Файл: Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Вычислительные методы в инженерных расчетах".pdf

54 6.3 Варианты заданий
Задание 1
Имеется тарировочная таблица для термопары, где даны показания воль- тметра при изменении температуры с постоянным шагом.
С помощью метода интерполяции – метода Ньютона найти показания вольтметра при Т=50+n, где n - номер варианта.
T, F
0+n
20+n
40+n
60+n
80+n
110+n
U, mB+0.2
*
n
1.7 2.54 3.171 6.09 8.57 10.517
Задание 2
Имеются данные, которые представляют соотношение между уровнем шума и различием слов по артикуляции в реверсирующей комнате. Для этих данных выполнить обратную интерполяцию и найти уровень шума, при кото- ром процент артикуляции слов равен 50.
Уровень шума,

Б
% артикуляции слов
75+n
86-n/2 85+n
69-n/3 95+n
40-n/4 105+n
8-n/5
Задание 3
Составить программу для аппроксимации и выполнить задания 1 и 2 .
Провести анализ полученных результатов.
Дополнительное задание
1) Выполнить ручной счет по одному из изученных методов, используя следующие исходные данные, выполнить проверку. x
1 1.25 1.5 1.75 2 y
3 5.656 9.25 13.969 20
Найти значения функции в точке х
1 вариант 1.969 6 вариант 1.202 2 вариант 1.520 7 вариант 1.132 3 вариант 1.874 8 вариант 1.025 4 вариант 1.476 9 вариант 1.951 5 вариант 1.319 10 вариант 1.769 2) Была проведена экспериментальная проверка метронома с новым шар- ниром. Получены следующие результаты зависимости смещения от времени
(таблица):

55
Таблица – Исходных данных
Время, мс
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Смеще- ние, мм
0 0.18 1.05 1.73 2.35 2.96 3.76 4.48 5.28 6.12 7.09 8.00
Установите функциональную зависимость смещения от времени и значе- ние интерполяционного полинома в точке t=21 мс.
6.4 Контрольные вопросы

Полиномом какой степени является интерполяционный полином Ла- гранжа при n+1 узлах?

Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?

Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?

Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?

Можно ли располагать узлы интерполяции произвольно при исполь- зовании метода?

К какому классу функций относится функция, задаваемая интерполя- ционной формулой Лагранжа?

Как повлияет дополнительная n+1 точка исходных данных внутри от- резка [х
0
, х
n
] на точность интерполяции?

Как определить погрешность интерполяции в узле?

Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?

Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции?

Может ли метод Ньютона применяться для экстраполяции?

Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при использова- нии основного метода Ньютона?

Каким путем можно повысить точность интерполяции при использовании метода Ньютона?

Конечную разность какого наивысшего порядка можно получить по n ис- ходным точкам?

Как выражается конечная разность k-го порядка?

Можно ли конечную разность выразить только через исходные значения функции?

В чем заключается разница между первой и второй интерполяционными формулами Ньютона?

Какой прием можно использовать для оценки погрешности интерполяции таблично заданной функции?

Какой степени можно получить интерполяционный полином при трех за- данных точках методом Ньютона?

Сколько существует интерполяционных полиномов степени n?

56

Можно ли при аппроксимации полиномом таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?

Назначение весовых коэффициентов в критерии близости исходной и ап- проксимирующей функций.

Можно ли повысить точность, одновременно увеличив в несколько раз все весовые коэффициенты?

Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худ- шей близости исходной аппроксимирующей функций?

Можно ли с помощью МНК найти параметры неполиномиальной ап- проксимирующей функции?

В чем отличие применения метода при использовании в качестве аппрок- симирующей функции полинома и показательной функции?

В каком случае система нормальных уравнений получается линейной от- носительно искомых коэффициентов?

В каком случае не удастся получить искомые коэффициенты непосред- ственно из решения системы нормальных уравнений?

Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция практически точно проходила через отдельные выбранные точки?

57 7
ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА
№ 7.
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы:
- освоение классических методов решения дифференциальных уравне- ний;
– изучение возможности использования одношаговых и многошаговых методов;
– применение методов для построения математических моделей при ре- шении инженерных задач.
7.1 Порядок выполнения

Отладить программы для решения обыкновенных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Для поставленной задачи построить математическую модель, т.е. диф- ференциальное уравнение, описывающее процесс и начальные условия.

Решить задачу тремя способами с заданной точностью, оформляя каж- дый метод в виде процедуры: а) одним из методов Эйлера б) одним из методов Рунге-Кутта в) методом типа прогноза и коррекции.

Вывести на печать (экран) таблицу результатов в виде:
7.1 – Результаты вычислений
X
Y1
Y2
Y3

Построить графики полученных интегральных кривых.

