Файл: Контрольная работа за 2 семестр По дисциплине Математика Вариант 2 Фамилия Имя.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 130
Скачиваний: 2
| Рецензия 1 | Дата получения работы:_____________ | Рецензия 2 | Дата получения работы:_____________ | ||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| Оценка:_____________ | Баллы:_____________ | Оценка:_____________ | Баллы:_____________ | ||
| Дата: __________________ | Подпись преподавателя: _______________________ | Дата: ________________ | Подпись преподавателя: _______________________ | ||
| | | ||||
| Рецензия 3 | Дата получения работы:_____________ | Рецензия 4 | Дата получения работы:_____________ | ||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| №_________________________________________ ___________________________________________ | №_________________________________________ ___________________________________________ | ||||
| Оценка:_____________ | Баллы:_____________ | Оценка:_____________ | Баллы:_____________ | ||
| Дата: __________________ | Подпись преподавателя: _______________________ | Дата: ________________ | Подпись преподавателя: _______________________ | ||
Задача 2. Проверить потенциальность плоского поля и вычислить работу силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку . , , .Решение.Если - потенциальное плоское векторное поле, где и имеют непрерывные первые частные производные в некоторой области , то в справедливо тожество . Так как и . Вычислим частные производные и . Частная производная функции по переменной , тогда , получим . Частная производная функции по переменной , тогда , получим .Тогда имеем
, следовательно, поле 
потенциальное.
Работа силы 
при перемещении из точки 
в точку 
равна:
,
так как подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, то криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки и . Вычислим работу по прямолинейному отрезку 
. Уравнение прямой : 
, 
, 
, где 
тогда 
.
Тогда работа силы равна 
.
Ответ: - потенциально и 
.
Задача 12. Вычислить криволинейный интеграл:
1) по замкнутому контуру в положительном направлении (против часовой стрелки);
2
) используя формулу Грина.
, 
: 
, 
.
Решение.
Построим контур, образованный данными линиями.
1) Введем следующую параметризацию на кривой 
. На кривой 
: 
, на отрезке 
: 
.
Тогда криволинейный интеграл по контуру можно представить в виде суммы двух интегралов, т.е. 
.
Вычислим сначала каждый из интегралов:
а) 
.
Для кривой : имеем 
и 
. Криволинейный интеграл равен: 
.
б) 
.
Для кривой : имеем и 
. Криволинейный интеграл равен: 
.
Тогда исходный интеграл равен: 
.
2) Для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру 
используем формулу Грина 
.
Так как 
и 
. Вычислим частные производные 
и 
, получим: 
и 
.
Тогда криволинейный интеграл равен:
.
Ответ: 
.
Задача 22. Найти общее решение для ДУ с разделяющимися переменными.
.
Решение.
Разделим переменные 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим общее решение 
.
Ответ: .
Задача 32. Решить задачу Коши для линейного уравнения.
, 