. (3.15)

Прямые называются директрисами гиперболы.

Так как для гиперболы , то . Это означает, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной.

у




х





Рис.14

Уравнение

(3.16)

также является уравнением гиперболы, действительная ось которой лежит на оси ОУ, а мнимая ось лежит на оси ОХ.

Эксцентриситет этой гиперболы равен , асимптоты определяются уравнениями , а уравнения директрис .

Гиперболы, определяемые уравнениями (3.13) и (3.16) называются сопряженными.

Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат, имеет вид:

(3.17) где - координаты центра гиперболы.

Пример 1: Составить каноническое уравнение гиперболы и ее асимптоты, зная, что расстояние между фокусами , а эксцентриситет .

Решение: Так как по условию и

---

,

то и .

По формуле имеем: , . Поэтому уравнение гиперболы примет вид: .

Уравнение асимптот имеет вид: , т.е. .
Пример 2. Составить уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси ОУ и расстояние между ними равно 10, а действительная ось равна 8.

Решение. Так как фокусы гиперболы находятся на оси ОУ( т.е. ось ОУ будет действительной для гиперболы), то уравнение гиперболы будем искать в виде: .

По условию .

Из соотношения находим мнимую полуось:

.

Поэтому уравнение гиперболы примет вид: .
Пример 3. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а мнимая ось равна 6.

Решение. Центром гиперболы будет середина отрезка , т.е. точка, координаты которой будут равны

,

Уравнение гиперболы будем искать в виде:

.

По условию . Расстояние между фокусами равно .

Находим теперь действительную полуось: так как , то

---

.

Значит, уравнение гиперболы будет иметь вид:

.

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

у





r

х


Рис.15

Выведем каноническое уравнение параболы. За ось ОХ примем прямую, проходящую через точку F. Ось ОУ проведем перпендикулярно через середину отрезка и примем . Следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы .

Пусть произвольная точка параболы, тогда по определению параболы имеем или

(3.18)

Избавляясь от иррациональности, получим:



или (3.19)

Уравнение (3.19) называется каноническим уравнением параболы.

Так как в уравнение (3.19) переменная у входит в четной степени, то парабола симметрична относительно оси ОХ, сама ось ОХ является осью симметрии параболы.

При получим , значит, парабола проходит через начало координат. Точка является вершиной параболы. Если , то ветви параболы направлены вправо, при

---

ветви направлены влево.

Длина отрезка называется фокальным радиусом точки М. Фокальный радиус вычисляется по формуле

(3.20)

Уравнение (3.21)

также является каноническим уравнением параболы.

Парабола, определяемая уравнением (3.21) симметрична относительно оси ОУ; вершина находится в точке ; ветви направлены вверх при и вниз при .

Фокус такой параболы находится в точке , уравнение директрисы имеет вид , фокальный радиус равен (3.22)

Если парабола имеет осями симметрии прямые, параллельные осям координат, то уравнение параболы примет вид:

(3.23)

или

(3.24)

где - координаты вершины параболы.

Пример 1. Составить уравнение параболы зная, что она симметрична относительно оси ОХ и проходит через начало координат и точку .

Решение: Подставив координаты точки в уравнение (3.19), получим , откуда .

Тогда уравнение параболы примет вид: .
Пример 2. Дана парабола . Найти координаты её фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки .

Решение. Парабола задана каноническим уравнением (3.21). Находим р:

---

.

Поэтому фокус параболы будет иметь координаты , а уравнение директрисы будет иметь вид: .

Фокальный радиус точки найдем по формуле (3.22):

.

Пример 3. Найти вершину, фокус и директрису параболы .

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат из квадратного трехчлена:

.

Значит или .

Уравнение параболы имеет вид (3.24). Вершина этой параболы находится в точке ; , т.е. .

Прямая является осью симметрии параболы, фокус имеет координаты , т.е. .

Уравнение директрисы , т.е .
Вопросы для самоконтроля:

1. 
   Определение окружности.
   
2. 
   Каноническое уравнение окружности.
   
3. 
   Определение эллипса, его каноническое уравнение.
   
4. 
   Полуоси, фокусы, эксцентриситет эллипса.
   
5. 
   Определение гиперболы, её каноническое уравнение.
   
6. 
   Полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот гиперболы.
   
7. 
   Определение параболы, её канонические уравнения.
   
8. 
   Фокус, директриса параболы.
   

критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения:

Даны в силлабусе.

рекомендуемая литература: Дана в силлабусе.

---

Смотрите также файлы

• 1. Понятие и признаки государства Государство.docx

• Июнь. Комплекс 1 Погремушки. Вводная часть.doc

• Курсовая работа Управление природопользованием в России.docx

• Петров Никита Владимирович.pdf

• Санды сауаттылы Педагогты атыжні.docx