Файл: Лекции ввести понятие кривых второго порядка, рассмотреть виды уравнений кривых второго порядка.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 140
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ЛЕКЦИЯ 5Кривые второго порядкацель лекции: ввести понятие кривых второго порядка, рассмотреть виды уравнений кривых второго порядка ключевые слова (термины): Окружность, эллипс, гипербола, парабола, каноническое уравнение, эксцентриситет.основные вопросы (положения) и краткое содержаниеДля составления уравнений линий в декартовых координатах нужно задать определение или геометрические свойства этой линии и исходя из этого составить уравнение этой линии, т.е. связать между собой текущие координаты точек рассматриваемой линии. Этим способом составим уравнения: окружности, эллипса, гиперболы и параболы. ОкружностьОкружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Пусть - центр окружности, R - её радиус, - произвольная точка окружности. На основании определения окружности и формулы расстояния между двумя точками имеем: или (3.1)Уравнение (3.1) называется простейшим или каноническим уравнением окружности. У Если , то получается уравнение окружности с центром
R
в начале координат, т.е. (3.2)
x Раскрывая скобки в уравнении (3.1) и перенося R2 в левую часть, получим: или (3.3) где Если уравнение окружности дано в виде (3.1) или (3.2), то сразу видно, что координаты центра окружности равны а и b, а радиус равен R.Если уравнение окружности дано в виде (3.3), то (3.4). Уравнение (3.3) называется общим уравнением окружности и является уравнением второй степени. Пример: Определить координаты центра и радиус окружности привести ее к простейшему виду. Решение: Первый способ: используя формулу (3.4) находим координаты центра и радиус окружности. Так как , тоТогда каноническое уравнение окружности будет иметь вид: .2 способ: преобразуем исходное уравнение следующим образом: или .Окончательно получим каноническое уравнение окружности в виде .Т.е. координаты центра и радиус окружности равны: .ЭллипсЭллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек
и , называемых фокусами эллипса , есть величина постоянная ( ) , большая чем расстояние между фокусами. Обозначим расстояние между фокусами . Это расстояние называется фокусным расстоянием. Для составления уравнения эллипса введем систему координат (рис.10). За начало координат примем середину отрезка , прямую - за ось OХ, а ось OУ проведем перпендикулярно к оси OХ. Тогда фокусы имеют координаты . ух Рис.1Пусть произвольная точка эллипса. На основании определения эллипса имеем: (3.5) причем , т.е. или . Обозначим
, тогда (3.6) Отрезки и - называются фокальными радиусами. Используя формулу расстояний между двумя точками на плоскости получим: (3.7)Поставив значения и в (3.6) получим: (3.8) Преобразуем уравнение (3.8): или так как , то, обозначив будем иметь (3.9) Уравнение (3.9) называется каноническим уравнением эллипса.Для исследования формы эллипса, выразим из уравнения (3.9) переменную у как функцию от x: (3.10)Так эллипс симметричен относительно координатных осей, достаточно рассмотреть ту часть эллипса, которая расположена в первой четверти. При
R
в начале координат, т.е. (3.2)
x Раскрывая скобки в уравнении (3.1) и перенося R2 в левую часть, получим: или (3.3) где Если уравнение окружности дано в виде (3.1) или (3.2), то сразу видно, что координаты центра окружности равны а и b, а радиус равен R.Если уравнение окружности дано в виде (3.3), то (3.4). Уравнение (3.3) называется общим уравнением окружности и является уравнением второй степени. Пример: Определить координаты центра и радиус окружности привести ее к простейшему виду. Решение: Первый способ: используя формулу (3.4) находим координаты центра и радиус окружности. Так как , тоТогда каноническое уравнение окружности будет иметь вид: .2 способ: преобразуем исходное уравнение следующим образом: или .Окончательно получим каноническое уравнение окружности в виде .Т.е. координаты центра и радиус окружности равны: .ЭллипсЭллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек
и , называемых фокусами эллипса , есть величина постоянная ( ) , большая чем расстояние между фокусами. Обозначим расстояние между фокусами . Это расстояние называется фокусным расстоянием. Для составления уравнения эллипса введем систему координат (рис.10). За начало координат примем середину отрезка , прямую - за ось OХ, а ось OУ проведем перпендикулярно к оси OХ. Тогда фокусы имеют координаты . ух Рис.1Пусть произвольная точка эллипса. На основании определения эллипса имеем: (3.5) причем , т.е. или . Обозначим
, тогда (3.6) Отрезки и - называются фокальными радиусами. Используя формулу расстояний между двумя точками на плоскости получим: (3.7)Поставив значения и в (3.6) получим: (3.8) Преобразуем уравнение (3.8): или так как , то, обозначив будем иметь (3.9) Уравнение (3.9) называется каноническим уравнением эллипса.Для исследования формы эллипса, выразим из уравнения (3.9) переменную у как функцию от x: (3.10)Так эллипс симметричен относительно координатных осей, достаточно рассмотреть ту часть эллипса, которая расположена в первой четверти. При
получим 
. Точка 
самая верхняя точка рассматриваемой линии. Пусть х возрастает, тогда при 
, получим, что 
.
При дальнейшем увеличении х, т.е. при 
, подкоренное выражение (3.10) будет отрицательным, у – мнимым . Следовательно точка 
является самой правой точкой исследуемого графика. Дуга ВА является четвертью эллипса (рис.11).
у у
х х
Рис.11 Рис.12
Произведя зеркальное отражение дуги ВА относительно осей координат, получим весь эллипс (Рис.12).
Отрезок 
называют большой полуосью эллипса, 
малой полуосью.
Из (3.8) путем элементарных преобразований можно получить: 
или 
Обозначим 
, тогда 
и 