Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 145
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Программная реализация рекурсии.
Общие принципы реализации.
Ранее было показано, что рекурсия является чрезвычайно удобной и полезной алгоритмической структурой. Рекурсивные алгоритмы, как правило, менее сложные. Настало время выяснить, как использовать их в практической работе.
Рекурсивные алгоритмы в программировании реализованы в механизме так называемых рекурсивных подпрограмм. Рекурсивной считается подпрограмма, которая прямо или косвенно, через другие подпрограммы, обращается к себе, быть может с иными фактическими параметрами. В современных системах программирования корректное функционирование подпрограмм, особенно рекурсивных, обеспечивается с помощью стека.
Стек – связная структура данных, построенная на принципе «первый пришёл – первый вышел» (First In – First Out, FIFO). То есть вновь добавляемые объекты помещаются в начало, вершину стека, и выбираются они также только из вершины.
Стек является чрезвычайно удобной структурой данных для многих задач вычислительной техники. Наиболее типичной из таких задач является обеспечение вложенных вызовов процедур. Предположим, имеется процедура A, которая вызывает процедуру B, а та в свою очередь - процедуру C. Когда выполнение процедуры A дойдет до вызова B, процедура A приостанавливается и управление передается на входную точку процедуры B. Когда B доходит до вызова C, приостанавливается B и управление передается на процедуру C. Когда заканчивается выполнение процедуры C, управление должно быть возвращено в B, причем в точку, следующую за вызовом C. При завершении B управление должно возвращаться в A, в точку, следующую за вызовом B. Правильную последовательность возвратов легко обеспечить, если при каждом вызове процедуры записывать адрес возврата в стек. Так, когда процедура A вызывает процедуру B, в стек заносится адрес возврата в A; когда B вызывает C, в стек заносится адрес возврата в B. Когда C заканчивается, адрес возврата выбирается из вершины стека - а это адрес возврата в B. Когда заканчивается B, в вершине стека находится адрес возврата в A, и возврат из B произойдет в A.
Механизм вызова функции или процедуры в языке высокого уровня существенно зависит от архитектуры компьютера и операционной системы. В рамках IBM PC совместимых компьютеров, в микропроцессорах семейства Intel, как и в большинстве современных процессорных архитектур
, поддерживается аппаратный стек. Аппаратный стек расположен в ОЗУ, указатель стека содержится в паре специальных регистров SS:SP доступных для программиста. Аппаратный стек расширяется в сторону уменьшения адресов, указатель его адресует первый свободный элемент. Выполнение команд CALL и INT, а также аппаратных прерываний включает в себя запись в аппаратный стек адреса возврата. Как передаваемые в процедуру или функцию фактические параметры, так и возвращаемые из них значения помещаются в аппаратный стек специальными командами процессора. Дополнительно сохраняются значения необходимых регистров. Схематично этот механизм иллюстрирован на рисунке 1.
Выполнение команд RET и IRET включает в себя выборку из аппаратного стека адреса возврата и передачу управления по этому адресу. Пара команд - PUSH и POP - обеспечивает использование аппаратного стека для программного решения других задач.
Системы программирования для блочно-ориентированных языков (PASCAL, C, C++ и др.) используют стек для размещения в нем локальных переменных процедур и иных программных блоков. Стек разбит на фрагменты, представляющие собой блоки последовательных ячеек. Каждый вызов подпрограммы использует фрагмент стека, длина которого зависит от вызывающей подпрограммы. При каждой активизации процедуры память для ее локальных переменных выделяется в стеке; при завершении процедуры эта память освобождается. Поскольку при вызовах процедур всегда строго
рисунок 1
соблюдается вложенность, то в вершине стека всегда находится память, содержащая локальные переменные активной в данный момент процедуры.
Таким образом, в общем случае при вызове процедурой A процедуры B происходит следующее:
1. В вершину стека помещается фрагмент нужного размера. В него входят следующие‚ данные: (а) указатели фактических параметров вызова процедуры В; (б) пустые ячейки для локальных переменных, определенных в процедуре В; (в) адрес возврата, т.е. адрес команды в процедуре A, которую следует выполнить после того, как процедура B закончит свою работу.
Если B - функция, то во фрагмент стека для B помещается указатель ячейки во фрагменте стека для A, в которую надлежит поместить значение этой функции (адрес значения).
2. Управление передается первому оператору процедуры B.
3. При завершении работы процедуры B управление передается процедуре A с помощью следующей последовательности шагов: (а) адрес
возврата извлекается из вершины стека; (б) если B - функция, то ее значение запоминается в ячейке, предписанной указателем на адрес значения; (в) фрагмент стека процедуры B извлекается из стека, в вершину ставится фрагмент процедуры A; (г) выполнение процедуры A возобновляется с команды, указанной в адресе возврата.
При вызове подпрограммой самой себя, т.е. в рекурсивном случае, выполняется та же самая последовательность действий.
Этот прием делает возможной легкую реализацию рекурсивных процедур. Когда процедура вызывает сама себя, то для всех ее локальных переменных выделяется новая память в стеке, и вложенный вызов работает с собственным представлением локальных переменных. Когда вложенный вызов завершается, занимаемая его переменными область памяти в стеке освобождается и актуальным становится представление локальных переменных предыдущего уровня. За счет этого в языках PASCAL и C любые процедуры и функции могут вызывать сами себя. В языке PL/1, где по умолчанию приняты другие способы размещения локальных переменных, рекурсивная процедура должна быть определена с описателем RECURSIVE - только тогда ее локальные переменные будут размещаться в стеке.
