Файл: Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Вычислительные методы в инженерных расчетах".pdf

32
Метод секущих для решения нелинейных систем уравнений
Решим систему с точностью ε = 0.001. Для нахождения кор- ня можно выбрать начальное приближение и ε = 0.001 .
Положим и так как
Решим систему
Так как
, то
Вычислим
Поскольку || || > ε, то вычислим
Положим и решим систему
, то есть
Применяя метод Гаусса, получаем
Вычислим
Поскольку || || > ε, то вычислим, то вычислим
И положи
. Дальнейшие результаты вычислений запишем в таблицу
(4.2).
Таблица 4.2 – Результаты вычислений методом секущих
Ответ: x
1
=0 и x
2
= 3. k
0 1
2 3
4 5
1
-0.625
-0.076
-0.0012
-0.00031
-0.0000013 5
3.625 3.076 3.0012 3.0000031 3.0000013
-
1.625 0.549 0.0629 0.01248 0.00031

33
Метод простых итераций для решения нелинейных систем
Найти корни нелинейной системы уравнений расположен- ные в первом квадранте, методом простых итераций с точностью ε = 0.001
Преобразуем систему при помощи матрицы Якоби так, чтобы выполня- лось условие сходимости при приближенных значениях координат решения
Алгоритм представлен на рисунке 4.2.
Рисунок 4.2 - Блок-схема метода простой итерации для решения СНУ
Проверим выполнение условий сходимости. Будем рассматривать окрестность найденной точки
Начало
n=n+1
|x
0
–x
1
||y
0
–y
1
|n, x
1
, y
1
да нет x
0
=x
1 y
0
=y
1
Конец x
0
, y
0
, E
)
0
(
2 1
)
0
(
1 1
y
y
x
x





34
Следовательно, можно получить оценки:
Очевидно, условие выполняется. Выполним вычисления и результаты поместим в таблицу 4.3.
Таблица 4.3 – Результаты выполнения методом простых итераций k
0 1
3 0
0 3
4.3 Варианты заданий
Задание А. Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.
Задание Б. Используя метод Ньютона - Рафсона, решить систему нели- нейных уравнений с точностью до 0,001.
№ варианта
Задание А
Задание Б
1 sin (x +1 ) - у =1,2 2x + cos y =2. tg (xy + 0,4) = x
2 0,6x
2
+ 2y
2
=1 (x

0, y >0)
2 cos (x - 1) + y =0,5 x - cos y = 3 sin (x + y) - 1,6x =0; x
2
+ y
2
= 1 (x

0, y

0)
3 six + 2y = 2 cos (y -1) + x =0,7 tg(xy + 0.1) = x
2
; x
2
+ 2y
2
= 1 4 cos x + y = 1,5 2x - sin (y - 0,5) = 1 sin (x + y) - 1,2x = 0,2 x
2
+ y
2
= 1 5 sin (x + 0,5) - y = 1 cos (y -2) + x =0 0.9x
2
+ 2y
2
= 1 tg (xy + 0,3) = x
2 6 cos (x + 0,5) + y =0,8 sin (y -2x) =1,6 sin (x + y) -1,3 x = 0 x
2
+ y
2
=1 7 sin(x-1)=1.3-y x-sin(y+1)=0.8 tg xy =x
2 0.8x
2
+2y
2
=1 8
2y - cos (x + 1) =0 x + sin y = - 0,4 sin (x +y ) - 1,5x = 0,1 x
2
+ y
2
= 1 9 сos (x + 0,5 ) - y = 2 sin y - 2x = 1 tg xy = x
2 0,7 x
2
+ 2y
2
= 1 10 sin (x + 2) - y = 1,5 x + cos (y - 2) = 0,5 sin (x + y ) -1,2x = 0,1 x
2
+ y
2
=1

35
4.3 Контрольные вопросы

Как проводится отделение корней при решении систем нелинейных уравнений?

Почему после одного шага по методу Ньютона - Рафсона мы не попа- даем в решение, хотя рассчитывали из условия попадания решения?

От чего зависит скорость сходимости метода Ньютона - Рафсона?

Можно ли обеспечить сходимость метода итераций при решении си- стем нелинейных уравнений?

Каким образом повысить точность решения системы нелинейных урав- нений?

Как оказывает влияние на результат решения выбор начального при- ближения в методе итераций?

36 5 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ИНТЕГРАЛОВ
Цель работы:
– освоение численных методов интегрирования;
– изучение возможности нахождения интегралов различными методами;
– применение методов интегрирования для построения математических моделей при решении инженерных задач.
5.1 Порядок выполнения

Изучить теоретический материал по теме «Численное интегрирова- ние».

