, т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома .

Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином c нулевым свободным членом.

Тогда для любого найдется такое , что , как только .

Доказательство: Пусть . Тогда

Положим

Если

то
что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Пусть дан полином и точка

---

_. Расположим полином по степеням
,
Тогда так что

Правая часть есть полином от с нулевым свободным членом.

По лемме 1 для любого найдется такое , что как только что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.

Доказательство: Из неравенства следует, что для данного то , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при имеем


Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .

Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.

Доказательство: Пусть

где полином от c нулевым свободным членом.

В силу леммы 1 для найдется такое , что при , будет . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при

---

будет . Возьмем Тогда при будет
и так что
Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т.е. существует такое , что при всех .

Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань через . Возьмем последовательностью стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся такие, что . Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для найдем такое , что при будет Отсюда следует, что при все . Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность . Пусть ее предел равен . Тогда в силу непрерывности

---

. Кроме того, . Поэтому Итак , что и требовалось доказать.

Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть полином отличный от константы, и пусть . Тогда найдется такая точка , что

Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

Доказательство: Расположим полином по степеням

Тогда Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть – первое отличное от нуля слагаемое после , так что (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда
+

+ ( +…+ ))=

= c₀ (1+ +

---

).
Здесь
=
есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для = найдется такое ,что | |< , как только | |< . Положим = ( ) и . Тогда
.
Выберем так, что . Для этого нужно взять . Далее, положим , т.е. возьмем . При таком выборе будет . Теперь положим
при и . Тогда и

| |= .

Лемма доказана.

Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять при так что при k>1 (т.е. в случае, когда -корень кратности полинома

---

Смотрите также файлы

• Задание 2 Акробатика.docx

• Отзыв Ваш ответ верный. Вопрос 2.docx

• Лабораторная работа 3 по учебному курсу Физика 3.docx

• Реферат по предмету Нейминг студента 4 курса заочной (с использованием дистанционных образовательных технологий) формы обучения.docx

• Практическая работа 1 фио оу тема Особенности содержания обновленных фгос ооо, фгос соо.docx