Файл: Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Вычислительные методы в инженерных расчетах".pdf

12
Рисунок 2.1 – График заданной функции
Используя метод касательных (рисунок 2.2) уточним корень функции на отрезке [0,1].
Рисунок 2.2 – Блок-схема метода Ньютона (метод касательных)
Идея метода основывается на построении касательной, проводимой на отрезке, в пределах которого находится корень функции. Уравнение касатель-
Начало
а, b, е
a
x

0
n=1
1
x
,
n
Конец
e
x
x


0 1
да нет
)
0 0
0 1
(
'
)
(
x
f
x
f
x
x


x
0
=x
1
n=n+1

13 ной находится по координате одной точки и углу наклона и записывается сле- дующим образом:
)
(
)
(
'
1
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x



(2.1)
Для решения методом необходимо определить первую производную функции f(x)=-3х
2
+10x+1.
Все вычисления представлены в таблице 2.2.
Таблица 2.1 – Результаты вычислений
Итерация
x
i
f(x
i
)
f’(x
i
)
x
i
-x
i-1
0 0
-2 1
1 2
12 9
2 2
0,667 0,594 6,335 1,333 3
0,570 0,0095 5,725 0,093 4
0,568 0,002
Корень уравнения х

0,568.
Теперь, используя метод хорд, определим корень уравнения на отрезке
[0,5; 1]. Алгоритм метода представлен формулой (2.2), блок-схемой (рисунок
2.3) и примером вычисления в среде MathCad (рисунок 2.4).
(2.2)
Рисунок 2.4 – Реализация метода хорд в MathCad

14
Рисунок 2.3 – Блок-схема метода хорд (метод секущих)
Корень уравнения х

0,568
Метод сканирования
Метод предусматривает разделение всего интервала [а, b], где отделен корень, на маленькие отрезки, равные заданной погрешности

, с последую- щим вычислением (или определением экспериментально) значений функции да нет
Начало
а, b, е
b
x
a
x


1 0
2
x
Конец
e
x
x


1 2
)
0
)
1 0
1 1
1 2
(
(
)
)(
(
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x




x
0
=x
1
x
1
=x
2

15
f(x) на концах этих отрезков (т.е. в точках, расстояние между которыми не пре- вышает величины

).
Блок-схема метода представлена на рисунке 2.5, расчет в таблице 2.2.
Рисунок 2.5 - Блок-схема метода сканирования
Таблица 2.2 – Расчет методом сканирования
x
f(x)
0,55
-0,10388 0,551
-0,09828 0,552
-0,09268 0,553
-0,08707 0,554
-0,08145 0,555
-0,07583 0,556
-0,0702 0,557
-0,06456 0,558
-0,05892
Начало
а, b, е
a
x
e
b
a
n



I=1, n
f(x)*f(x+e)
<0
нет да
2 2
*
e
x
x


*
x
Конец на отрезке a, b корней нет

16 0,559
-0,05327 0,56
-0,04762 0,561
-0,04195 0,562
-0,03628 0,563
-0,03061 0,564
-0,02493 0,565
-0,01924 0,566
-0,01354 0,567
-0,00784
0>

17 5)
6)
7)
Рисунок 2.6 – Блок-схема метода половинного деления (метод дихотомии)
x=a
Начало
а, b, е
2
b
a
x


f(a)*f(x)
<0
нет да
2
*
b
a
x


*
x
Конец
x=b
e
a
b


да нет

18
Так как,
Решение нелинейного уравнения (НУ) методом дихотомии с помощью
MathCad представлено на рисунке 2.7.
Рисунок 2.7- Решение НУ методом дихотомии с помощью MathCad
Метод параболической аппроксимации
Решим нелинейное уравнений методом параболической аппроксимации вида
Построим график функции
(рисунок 2.8).
Рисунок 2.8 – График функции
Произведем отделение корней, из графика видим, что функция пересекает ось ОX один раз на отрезке
. Далее выполним уточнение корня.
Первым шагом просчитываем середину выбранного интервала. По трем точкам (границы и середина промежутка) будем строить первую параболу. Для нахождения коэффициентов квадратного многочлена составим и решим систе- му из трех уравнений. Далее подставляем полученные коэффициенты в парабо- лу и решаем уравнение вида
. Полученный корень – это новая точка, через которую будет проходить вторая парабола.
Решение произведено в программе MathCAD (рисунок 2.9).

