Файл: Н. Г. Чернышевского кафедра компьютерной алгебры и теории чисел Основная теорема алгебры Курсовая.rtf
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 287
Скачиваний: 12
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Федеральное агентство по образованию Российской ФедерацииСАРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГОКафедра компьютерной алгебры и теории чиселОсновная теорема алгебрыКурсовая работастудента 1 курса 121 группы механико-математического факультетаБатура Ирина СергеевнаНаучный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистентЗав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессорСАРАТОВ2009 годСОДЕРЖАНИЕ1. Введение2. Основные определения, используемые в курсовой работе3. Элементы теории пределов для комплексных чисел4. Доказательство основной теоремы5. Список используемой литературы1. ВВЕДЕНИЕДанная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле . Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.Целью моей работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работеМножества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар действительных чисел, , , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.Последовательность называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что = , причем Б тогда и только тогда, когда .Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех выполняется неравенства Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.3. Элементы теории пределов для комплексных чиселВ моей работе полиномы рассматриваются только над полями и как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел . Число называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором , и, тем самым,
2. Основные определения, используемые в курсовой работеМножества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар действительных чисел, , , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.Последовательность называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что = , причем Б тогда и только тогда, когда .Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех выполняется неравенства Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.3. Элементы теории пределов для комплексных чиселВ моей работе полиномы рассматриваются только над полями и как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел . Число называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер
, что при 
выполняется неравенство 
. В этом случае пишут lim 
, а=lim
, b=lim
. Предельное соотношение lim
=c равносильно соотношению 
, ибо
max
Последовательность такая, что 
R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть 
ограниченная последовательность, т.е. 
, тогда 
, так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность 
. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей 
. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
.
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен 
.
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором , и, тем самым,