Проанализировать полученные результаты, принимая во внимание точность, время расчета, степень сложности алгоритма.

Оформить отчет по лабораторной работе.
7.2 Контрольный пример
Метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера
Вычислительный алгоритм (рисунок 7.1) представляется следующим об- разом:
y
i+1
=y(x
i
+h)=y
i
+

y
i
=y
i
+hf(x
i
,y
i
) (7.1 ) где h — шаг по х (в общем случае может быть непостоянным).
Запускается метод из начальных условий y(x
0
)=y
0

58
Рисунок 7.1- Блок-схема метода Эйлера и модифицированного метода
Эйлера
Пример. Решить дифференциальное уравнение вида мето- дом Эйлера на интервале
[0, 1],
где n = 10, h = 0,1 при y
0
(0)=2
Решение выполним в среде MathCad (рисунок 7.2).
Начало
x
0
,y
0
,,a,b,h
i=1
Описание функ- ции f (x,y)
y
1
=y
0
+hf(x
0
,, y
0
)
i

n
y
1
Начало нет да
n=(b-a)/h
i=i+1
y
0
=y
1
x
0
=x
0
+h
Начало
x
0
,y
0
,,a,b,h
i=1
Описание функ- ции f (x,y)
y
1
=y
0
+hf(x
0
,, y
0
)
y
2
=y
1
+h/2(f(x
0
, y
0
)+f(x
0
+h, y
1
))
i

n
y
2
Начало нет да
n=(b-a)/h
i=i+1 y
0
=y
1
x
0
=x
0
+h y
1
=y
2

59
Рисунок 7.2 – Решение методом Эйлера в MathCad
Для повышения точности на практике используют модифицированный метод Эйлера второго порядка. Он имеет следующий вычислительный алго- ритм:
y
i+1
=y
i
+0,5h[f(x
i
,y
i
)+f(x
i+1
,y
i+1
)](7.2)
Метод Рунге-Кутта
Пример. Найдем численное решение дифференциального уравне- ния методом Рунге-Кутты 4-го порядка (условие задачи то же). Алгоритм мето- да представлен на рисунке 7.3.
Формулы метода Рунге-Кутты имеют вид
Отсюда

60
Рисунок 7.3 – Блок-схема метода Рунге-Кутта
Начало
x
0
,y
0
,,a,b,h
i=1
Описание функции
f (x,y)
6 4
3 2
2 2
1 0
1
k
k
k
k
y
y





i

n
y
1
Начало нет да
n=(b-a)/h
i=i+1
y
0
=y
1
x
0
=x
0
+h
k
1
=hf(x
0
,,y
0
)
k
2
=hf(x
0
+h/2,y
0
+k
1
/2)
k
3
=hf(x
0
+h/2,y
0
+k
2
/2)
k
4
=hf(x
0
+h,y
0
+k
3
)

61
Расчет выполним в среде MathCaD (рисунок 7.4).
Рисунок 7.4 – Решение методом Рунге-Кутта в среде MathCaD
7.3 Варианты заданий
Вариант 1. Решить дифференциальное уравнение вида у' =2х +2у
2
при начальных условиях x
0
=0, y(x
0
)
=
1 с шагом h=0,1 на интервале [0, 1].
Вариант 2. Решить дифференциальное уравнение вида y
’
=x
2
+y
2
при начальных условиях y(0)=1 с шагом h=0,1 на интервале [0, 1].
Вариант 3. Решить дифференциальное уравнение вида y
’
=lnx при началь- ных условияхy(1)=1 с шагом h=0,1 на интервале [1, 2].
Вариант 4. Решить дифференциальное уравнение вида
3
/
1
' xy
y

при начальных условиях y(1)=1 с шагом h=0,4 на интервале [1, 5].
Вариант 5. Решить дифференциальное уравнение вида
y
x
y


'
при начальных условиях x
0
=1, y(x
0
)
=
1 с шагом h=0,1 на интервале [1, 2].

62
Вариант 6. Решить дифференциальное уравнение вида
)
1
(
2 1
'



x
x
y
при начальных условиях y(1)=1 с шагом h=0,1 на интервале [1, 2].
Вариант 7. Решить дифференциальное уравнение вида
y
x
y


1
'
при начальных условиях y(0)=1 с шагом h=0,1 на интервале [0, 1]
Вариант 8. Решить дифференциальное уравнение вида
y
x
y
x
y





2
'
при начальных условиях y(0)=1 с шагом h=0,1 на интервале [0, 1]
Вариант
9.
Решить дифференциальное уравнение вида
5 4
3 2
3 7
'







y
x
y
x
y
при начальных условиях y(1)=1 с шагом h=0,2 на интервале
[1, 3].
Вариант 10. Решить дифференциальное уравнение вида
x
y
x
y
y
3 4
7 3
'