Вычислить определенный интеграл (по варианту) тремя методами: ме- тодами прямоугольников (левых, правых, средних), трапеций и Симпсона.

Составить и отладить программу, согласно блок-схеме.

Провести анализ результатов, рассмотреть преимущества и недостатки методов, рассчитать погрешность.
Подготовить отчет по лабораторной работе.
5.2 Контрольный пример
К простейшим методам численного интегрирования можно отнести мето- ды прямоугольников (левых и правых) и трапеций (блок-схема на рисунке 5.3).
Метод прямоугольников (левых)










b
a
n
i
n
i
i
i
i
x
f
h
x
f
dx
x
f
I
1 0
1 0
)
(
)
(
)
(

(5.1)
Метод прямоугольников (правых)








b
a
n
i
n
i
i
i
i
x
f
h
x
f
dx
x
f
I
1 1
)
(
)
(
)
(

(5.2)
const
h


1

Метод трапеций

















b
a
n
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
dx
x
f
I
1 0
1 0
0 0
1
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
2
))
(
)
(
(
)
(

(5.3)
,
2 0
h
n




h
n





1 2
1



Метод Симпсона














n
i
i
i
n
n
i
n
b
a
n
i
n
x
f
x
hf
x
f
h
x
f
h
x
h
dx
x
f
I
0 2
/
1 2
2
/
1 1
2 0
)
(
3
)
(
)
(
3 2
)
(
3 4
3
)
(
)
(

(5.4)

37
,
3 0
h
n




,
3 2
2 4
2
h
n








3 4
1 3
1
h
n








Погрешность R вычисления интеграла методом трапеций при использо- вании двойного просчета на практике может быть определена из следующего соотношения:
3 2
/
n
n
I
I
R


где I
п
и I
n/2
— соответственно значения интеграла при числе разбиений п и
n/2.
Пример. Необходимо определить интеграл вида:
Точное значение о интеграла равно
Для нахождения значения интеграла
, используя методы правых и левых прямоугольников необходимо вычислить значения , для каждого следующим образом: и т.д.
Значения в каждой точке интервала [0, 1] показаны в таблице 5.1.
Таблица 5.1 – Значения функции x
i
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y
i
1 0.999 0.996 0.986 0.969 0.943 0.907 0.863 0.813 0.761 0.707
Определим значение интеграла методом левых прямоугольников
(формула 5.1). При количестве разбиений n = 10 формулалевых прямоугольников примет вид:

38
Получим
L=0,923.
Погрешность в данном случае
Определим значение интеграла методом правых прямоугольников
(формула 5.2). При количестве разбиений n = 10 формула правых прямоугольников примет вид:
Получим
R=0,894.
Погрешность в данном случае
Для нахождения значения интеграла методом средних прямоугольников необходимо вычислить значения , для каждого на интервале [0 + ; 1] с шагом 0,1. Значения показаны в таблице 5.2.
Таблица 5.2 – Значения интеграла на отрезке [0+ ; 1] с шагом 0,1 x
i
0.5 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 y
i
0.999 0.998 0.992 0.979 0.957 0.926 0.886 0.839 0.787 0.734 0.68
При количестве разбиений n = 10 формула средних прямоугольников примет вид
Получаем
M=0,909.
Погрешность в данном случае
Для определения значения интеграла методом трапеций воспользуемся формулой (5.3).
При количестве разбиений n = 10 формула трапеций примет вид

39
Получим
T=0,909.
В данном случае, погрешность также будет
Для нахождения значения интеграла методом Симпсона воспользуемся формулой (5.4).
При количестве разбиений n = 10 методом Симпсона интеграл равен
Получим
S=0,909.
Для данного случая, погрешность
В таблице 5.3 показаны сводные результаты интеграла и его погрешности различными методами.
Таблица 5.3 – Сводная таблица результатов методами численного интегрирования
Название метода h=0,2 h=0,1
Результат Погрешность Результат Погрешность
Метод левых пря- моугольников
0,937 0,028 0,923 0,014
Метод правых пря- моугольников
0,878 0,03 0,894 0,015
Метод средних прямоугольников
0,904 0,005 0,909
<0,001
Метод трапеций
0,907 0,002 0,909
<0,001
Метод Симпсона
0,908 0,001 0,909
<0,001
Точное значение
0,909 0,909
Блок-схемы методов для вычисления интеграла представлены на рисун- ках 5.1, 5.2 и 5.3.