19
Рисунок 2.9 – Метод параболической аппроксимации (1 итерация)
Следующим шагом переопределяем точки, через которые будет прохо- дить вторая парабола. После этого проделываем все те же шаги что и первой итерации. После нахождения корня новой параболы проверяем разницу между найденным корнем и корнем, который был найден в предыдущей итерации (ри- сунок 2.10). Разница больше заданной точности, поэтому находим следующую параболу.
Рисунок 2.10 – Метод параболической аппроксимации (2 итерация)

20
Проделываем все те же шаги и в третьей итерации (рисунок 2.11). Прове- ряя разницу между корнями, видим, что она меньше заданной точности. Это значит, что мы решили уравнение и его корень равен
Рисунок 2.11 – Метод параболической аппроксимации (3 итерация)
Для наглядности итераций построим график, на котором будут отмечены заданная функция и полученные параболы (рисунок 2.12).
Рисунок 2.12 – График результатов
Метод простой итерации
Вычислить методом простой итерации корень уравнения sin(x)-x+0.25=0
Для нахождения корня на отрезке [1, 2] преобразуем уравнение f(x)= 0 к виду

(x)= х, получим х=sin(x)+0.25 и проверим на сходимость
, так как условие выполняется для любых значений на заданном отрезке, то решение можно получить методом простой итерации.
Алгоритм метода простой итерации представлен на рисунке 2.13.

21
Рисунок 2.13 – Метод простой итерации без учета проверки на сходи- мость
Решение выполним в MathCaD, результат представлен на рисунке 2.14.
Рисунок 2.14 – Решение методом простой итерации
Корень уравнения получим х

1.171
Начало
а, b, е
x ,
n
Конец
e
x
x


0
нет
x
0
=a
n=1
)
(
0
x
x


да
x
0
=x
n=n+1

22
2.3 Варианты заданий
1. а) Метод Ньютона: x
3
- 0.1x
2
+ 0.4x + 1.2 = 0 б) Метод дихотомии: ctg x - x/2=0 в) Метод сканирования: x
2
- 8x + 3 = 0 2. а) Метод секущих x
3
- 3x
2
+ 6x + 3 = 0 б) Метод простой итерации
x
+ cos(0.387x)-2 = 0 в) Метод Ньютона x
2
- 6x + 4 = 0 3. а) Метод дихотомии: x
3
- 0.1x
2
+ 0.4x - 1.5 = 0 б) Метод секущих: x
2
-4sin x = 0 в) Метод простой итерации: x
2
- 7x + 4 = 0 4. а) Метод Ньютона: x
3
- 0.1x
2
+ 0.4x + 1.2 = 0 б) Метод простой итерации: x lg x - 1.2 = 0 в) Метод сканирования: x
2
- 4x - 4 = 0 5. а) Метод Ньютона: x
3
- 6x - 8 = 0 б) Метод простой итерации: tg (0.4x +0.4) = x
2
в) метод хорд: x
2
- 9x + 3 = 0 6. а) Метод секущих: sin x
2
- 6x + 5 = 0 б) Метод простой итерации: x
3
- 0.1x
2
+ 0.4x - 1.2 = 0 в) Метод Ньютона: x
2
- 4x - 6 = 0 7. а) Метод дихотомии: x
3
- 3x
2
+ 6x - 5 = 0 б) Метод Ньютона: ctg1.05x - x
2
= 0 в) Метод простой итерации: 3x
2
- 7x - 4 = 0 8. а) Метод секущих: x
3
- 3x
2
+ 9x - 8 = 0 б) Метод дихотомии: x - sin x = 0.25 в) Метод ньютона: 3x
2
- 8x - 2 = 0 9. а) Метод дихотомии: x
3
- 0.1x
2
+ 0.4x - 1.5 = 0 б) Метод Ньютона: tg (0.58x + 0.1) = x
2
в) Метод сканирования: 2x
2
- 6x + 3 = 0 10. а) Метод секущих: x
3
- 3x
2
+ 12x - 9 = 0 б) Метод простой итерации: tg (0.5x + 0.2) = x
2
в) Метод Ньютона: x
2
- 9x + 2 = 0
Дополнительное задание
При изучении частот колебаний балки, закрепленной с одного конца, возникает трансцендентное уравнение COS(KL)CH(KL)= -1.
Найдите три наименьших решения этого уравнения.
2.4 Контрольные вопросы

Для чего применяют алгоритм отделения корней?

Какой из методов эффективнее с точки зрения времени счета и количе- ства итерации?

Когда метод Ньютона вырождается?

Как выбор начального приближения может отразиться на конечном ре- зультате?

Приведите примеры из других дисциплин, где приходится решать нели- нейные уравнения.

