом дальнейшего образования инженера, имеющим важное значение не только для изучения общетехнических дисциплин, но и для специальных дисциплин в особенности. Изучив дисциплину «Высшая математика» студент должен: - Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, кривых и поверхностей, элементами топологии. - Изучить основы математического анализа, дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных, изучить неопределенные и определенные интегралы, кратные интегралы, ознакомиться с элементами дискретного анализа. - Знать основные типы дифференциальных и разностных уравнений и методы их решения. - Знать и уметь использовать на практике признаки сходимости числовых и функциональных рядов. - Иметь представление о функциях комплексного переменного и элементах теории поля. - Ознакомиться с основами вариационного исчисления и оптимального управления. - Знать важнейшие понятия теории вероятностей и математической статистики.
- Иметь представление о моделях случайных процессов и элементах теории массового обслуживания. - Иметь представление о временных рядах, математическом моделировании.В процессе выполнения контрольной работы у обучающихся формируются компетенции, указанные в рабочей программе дисциплины «Высшая математика»МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1Раздел 1 Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия
В качестве универсального метода вычисления определителей необходимо рекомендовать вычисление на основе теоремы Лапласа.Для этого нужно знать определение минора (вычисление), определение алгебраического дополнения Aij=(-1)i+jMij и саму теорему Лапласа. (1, пример 9, с. 25, с. 26).Мало того, нужно обратить внимание и на то, что определители порядка больше трех вычисляются с помощью теоремы Лапласа.Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения ( 1, с. 12 – 13) и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В:число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. АВ ВА. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей. Например, можно легко показать, что произведение матриц есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю). =Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять, знать, что для существования матрицы А-1 , обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА-1или А-1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то, в соответствии с определением, матрица А -1 вычислена правильно.Нужно уметь вычислять определители второго и третьего порядков (метод треугольника) и более высших порядков (1, пример 1.9, c.25, 26). При вычислении определителей нужно активно использовать свойства определителей 2,4,5,6,8. Теорему Лапласа нужно знать твердо и уметь ее использовать для практики.
Разобрать для усвоения материала по вычислению определителей задачи 1.19-1.21.Вычисление обратной матрицы осуществлять по алгоритму, изложенному в (1). Нужно четко усвоить в алгоритме, что обратная к исходной матрице существует. После этого определяется транспонированная к исходной матрица. Именно для транспонированной матрицы А ищутся алгебраические дополнения Aij.Из алгебраических дополнений к транспонированной матрице составляется присоединенная (союзная) матрица.Если известна союзная матрица и определитель исходной матрицы, то вычисляется обратная матрицаA-1= / .Обратная матрица будет использоваться для решения систем линейных уравнений.Для усвоения материала необходимо разобрать задачи (1, 1.15— 1.18, 1.22—1.29).Пример: Найти матрицу С=ВААВ, если А= , В= .Решение:Алгоритм решения:
n линейных уравнений с n переменными (без доказательства). Решение системы: по формулам Крамера; с помощью обратной матрицы; методом Гауса. (1, гл. 2,§2.1—2.3,2.6; с. 38—47,53—56); (2, гл. 2).При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы п линейных уравнений с п переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы nлинейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера (1, с. 41); решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса (см. примеры 2.1 – 2.3, 2.6, 2.7). Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее независимых уравнений и исключить «лишние».В методе Гаусса нужно усвоить правило исключения неизвестных х1, х2, …, хn-1. Сначала умножается первая строка на соответствующие коэффициенты. Цель – в первом столбце во всех строках кроме первой обеспечить нули путем прибавления первой строки, умноженной на коэффициенты, ко второй и последующим строкам.Затем умножается вторая строка на соответствующие коэффициенты. Цель – обеспечить нули во втором столбце во всех строках кроме второй (a22 0) путем прибавления к третьей и последующим строкам второй строки, умноженной на необходимые коэффициенты и т.д.Для первой строки это коэффициенты (-a21/a11;-a31/a11;…;-am1/a11); для второй строки это коэффициенты (-a32/a22;-a42/a22;…;-am2/a22).Необходимо понять, что при прямом ходе решения системы уравнений методом Гаусса определяется неизвестное хn. Затем при обратном ходе определяются хn-1, хn-2 и так до х1.Необходимо уяснить, что метод Гаусса менее трудоемок особенно при решении систем уравнений более четвертого порядка.