40
Рисунок 5.1 – Блок-схема метода прямоугольников (левых, правых)
Начало
А,В, n
x=A
n
a
b
h


S=0
S=S+f(x)*h
x=x+h
x

b-h
S
Начало нет да
Начало
x, n
i=0
S=0
S=S+f(x
i
)(x
i+1
-x
i
)
i=i+1
i

n
S
Начало нет да

41
Рисунок 5.2 - Блок-схема метод трапеций
Начало
А,В, n
n
a
b
h


x=A+h
S=(f(a)+f(b))/2
S=S+f(x)
x=x+h
x

b-h
S*h
Начало нет да
Начало
x, n
i=0
S=0
S=S+1/2*(f(x
i+1
)+f(x
i
))(x
i+1
-x
i
)
i=i+1
i

n-1
S
Начало нет да

42
Рисунок 5.3 - Блок-схема метод Симпсона
5.3 Варианты заданий
Вариант 1. Вычислить интеграл вида:


1 0 1 x
dx
Вариант 2. Вычислить интеграл вида:

2 1 x
dx
Вариант 3. Вычислить интеграл вида:
dx
x

2
/
0
sin

Начало
a, b, n
n
a
b
h


x=A+h
S=(f(a)+f(b))/2
S=S+2f(x)+f(x+h)
x=x+2h
x

b-h
S*2h/3
Начало нет да

43
Вариант 4. Вычислить интеграл вида:

1 0
1
ln dx
x
Вариант 5. Вычислить интеграл вида:

2
/
0
sin

dx
x
x
Вариант 6. Вычислить интеграл вида:



1 1
2 1
/
4
dx
x
x
Вариант 7. Вычислить интеграл вида:
dx
x
x
 
1 0
1
ln
Вариант 8. Вычислить интеграл вида:

2
/
0
cos sin

xdx
x
Вариант 9. Вычислить интеграл вида:


0 2
sin
dx
x
x
Вариант 10. Вычислить интеграл вида:


1 0 1 x
dx
5.4 Контрольные вопросы

Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность нахождения интеграла?

В каких случаях метод прямоугольников находит применение?

Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интегра- ла?

В каких случаях метод трапеций находит применение?

Можно ли получить методами прямоугольников и трапеций точное значение интеграла?

Какой аппроксимирующей заменяется подынтегральная функция в ме- тоде Симпсона?

Если для построения аппроксимирующей функции средняя точка бе- рется не в середине участка, то что изменится в алгоритме метода Симпсона?

Обязательно ли участок интегрирования разбивать при реализации ме- тода Симпсона на более мелкие участки?

Дана подынтегральная функция f(x) = х + 7, с каким методом совпадет метод Симпсона?

Почему метод Симпсона использует аппроксимацию подынтегральной функции квадратичной параболой, а способен интегрировать без ошибки и ку- бические параболы?

44 6 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
И АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНЫМИ ДАННЫМ
Цель работы:
– освоение классических методов интерполяции и аппроксимации;
– изучение возможности экстраполирования данными методами;
– применение методов для построения математических моделей при ре- шении инженерных задач.
6.1 Порядок выполнения a) Изучить методы, рассмотренные теме лабораторной работы:

метод Лагранжа;

метод Ньютона с разделенными и неразделенными разностями;

метод наименьших квадратов. b) Составить тестовый пример для отладки программы.
Например: В качестве искомой функции возьмем значения функции
Y=X
3
в точках x
0
=0, x
1
=l, x
2
=2, x
3
=3. Следовательно y
0
=0, у
1
=1, y
2
=8 y
3
=27
С помощью этих значений определим значение функции в точках:
Х=1.5 Y(1.5)=2.25 - для интерполяции;
Х=4 Y(4)= 64 - для экстраполяции c) Провести ручной счет для интерполяции функции, заданной таблично методами, указанными в задании для индивидуального варианта. d) Составить и отладить программу, реализующую два из изученных ме- тодов. e) Проверить и сравнить результаты ручного и машинного счета. f) Провести сравнительный анализ используемых методов по следующим критериям:

время счета

точность результата

сложность алгоритма g) Привести пример задач (желательно из специальных дисциплин), для решения которых можно применить изученные методы. h) Составить отчет по лабораторной работе.
6.2 Контрольный пример
Основная задача интерполяции -нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстрапо- ляция - несколько более "широкое" понятие, оно сводится к восстановлению функции в точках за пределами заданного интервала. В обоих случаях исход- ные табличные данные могут быть получены как, так и расчетным путем по сложным зависимостям.
Решение задач интерполяции и экстраполяции обеспечивается построе- нием интерполяционной функции L(x), приближенно заменяющей исходную
f(x) заданную таблично, и проходящей через все заданные точки-узлы интерпо- ляции. С помощью этой функции можно рассчитать искомое значение исход-

45 ной функции в любой точке. В связи с интерполяцией рассматриваются три ос- новные проблемы.