при начальных условияхy(0)=1 с шагом h=0,1 на интервале [0, 1].
Дополнительные задания

Цилиндрический резервуар с вертикальной осью высотой 6 м и диа- метром 4 м имеет на дне круглое отверстие радиусом 1/12 м. Требуется устано- вить зависимость уровня воды в резервуаре от времени t, а также определить время, в течение которого вытечет вся вода.
Дифференциальное уравнение, описывающее долгий процесс:
)
(
2
x
Z
gx
KS
dt
dX


где K - коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия (K=0.6 для воды);
q=9.8 м/с
2
,;
S - площадь сечения отверстия;
Z(X) - площадь сечения на высоте x.

Тело с начальной массой 200 кг ускоряется с постоянной силой 2000 H.
Масса тела уменьшается на 1 кг/сек. В момент времени t=0 тело находится в покое. Найдите скорость тела через 50 сек.
t
dt
dV


200 2000
- Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Дифференциальное уравнение записывается в виде:
y
’
= - ky,
где знак минус отражает тот факт, что радиоактивность убывает с течением времени. Предположим, что k=0.01 и что в начальный момент имеется 100 г ра- диоактивного вещества. Сколько вещества остается в момент времени t=100.

63 7.4 Контрольные вопросы

Что является решением дифференциального уравнения?

Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?

К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?

Почему точность метода Эйлера пропорциональна h, а модифициро- ванного — h
2
?

Метод Эйлера относится к одношаговым методам. В чем основное от- личие одно- и многошаговых методов?

Можно ли методом Эйлера решать системы дифференциальных урав- нений?

Можно ли использовать метод Эйлера для решения задач, не относя- щихся к задачам Коши?

Обязательно ли необходимо задание начальных условий при решении дифференциального уравнения методом Эйлера?

В чем заключается отличие явных и неявных вычислительных схем в модифицированном методе Эйлера?

Можно ли оценить погрешность решения дифференциального уравне- ния, не зная точного решения?

Сколько раз необходимо на каждом шаге вычислять правую часть уравнения при использовании метода четвертого порядка?

Как можно оценить погрешность решения дифференциального уравне- ния при использовании метода Рунге — Кутта?

Можно ли задавать погрешность решения при автоматическом подборе шага в относительных величинах?

Сколько предыдущих значений функции нужно иметь, чтобы сосчитать одно следующее значение?

К какой группе методов (аналитические или численные) относится имеющий аналитическое выражение от искомого значения функции метод Рун- ге — Кутта?

Как записывается рекуррентная формула метода четвертого порядка?

Что можно отнести к недостаткам метода, например, самого . распро- страненного четвертого порядка?

Как зависит погрешность метода от величины шага решения?

Возможно ли применение переменного шага в методе Рунге — Кутта?

Каким образом можно организовать автоматический подбор шага ре- шения уравнения?

Каковы достоинства многошаговых методов?

За сколько этапов реализуется метод Милна?

Что делается на этапе прогноза и коррекции?

Являются ли многошаговые методы итерационными?

Почему на каждом шаге многошаговые методы могут использовать меньшее количество раз вычисления правых частей уравнения?

Можно ли оценить погрешность метода Милна?

64
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильков Ю. В. Компьютерные технологии вычислений в математи- ческом моделировании: учебное пособие / Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова.
– Москва: Финансы и статистика, 2002. - 256 с. – Текст: непосредственный.
2. Гунцов А. В. Вычислительные методы: учебное пособие/ А. В. Гунцов,
Л. В. Гунцова. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2011. – 122 с. – Текст: непосредственный.
3. Мойзес Б. Б. Статистические методы контроля качества и обработка экспериментальных данных: учебное пособие / Б. Б. Мойзес, И. В. Плотнико- ва, Л. А. Редько. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета,
2016. – 119 с. – Текст: непосредственный.
4. Семенов Б. В. Вычислительные методы в инженерных задачах: учебное пособие / Б. В. Семенов, Д. Р. Николаева, Н. В. Попова. – Тюмень: ТИУ, 2019. –
80 с. – Текст: непосредственный.

65
Учебно-методическое пособие
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
методические указания по выполнению лабораторных работ по дисци- плине "Вычислительные методы в инженерных расчетах"
Составитель О.В. Баюк, кандидат технических наук, доцент
В авторской редакции
Подписано в печать . Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. .
Тираж экз. Заказ №
Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Тюменский индустриальный университет».
625000, Тюмень, ул. Володарского, 38.
Типография библиотечно-издательского комплекса.
625039, Тюмень, ул. Киевская,
52