Файл: 18 Условие жёсткой связи неизменяемые мехе сисмы Конфигурация матго тела Теорема Грасгофа о проекциях скоростей.docx

Вывод формул для компонент оператора и вектора угловой скорости при плоском движении. Получение соотношений для проекций скоростей двух телесных точек.

Для оператора угловой скорости АТТ имеем =

В матричной форме

(*) = =

Матрица Г при плоском движении Г=

Вычисляем =cos

.

Поэтому =

У матрицы 3-я строка нулевая, поэтому в силу (*) =0.

Т.к. на 1-й столбец (т.е. на первую строку Г):

(ϕ ̇cos ϕ) ϕ - sin⁡ϕ (-sin⁡ϕ )

=0,

Ед. для

Вывод: угловая скорость АТТ в плоском движении – вектор , где

Для оператора угловой скорости: = , а в матричной записи =

Пусть теперь скорость j-ого тела, а телесные точки А* и В* движутся в плоскости движения Оxy. Пусть – угол, образуемый направленным отрезком с положительным



направлением оси Ох.

Т.к. ≡0, ≡0, то =0 и =0

Переход от А к В представим графом (1) А

Подставим теперь в ф-лу Эйлера

В матричной записи (2) = +

Здесь = , = , , =

Переходя к компонентной записи из (2) получаем

,

Эти формулы соответствуют графу (1).

Аналитический метод решения задач кинематики

Пример составного графа:

А

Распишем данный граф:

(1)

Соотношения (1) верны при следующем основном дополнении – скорости тех точек j-ого и k-ого тел, текущим положение которых служит т. В

Порядок решения типичных задач:

1. 
   Выбрать кинематический граф, с которым связано не более 2-х неизвестных кинематических величин.
   
2. 
   Составить кинематические соотношения для выбранного графа.
   
3. 
   Учесть связи в концевых точках графа.
   
4. 
   Решить полученные кинематические ур-я.
   
5. 
   Если не все неизвестные найдены, вернуться к 1.
   

31. Решение задачи о разложении вектора на параллельную и ортогональную составляющие. Вычисление вектора угловой скорости по вектору относительной скорости при плоском движении.

Лемма: формула (*) =( , ) +[ ,[ ]] дает разложение вектора на 2 составляющие:



параллельную и ортогональную заданному ед. вектору

Док-во: проекция вектора на направлении вектора ( , ) так, что =( , )

Применяем формулу «БАЦ» минус «ЦАП» для двойного векторного произведения

[ ,[ ]]= , - , , получаем [ ,[ ]]= , - , = =

Найдем угловую скорость тела , если известны вектор ≡ -

Запишем ф-лу Эйлера в виде (**) =[ ]

Разложим вектор на 2 составляющие: параллельную и ортогональную вектору =

= [ ]] в силу (**): .

Замечание: поскольку =( - +( - , =( - +( - ,

то - - ( - ( - ]