выбор интерполяционной функции L(х);

оценка погрешности интерполяции R(x);

размещение узлов интерполяции для обеспечения возможной наивысшей точности восстановления функции (x
1
, x
2
, …, x
n
).
Выбор вида интерполяционной функции является в общем случае важной задачей, особенно если помнить, что через заданные точки можно провести любое количество функций (рисунок 6.1). Следует отметить, что существует очевидный способ построения интерполяционной функции: из условия про- хождения функции через все точки составляется система уравнений, из реше- ния которой и находятся ее параметры. Однако этот путь далеко не самый эф- фективный особенно при большом числе точек.
Метод Лагранжа(рисунок 6.2 и 6.3)
Пусть известны значения некоторой функции f(x) в n+1 произвольных раз- личных точках y
i
=f(x
i
.), i=0,..., n. Для интерполирования (восстановления) функции в какой-либо точке x
i
принадлежащей отрезку [x
0
,…, x
n
] необходимо построить интерполяционный полином n-го порядка, который в методе Ла- гранжа представляется следующим образом:
(6.1)
Оценить погрешность интерполяции в точке х из [x
0
, x
n
] (т.е. решить вто- рую проблему интерполяции) можно по формуле:








n
i
i
n
n
)
x
x
(
)!
n
(
M
)
x
(
L
)
x
(
f
)
x
(
R
0 1
1
(6.2)
Алгоритм метода Лагранжа представлен на рисунках 6.1.
Рисунок 6.1 – Иллюстрация интерполяции

46
Рисунок 6.2 – Блок-схема метода Лагранжа
N
I=Начал о
1,N
X(I)
I=1,N
Y(I)
Y=0
I=1,N
P
1
=1:P
2
=1
J=1,N
P
1
=P
1
*(X-X(J))
P
2
=P
2
*(X(I)-X(J))
Y=Y+Y(I)*P
1
/P
2
Y
Конец
Начало
I<>J

47
Пример. Дана табличная зависимость мощности N токарно-винторезных станков от максимального диаметра обрабатываемой заготовки d, устанавлива- емой над станиной, для десяти моделей, представленная в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Значения максимального диаметра заготовки, устанавлива- емой над станиной, и мощности токарно-винторезных станков
Модель станка
250ИТВМ.03 КА280 1В62Г 16К250 1М63 16К40 1Н65 СА650 1А660 1А670 d, мм
240 400 445 500 630 800 1000 1080 1250 2000
N, кВТ 3 7,5 8,37 11 15 18,5 22 22 30 55
Интерполяция методом Лагранжа определим по формуле (6.1)
Подставим в формулу значение
Значение многочлена Лагранжа методом глобальной интерполяции. получается что, для обработки заготовок диаметром до
700мм необходим станок мощностью не менее 15.8384 кВТ.
Метод Ньютона
Метод Ньютона использует понятие конечных разностей. Конечная раз- ность k - го порядка в i-й точке вычисляется следующим образом:
i
k
i
k
i
k
y
y
y
1 1
1








(6.3) т.е. через конечные разности более низкого порядка.
Интерполяционный многочлен Ньютона записывается следующим обра- зом:
n
n
n
i
i
i
n
h
!
n
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
y
h
!
i
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
y
...
h
!
)
x
x
)(
x
x
)(
x
x
(
y
h
!
)
x
x
)(
x
x
(
y
h
)
x
x
(
y
y
)
x
(
P
1 1
0 0
1 1
0 0
3 2
1 0
0 3
2 1
0 0
2 0
0 0
3 2




























(6.4)
Алгоритм метода Ньютона представлен на рисунке 6.3.

48
Рисунок 6.3 – Блок-схема метода Ньютона
Начало x(n),y(n) n,x
R f=1:h=1 R=y(0) i=0,n d
i,0
=y(i) j=1,n i=0,n-j d
ij
=d i+1,j-1
-d i,j-1
f=f*j:p=1 c=do,j/(f*h j
) k=0,j-1 p=p(x-x(k))
R=R+c