Файл: 18 Условие жёсткой связи неизменяемые мехе сисмы Конфигурация матго тела Теорема Грасгофа о проекциях скоростей.docx

18) Условие жёсткой связи; неизменяемые мех-е сис-мы; Конфигурация мат-го тела; Теорема Грасгофа о проекциях скоростей.

- Жесткая связь(наложенная на точки А и В ϵ S’)

В этом случае в любом движении сис-мы выполнено условие:

Смысл его: расстояние между текущими положениями точек остаётся постоянным.

Иная форма записи условия жёской связи: (**) )=

В координатах: .

-Механическая система – неизменяемая, если расстояния между положениями 2-х её точек остаются постоянными, каким бы воздействиям она не подвергалась

Частые случаи: 1. Неизменяемая СМТ. 2. Абс. Твёрдое тело(АТТ)

Если B – мат. тело, то в момент времени t положение его точек непрерывно заполняют(по аксиоме сплошности) в у.н. СО ε некоторую область ε

Отображение Н: ε сопоставляющее каждой точке тела её текущее положение в у.н. СО, называется конфигурацией тела (в текущий момент времени

Она задана, если указано правило, по кот-му можно найти текущее положение любой точки тела.

Если А,В – текущие положения точек А* и В* тела , то это означает: А=Н(А*), В=Н(В*)

Условие вида (**) должно выполняться для любых 2-х точек неизменяемое сис-мы (будучи либо усл. Одной из связей, либо следствием из усл. Других связей).

-Теорема Грасгофа о проекциях скоростей.

Если на точки А* и В* наложена жесткая связь, то проекции их скоростей на прямую, соединяющую текущие положенияэтих точек равны:

Д-во: достаточно доказать, что:

Диф-я по t условие жёской связи )=const, получаем (

Итак, , т.е.

Пусть теперь - ед. вектор оси АВ. Имеем: =

Замечание: т-ма Грасгофа верна для точек неизменяемой сис-мы(в частности АТТ).

19)Допустимые конфигурации мех. сис-м;Коллинеарные точки неизменяемой мех. сис-мы; Теорема о скоростях коллин. точек.

Конфгурация мех. сис-мы допустимая, если:

-положения всех точек сис-мы удовлетворяют намеченным на неё геом. связям(осн. требование)

-данную конфигурацию можно получить из отсчётной непрерывным движением, не нарушающим связей(доп. требование)

Покажем, что если для какой-либо конфигурации неизменяемой сис-мы текущие положения её точек А*, В*, С* коллинеарны(лежат на одной прямой), то и для любой допустимой конфигурации они будут коллинеарны.



В самом деле, если бы не лежала на прямой то было бы:

| |+| |>| |=| |=| |+| |

В случае неизменяемой сис-мы считаем, что точки: Коллинеарны, если коллин. их положения

Теорема о скоростях коллин. точек.

Концы скоростей точек неизм. сис-мы, лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой и делят её на части пропорциональные расстояниям между точками

Док-во: зафиксируем ед. изм-я времени, выбрав масштаб для геометр. Изображения скоростей.



Дифференцируем (*) по t, получим (**)

Складывая(*) и (**) получаем:



Значит лежит на прямой

| | |= =|AC|:|CB| ч.т.д.

20)Основное св-во допустимой конфигурации абсолютно тв. тела; Задание конфигурации тв. тела методом 3-х точек.

-метод 3-х точек:

В данном методе в теле выбирают неколлинеарные точки А*,В*,С*.

Конфигурацию АТТ задают, указав текущие положения этих точек: А=Н(А*), В=Н(В*), С=Н(С*)

Здесь Н: C – конфигурация АТТ

Вектор является таким вектором нормали в плоскости АВС, что с его конца обход виден происходящим против часовой стрелки.

-Основное св-во доп. конфигурации АТТ – она сохраняет расстояние между его точками. Поэтому должны выполняться требования:

|AB|=|A*B*|,|CA|=|C*A*|,|BC|=|B*C*|

21)Связанная сис-ма отсчёта. Задание конфигурации АТТ методом связанных осей. Нахождение текущего положения телесной точки по её координатам в связанных осях.

-метод связанных осей:

Рассмотрим отсчётную конфигурацию АТТ. Пусть D ε не принадлежит области , занимаемой точками тела. Можно считать, что D явл. Положением воображаемой т. D*, жестко связанной с телом , тогда при любом движении тела D* будет двигаться вместе с телом (т.е. расстояние между ее положением и положением любой точки тела меняться не будет).

Значит, зная расстояния |A*D*|,|B*D*|,|C*D*| от D* до 3-х заранее выбранных неколлин. Точек тела можно в любой его конфигурации найти положение данной точки.

-Связанная сис-ма отсчёта ε* - геометрически тв. среда, жестко связанная с данным АТТ, кот-е в ней покоится.

