.

Величина называется эксцентриситетом эллипса.

Так как , то

Отсюда

и

Эксцентриситет определяется отношением осей координат. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном .

Уравнения директрис: .

Уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, имеет вид:

где - координаты центра эллипса.
Пример 1: Найти длину осей эллипса и вычислить координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение: Уравнение приведем к каноническому виду, разделив все части уравнения на 400:



отсюда

Найдем теперь полуфокусное расстояние



Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты

.

Эксцентриситет эллипса равен: .

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса

---

, зная, фокусы которого расположены на оси ОХ, симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26.

Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде

.

Найдем полуоси эллипса.

По условию , т.е полуфокусное расстояние равно ; и , значит большая полуось эллипса равна .

Используя формулу , найдем малую полуось эллипса:

.

Подставляя найденные значения полуосей в каноническое уравнение эллипса, окончательно получим:

.
Пример3. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение. Уравнение эллипса ищем в виде

.

Так как эллипс проходит через точки А и В, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:

и .

Получили систему уравнений для определения неизвестных а и b:



Умножив втрое уравнение системы на (-4) и сложив с первым, получим

, откуда .

Найденное значение подставим в первое уравнение:

, откуда

---

.

Искомое уравнение эллипса будет иметь вид: .
_{Пример 4.} Составить уравнение эллипса, зная, что его большая полуось равна 10 и фокусы эллипса находятся в точках _.

Решение. Уравнение эллипса будем искать в виде

.

По условию большая полуось эллипса равна . Требуется найти малую полуось и координаты центра эллипса.

Найдем сначала полуфокусное расстояние



Тогда используя формулу , находим малую полуось эллипса:



Фокусы эллипса находятся на одинаковом расстоянии от центра эллипса. Значит, для нахождения координат центра найдем координаты середины отрезка :



Т.е. центр эллипса находится в точке .

Составляем уравнение эллипса:

.
Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами есть величина постоянная ( ), меньшая, чем расстояние между фокусами.

Расстояния между фокусами называется фокальным расстоянием. Причем , т.е. .

Для вывода уравнения гиперболы за начало координат примем середину отрезка . Ось ОХ примем прямую

---

, a ось ОУ проведем перпендикулярно к оси ОХ. Тогда фокусы имеют координаты (Рис.13).

у




х


Рис.13

Пусть – произвольная точка гиперболы.

Согласно определению гиперболы имеем:

(3.11)

Используя формулу (3.7) получим:



Проведя элементарные преобразования, получим:

(3.12)

обозначив , где , перепишем (3.13) в виде

(3.13)

Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы, используя уравнение (3.13).

Уравнение (3.13) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОУ и относительно точки , называемой центром гиперболы.

При получим , т.е гипербола пересекает ось ОХ в двух точках и , которые называются вершинами гиперболы.

При получим , что невозможно. Поэтому гипербола ось ОУ не пересекает.

Отрезок

---

называется действительной осью гиперболы, отрезок - действительной полуосью. Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью гиперболы, отрезок - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

Из уравнения (3.13) следует, что или . Это неравенство означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой и слева от прямой

Прямые

(3.14)

называются асимптотами гиперболы.

При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить основной прямоугольник гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение .

_{Для гиперболы} , так как <sub>.

Учитывая, что , получим:</sub>

.

Откуда .

Из этого равенства следует, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы ( ), тем больше вытянут основной прямоугольник вдоль оси ОХ.

Если полуоси гиперболы равны, т.е. , то гипербола называется равносторонней, её уравнение имеет вид:

---

Смотрите также файлы

• 1. Понятие и признаки государства Государство.docx

• Июнь. Комплекс 1 Погремушки. Вводная часть.doc

• Курсовая работа Управление природопользованием в России.docx

• Петров Никита Владимирович.pdf

• Санды сауаттылы Педагогты атыжні.docx