23 3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: Изучение численных методов для решения систем линей- ных уравнений, умение применять их для решения конкретных технических за- дач, использовать при выполнении курсовых и выпускных работ.
3.1 Порядок выполнения

Изучить теоретический материал по теме “Методы решения систем ли- нейных уравнений “. Подготовить краткое описание темы.

Выполнить сравнительный анализ точных и приближенных методов.

Разработать алгоритм задания полученного варианта.

Составить и отладить программу на языке программирования.

Проверить программу с помощью тестового примера.

Выполнить решение в среде MathCad.

Проанализировать полученные результаты.

Составить отчет по лабораторной работе.
3.2 Контрольный пример
Метод простой итерации
Пример. Дана системалинейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо решить методом простой итерации.
Условия сходимости метода представлено в форме выполнения одного из следующих соотношений:








n
j
ij
i
n
i
ij
j
C
C
C
C
1 2
1 1
1
max
,
1
max
(3.1)
Условие сходимости для заданной системы выполняется, значит СЛАУ может быть решена методом простой итерации. Выразим
Зададим

24 и т.д.
Результаты сведем в таблицу 3.1.
Таблица 3.1 – Результаты расчетов
№ итерации
x
1
x
2
x
3
2 6,371 12,942
-1,799 3
6,755 8,865
-3,448 4
5,241 8,261
-2,946 5
4,848 9,143
-2,441 6
5,197 9,456
-2,483 7
5,366 9,281
-2,630 8
5,300 9,159
-2,644 9
5,242 9,189
-2,607 10 5,250 9,227
-2,596 11 5,267 9,226
-2,605 12 5,268 9,215
-2,609 13 5,267 9,123
-2,607 14 5,264 9,216
-2,606
Условие выполняется для всех , следовательно, ответ найден.
Теперь повторим алгоритм решения СЛАУ (рисунок 3.1) методом про- стой итерации выполним в MathCad (рисунок 3.2).
Рисунок 3.1 – Блок-схема метода простой итерации для решения СЛУ

25
Рисунок 3.2 – Решение СЛАУ методом простой итерации в MathCad
Начало n, A(N,N), B(N), E
I=1,N
S=0
J=1,N
S=S+a(I,J) нет да
I<>J
нет
Выполните пере- становку и по- вторите ввод
I=1,N
X(I)=0
1
да
|a(I,I)|<|S|
1
I=1,N
S
1
=0
S
2
=0
J=1,I-1
S
1
=S
1
+a(I,J)*x
1
(I)
J=I+1,N
S
2
=S
2
+a(I,J)*x(I) x
1
(I)=1/(a(I,I)*(b(I)-S
1
-S
2
)
I=1,N
|x
1
(I)-x(I)|нет
x(I)=x
1
(I)
да
I=1,N x
1
(I)
Конец

26
Метод Зейделя
Пример. Рассмотрим предыдущий пример. Приведем только таблицу значе- ний на нескольких первых итерациях, так как все остальное будет то же самое
(таблице 3.2).
Таблица 3.2 – Результаты расчетов
№ итерации
x
1
x
2
x
3
1 0,182 12,409
-1,783 2
6,711 8,699
-2,906 3
5,060 9,244
-2,557 4
5,268 9,227
-2,609 5
5,270 9,213
-2,607 6
5,262 9,217
-2,606 7
5,264 9,216
-2,607
Как нетрудно заметить, в данном случае последовательность быстрее схо- дится к решению.
3.3 Варианты заданий
1 вариант











0.93
-
0.43 32 0
0.43
-
1.72
-
64 0
0.84
-
0.53 17 2
A












48 0
15 0
15 1
b











3 2
1
x
x
x
x
Решить систему
b
x
A

методом Зейделя с точностью

=10
-4 2 вариант











7.04 1.53 21 3
2.05 4.21 64 0
3.75 2.11 5
11
A











23 5
01 1
38 6
b











3 2
1
x
x
x
x
Решить систему
b
x
A

методом простой итерации с точностью

=10
-5 3 вариант











2,13 4,25
-
21
,
3 0.62
-
1.4
-
43 0
2,23
-
1,17 09
,
7
A













06
,
5 05
,
1 75
,
4
b











3 2
1
x
x
x
x
Решить систему
b
x
A

методом Зейделя с точностью

=10
-4 4 вариант












2,01 0,81 71
,
0 5,11 12,15
-
14
,
1 1,05 1,13
-
21
,
4
A












17
,
0 16
,
4 15
,
6
b











3 2
1
x
x
x
x
Решить систему
b
x
A

методом простой итерации с точностью

=10
-5