Рекурсия использует стек в скрытом от программиста виде, но все рекурсивные процедуры могут быть реализованы и без рекурсии, но с явным использованием стека. Пример подобной «развертки» рекурсии можно увидеть в реализации быстрой сортировки Хоара через стек 1.
Один проход сортировки Хоара разбивает исходное множество на два множества. Границы полученных множеств запоминаются в стеке. Затем из стека выбираются границы, находящиеся в вершине, и обрабатывается множество, определяемое этими границами. В процессе его обработки в стек может быть записана новая пара границ и т.д. При начальных установках в стек заносятся границы исходного множества. Сортировка заканчивается с опустошением стека.
Хочется заметить, что для сортировки используется именно реализация на основе массива. Действительно, основное требование к сортировке - быстрота, а операции с массивом выполняются значительно быстрее, нежели переход по указателям. Память же, требуемая под стек в данном алгоритме -
, константа мала, так что для сортировки 1 Гб информации требуется лишь около 1 Кб стек.
Здесь перед нами встаёт вопрос практической оценки сложности алгоритма, которая теперь будет зависеть и от используемой вычислительной системы и от программных механизмов. Анализ трудоемкости рекурсивных реализаций алгоритмов, очевидно, связан как с количеством операций, выполняемых при одном вызове функции, так и с количеством таких вызовов. Графическое представление порождаемой данным алгоритмом цепочки рекурсивных вызовов называется деревом рекурсивных вызовов. Более детальное рассмотрение приводит к необходимости учета затрат как на организацию вызова функции и передачи параметров, так и на возврат вычисленных значений и передачу управления в точку вызова.
Можно заметить, что некоторая ветвь дерева рекурсивных вызовов обрывается при достижении такого значения передаваемого параметра, при котором функция может быть вычислена непосредственно. Таким образом, рекурсия эквивалентна конструкции цикла, в котором каждый проход есть выполнение рекурсивной функции с заданным параметром.
Рассмотрим пример для функции вычисления факториала: дерево рекурсии при вычислении 5! (рисунок 2)
рисунок 2
Дерево рекурсивных вызовов может иметь и более сложную структуру, если на каждом вызове порождается несколько обращений – фрагмент дерева рекурсий для чисел Фибоначчи представлен на рисунке 3: вычисление 5-ого числа Фибоначчи Fb(5).
рисунок 3
Упомянутый анализ практической сложности программ показывает, что часто асимптотически более сложные итеративные алгоритмы, на практике становятся более эффективными. Так, сравнивая скорость вычисления чисел Фибоначчи с помощью итеративной и рекурсивной функции можно заметить, что итеративная функция выполняется почти «мгновенно», не зависимо от значения
. При использовании же рекурсивной функции уже при 
заметна задержка при вычислении, а при больших
результат появляется весьма не скоро. Причина, как уже было сказано, кроется в том, что в теории не учтена зависимость времени работы программы от количества вызовов вложенных подпрограмм. Неэффективность рекурсии проявляется в том, что одни и те же вычисления производятся много раз. Особенно сильно это проявляется в методе, который был самым востребованным при построении теоретически быстрых рекурсивных алгоритмов, - методе бинарного разбиения на независимые подзадачи. Когда подзадачи независимы, это часто приводит к недопустимо большим затратам времени, так как одни и те же подзадачи начинают решаться по многу раз.
Обходить подобные ситуации позволяет подход, известный как динамическое программирование 1. Этот подход для реализации рекурсивных программ дает возможность получать эффективные и элегантные решения для обширного класса задач.
Технология, называемая восходящим динамическим программированием (bottom-up dynamic programming) основана на том, что значение рекурсивной функции можно определить, вычисляя все значения этой функции, начиная с наименьшего, используя на каждом шаге ранее вычисленные значения для подсчета текущего значения. Она применима к любому рекурсивному вычислению при условии, что мы можем позволить себе хранить все ранее вычисленные значения. Это в результате позволит уменьшить временную зависимость с экспоненциальной на линейную!
Нисходящее динамическое программирование (top-down dynamic programming) – еще более простая технология. Она позволяет выполнять рекурсивные функции при том же количестве итераций, что и восходящее динамическое программирование. Технология требует введения в рекурсивную программу неких средств, обеспечивающих сохранение каждого вычисленного значения и проверку сохраненных значений во избежание их повторного вычисления.
Таким образом, современные информационные технологии содержат достаточно средств, чтобы сделать теоретически эффективные рекурсивные алгоритмы, также эффективными и широко используемыми на практике.
Пример: компилятор Turbo Pascal 7.0.
Широкие возможности использования рекурсивных процедур даёт среда программирования Turbo Pascal 7.0. Механизм этого процесса реализован здесь согласно общим принципам – с помощью стека.
Пользователь может полностью контролировать преобразование данных в стеке, появление и завершение рекурсивных вызовов, для чего нажатием клавиш Ctrl+F3 открывается окно «Call Stack». В нём содержится вся информация о текущем состоянии стека.