-Задание конфигурации тв. тела методом связанных осей

В методе связ. осей в СО ε* выбирают координатные оси A*, x*, y*, z*; конфигурацию АТТ задают, указав текущее расположение подвижных осей Ax', y', z', для чего достаточно указать А=Н(А*) и 3 единичных вектора . Таким, что это позволяет найти текущее положение в любой телесной т. В*

Разложим векторы и по базисам { } и { }

=

=

В силу основного св-ва допустимой конфигурации АТТ, коэф-ты (1) и (2) совпадают.

При этом = , , , т.е. это координаты точки В* ε* в сис-ме A*x*y*Z*

Пусть теперь О – полюс в ε, а – радиус-вектора т.А и В. Поскольку , то в силу (2) (*)

Вывод: текущая конфигурация АТТ определена однозначно, если заданы:

1) (задающий текущее положение полюса А*)

2) векторы

22)Оператор ориентации абсолютно твёрдого тела. Ортогональность оператора ориентации. Основная формула геометрии движения.

- Оператор ориентации

Пусть телесные точки M*,N*,P*,Q* образуют параллелограмм, а Н: ε* - текущая конфигурация АТТ. Она сохраняет длины отрезков, а поэтому текущие положения M,N,P,Q данных точек тоже образуют параллелограмм, геометрически равный исходному.



При переходе от телесных точек к их положениям, для направленных отрезков соханяются:

- длины: (1)|M*N*|=|MN|;

- углы между ними: (2)

- их суммы: (3)

-их произведения на скаляры: (4) )

-отн-е геом. равенства: (5) =>

-Ортогональность

Из (1) и (2)=>| |=| |, , но тогда и | |*| |*cos = | |*| |* cos =

Если пространство Х,Y – Евклидово, а лин. опер. сохраняет скалярное произведение , называется ортогональным.

Вывод: Оператор ориентации - ортогональный оператор.

-Основное ур-е геометрии движения:



23)Поступательное движение тв. тела. Теорема о критерии поступательного движения. Траектории, скорости и ускорения телесных точек при поступательном движении.

Движение прямой линии(или отрезка) – поступательное, если она(он) всё время сохраняют параллельность своему первоначальному направлению.

Движение АТТ – поступательное, если любая прямая, жестко связанная с телом движется поступательно

-Теорема о критерии поступательного дв-я

Для того, чтобы движение АТТ было поступательно, необходимо и достаточно, чтобы оператор ориентации тела оставался постоянным:

. АТТ движется поступательно => связанные координатные оси А*х*, А*y*, A*z* движутся поступательно, поэтому вектора осей сохраняют свои направления неизменными. Значит, , но тогда при отнесении к у.н.СО любого свободного телесного вектора имеем: = (где ), а поэтому и =const

Если , а e*- произвольная телесная прямая с ед. вектором , т.е. прямая движется поступательно. ч. т. д.

При поступательном движении Траектории телесных точек – параллельные кривые: они получаются из траектории А* параллельным переносом.

При поступательном движении скорости и ускорения всех телесных точек одинаковы.

24)Компоненты и матрица линейного оператора; формулы для компонент линейного оператора. Матрица направляющих косинусов тв. тела.

Пусть { } – базисы в X и Y

Коэффициенты в расположении называются компонентами оператора , а составленная из этих компонент матрица с – матрица данного оператора.

Если пр-во Х и Y евклидовы, а базисы - ортонормированные, то

(*)

Это следует из ф-лы для i-той компоненты вектора в ортонормированном базисе.

Пусть А*х*у*Z* - сис-ма координат в СО, связанной с АТТ а охуz – неподвижные оси координат

Для компонент оператора ориентации имеем:

; здесь{ }- связанный базис, { } – неподвижный базис, а - единичные векторы подвижных осей Ах'y'z' (т.е. осей A*x*y*z*, отнесённых к у.н. СО)

В силу (*):

Компоненты оператора ориентации, иначе именуются Направляющими косинусами осей x'y'z' по отношению к осям xyz, а его матрицу

Г называют Матрицей направляющих косинусов тела .

25)Транспонирование линейных операторов. Св-ва матрицы направляющих косинусов.

Пусть , а пр-ва X,Y – евклидовы. Оператор называется транспонированным оператором для оператора , если

Имеем:

Вывод: матрица транспонированного оператора получается из матр. С оператора транспонированым.

Св-ва матрицы напр-х косинусов:

1)Матр. Напр. Кос. Г – собственная ортогональная:

-

- det Г = 1 (определитель)

2) у матр. Г:

- скалярный квадрат каждого столбца(строки) = 1

- скалярные произведения разных столбцов(строк) = 0.

1)Момент силы относительно точки

Момент силы относительно полюса В-вектор приложенный в т.В и = векторному произв радиус вектора т. приложения на вектор силы: Основны с-ва вытекают из с-в в-во умножения