- Иметь представление о моделях случайных процессов и элементах теории массового обслуживания. - Иметь представление о временных рядах, математическом моделировании.В процессе выполнения контрольной работы у обучающихся формируются компетенции, указанные в рабочей программе дисциплины «Высшая математика»МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1Раздел 1 Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия
Матрицы и определители
Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Теорема Лапласа. Присоединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы — максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов). (1, гл.1, § 1.1-1.6; с.9-35); (2, гл.1).Надо хорошо уяснить, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из mn чисел, расположенных в m строках и nстолбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц). Необходимо усвоить следующее: строки обозначаются индексом ”i”, столбцы индексом ”j”. Поэтому любой элемент матрицы можно обозначить aij. Это означает, что элемент aij находится в i-ой строке и в j-ом столбце. Например, a11 – элемент первой строки и первого столбца; a23–элемент второй строки и третьего столбца. Индекс с «i» растет всегда «вниз», а индекс «j» – растет вправо.Размер матрицы m х n означает, что конечные величины i и j равны соответственно m и n, т.е. iкон=m, jкон=n.При вычислении определителей необходимо отметить, что определитель есть число и вычисляется по определенным правилам. Необходимо рассмотреть правило вычисления определителей второго порядка и правило треугольника или правило Сарруса для вычисления определителей третьего порядка.В качестве универсального метода вычисления определителей необходимо рекомендовать вычисление на основе теоремы Лапласа.Для этого нужно знать определение минора (вычисление), определение алгебраического дополнения Aij=(-1)i+jMij и саму теорему Лапласа. (1, пример 9, с. 25, с. 26).Мало того, нужно обратить внимание и на то, что определители порядка больше трех вычисляются с помощью теоремы Лапласа.Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения ( 1, с. 12 – 13) и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В:число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. АВ ВА. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей. Например, можно легко показать, что произведение матриц есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю). =Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять, знать, что для существования матрицы А-1 , обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА-1или А-1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то, в соответствии с определением, матрица А -1 вычислена правильно.Нужно уметь вычислять определители второго и третьего порядков (метод треугольника) и более высших порядков (1, пример 1.9, c.25, 26). При вычислении определителей нужно активно использовать свойства определителей 2,4,5,6,8. Теорему Лапласа нужно знать твердо и уметь ее использовать для практики.
Разобрать для усвоения материала по вычислению определителей задачи 1.19-1.21.Вычисление обратной матрицы осуществлять по алгоритму, изложенному в (1). Нужно четко усвоить в алгоритме, что обратная к исходной матрице существует. После этого определяется транспонированная к исходной матрица. Именно для транспонированной матрицы А ищутся алгебраические дополнения Aij.Из алгебраических дополнений к транспонированной матрице составляется присоединенная (союзная) матрица.Если известна союзная матрица и определитель исходной матрицы, то вычисляется обратная матрицаA-1= / .Обратная матрица будет использоваться для решения систем линейных уравнений.Для усвоения материала необходимо разобрать задачи (1, 1.15— 1.18, 1.22—1.29).Пример: Найти матрицу С=ВААВ, если А= , В= .Решение:Алгоритм решения:
-
Находим матрицы В, А, транспонированные к матрицам А и В.
-
Находим произведение матриц:
-
Находим произведение матриц:
-
Находим произведение
n линейных уравнений с n переменными (без доказательства). Решение системы: по формулам Крамера; с помощью обратной матрицы; методом Гауса. (1, гл. 2,§2.1—2.3,2.6; с. 38—47,53—56); (2, гл. 2).При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы п линейных уравнений с п переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы nлинейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера (1, с. 41); решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса (см. примеры 2.1 – 2.3, 2.6, 2.7). Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее независимых уравнений и исключить «лишние».В методе Гаусса нужно усвоить правило исключения неизвестных х1, х2, …, хn-1. Сначала умножается первая строка на соответствующие коэффициенты. Цель – в первом столбце во всех строках кроме первой обеспечить нули путем прибавления первой строки, умноженной на коэффициенты, ко второй и последующим строкам.Затем умножается вторая строка на соответствующие коэффициенты. Цель – обеспечить нули во втором столбце во всех строках кроме второй (a22 0) путем прибавления к третьей и последующим строкам второй строки, умноженной на необходимые коэффициенты и т.д.Для первой строки это коэффициенты (-a21/a11;-a31/a11;…;-am1/a11); для второй строки это коэффициенты (-a32/a22;-a42/a22;…;-am2/a22).Необходимо понять, что при прямом ходе решения системы уравнений методом Гаусса определяется неизвестное хn. Затем при обратном ходе определяются хn-1, хn-2 и так до х1.Необходимо уяснить, что метод Гаусса менее трудоемок особенно при решении систем уравнений более четвертого порядка.