Файл: Лекции ввести понятие кривых второго порядка, рассмотреть виды уравнений кривых второго порядка.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 56
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Величина
называется эксцентриситетом эллипса.
Так как
, то 
Отсюда
и 
Эксцентриситет определяется отношением осей координат. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном
.
Уравнения директрис:
.
Уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, имеет вид:
где 
- координаты центра эллипса.
Пример 1: Найти длину осей эллипса
и вычислить координаты его фокусов и эксцентриситет.
Решение: Уравнение приведем к каноническому виду, разделив все части уравнения на 400:
отсюда
Найдем теперь полуфокусное расстояние
Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты
.
Эксцентриситет эллипса равен:
.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса
, зная, фокусы которого расположены на оси ОХ, симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26.
Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде
.
Найдем полуоси эллипса.
По условию
, т.е полуфокусное расстояние равно 
; и 
, значит большая полуось эллипса равна 
.
Используя формулу
, найдем малую полуось эллипса:
.
Подставляя найденные значения полуосей в каноническое уравнение эллипса, окончательно получим:
.
Пример3. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки
.
Решение. Уравнение эллипса ищем в виде
.
Так как эллипс проходит через точки А и В, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
и 
.
Получили систему уравнений для определения неизвестных а и b:
Умножив втрое уравнение системы на (-4) и сложив с первым, получим
, откуда 
.
Найденное значение
подставим в первое уравнение:
, откуда 
.
Искомое уравнение эллипса будет иметь вид:
.
Пример 4. Составить уравнение эллипса, зная, что его большая полуось равна 10 и фокусы эллипса находятся в точках
.
Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде
.
По условию большая полуось эллипса равна
. Требуется найти малую полуось и координаты центра эллипса.
Найдем сначала полуфокусное расстояние
Тогда используя формулу
, находим малую полуось эллипса:
Фокусы эллипса находятся на одинаковом расстоянии от центра эллипса. Значит, для нахождения координат центра найдем координаты середины отрезка
:
Т.е. центр эллипса находится в точке
.
Составляем уравнение эллипса:
.
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек
и 
, называемых фокусами есть величина постоянная (
), меньшая, чем расстояние между фокусами.
Расстояния
между фокусами называется фокальным расстоянием. Причем 
, т.е. 
.
Для вывода уравнения гиперболы за начало координат примем середину отрезка
. Ось ОХ примем прямую
, a ось ОУ проведем перпендикулярно к оси ОХ. Тогда фокусы имеют координаты
(Рис.13).
у
х
Рис.13
Пусть – произвольная точка гиперболы.
Согласно определению гиперболы имеем:
(3.11)
Используя формулу (3.7) получим:
Проведя элементарные преобразования, получим:
(3.12)
обозначив
, где 
, перепишем (3.13) в виде
(3.13)
Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы, используя уравнение (3.13).
Уравнение (3.13) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОУ и относительно точки
, называемой центром гиперболы.
При
получим 
, т.е гипербола пересекает ось ОХ в двух точках 
и 
, которые называются вершинами гиперболы.
При
получим 
, что невозможно. Поэтому гипербола ось ОУ не пересекает.
Отрезок
называется действительной осью гиперболы, отрезок
- действительной полуосью. Отрезок 
, соединяющий точки 
и 
называется мнимой осью гиперболы, отрезок 
- мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 
и 
называется основным прямоугольником гиперболы.
Из уравнения (3.13) следует, что
или 
. Это неравенство означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой 
и слева от прямой 
Прямые
(3.14)
называются асимптотами гиперболы.
При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить основной прямоугольник гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
.
Для гиперболы
, так как .
Учитывая, что
, получим:
.
Откуда
.
Из этого равенства следует, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы (
), тем больше вытянут основной прямоугольник вдоль оси ОХ.
Если полуоси гиперболы равны, т.е.
, то гипербола называется равносторонней, её уравнение имеет вид:
Величина
называется эксцентриситетом эллипса. Так как
, то Отсюда
и Эксцентриситет определяется отношением осей координат. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном
.Уравнения директрис:
.Уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, имеет вид:
где - координаты центра эллипса.Пример 1: Найти длину осей эллипса
и вычислить координаты его фокусов и эксцентриситет. Решение: Уравнение
приведем к каноническому виду, разделив все части уравнения на 400: отсюда
Найдем теперь полуфокусное расстояние
Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты
.Эксцентриситет эллипса равен:
.Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса
, зная, фокусы которого расположены на оси ОХ, симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26.
Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде
.Найдем полуоси эллипса.
По условию
, т.е полуфокусное расстояние равно ; и , значит большая полуось эллипса равна .Используя формулу
, найдем малую полуось эллипса: .Подставляя найденные значения полуосей в каноническое уравнение эллипса, окончательно получим:
.Пример3. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки
.Решение. Уравнение эллипса ищем в виде
.Так как эллипс проходит через точки А и В, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
и .Получили систему уравнений для определения неизвестных а и b:
Умножив втрое уравнение системы на (-4) и сложив с первым, получим
, откуда .Найденное значение
подставим в первое уравнение: , откуда
.
Искомое уравнение эллипса будет иметь вид:
.Пример 4. Составить уравнение эллипса, зная, что его большая полуось равна 10 и фокусы эллипса находятся в точках
.Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде
.По условию большая полуось эллипса равна
. Требуется найти малую полуось и координаты центра эллипса.Найдем сначала полуфокусное расстояние
Тогда используя формулу
, находим малую полуось эллипса: Фокусы эллипса находятся на одинаковом расстоянии от центра эллипса. Значит, для нахождения координат центра найдем координаты середины отрезка
: Т.е. центр эллипса находится в точке
.Составляем уравнение эллипса:
.Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек
и , называемых фокусами есть величина постоянная ( ), меньшая, чем расстояние между фокусами. Расстояния
между фокусами называется фокальным расстоянием. Причем , т.е. . Для вывода уравнения гиперболы за начало координат примем середину отрезка
. Ось ОХ примем прямую
, a ось ОУ проведем перпендикулярно к оси ОХ. Тогда фокусы имеют координаты
(Рис.13).у
х
Рис.13
Пусть
– произвольная точка гиперболы.Согласно определению гиперболы имеем:
(3.11) Используя формулу (3.7) получим:
Проведя элементарные преобразования, получим:
(3.12) обозначив
, где , перепишем (3.13) в виде (3.13) Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы, используя уравнение (3.13).
Уравнение (3.13) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОУ и относительно точки
, называемой центром гиперболы.При
получим , т.е гипербола пересекает ось ОХ в двух точках и , которые называются вершинами гиперболы. При
получим , что невозможно. Поэтому гипербола ось ОУ не пересекает.Отрезок
называется действительной осью гиперболы, отрезок
- действительной полуосью. Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью гиперболы, отрезок - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.Из уравнения (3.13) следует, что
или . Это неравенство означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой и слева от прямой Прямые
(3.14)называются асимптотами гиперболы.
При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить основной прямоугольник гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
.Для гиперболы
, так как .Учитывая, что
, получим: .Откуда
.Из этого равенства следует, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы (
), тем больше вытянут основной прямоугольник вдоль оси ОХ.Если полуоси гиперболы равны, т.е.
, то гипербола называется равносторонней, её уравнение имеет вид: