Файл: Контрольная работа за 2 семестр По дисциплине Математика Вариант 2 Фамилия Имя.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 30
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения
. Разделим переменные 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим 
, 
.
Общее решение исходного уравнения будем искать в виде
. Дифференцируем 
. Выражения для 
и 
подставим в исходное уравнение, получим:
;
;
, 
Интегрируем
. Общее решение исходного уравнения равно 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
, получим 
, 
, 
.
Частное решение равно
.
Ответ:
.
Задача 42. Найти частное решение линейного однородного ДУ второго порядка.
,
, 
.
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
. Корни этого уравнения равны 
и 
. Тогда общее решение однородного уравнения равно 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , . Вычислим производную функции решения:
.
Тогда получим систему уравнений:
Частное решение равно
.
Ответ: .
Задача 52. Найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора.
.
Решение.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение, которого определяется как
, где 
- общее решение однородного уравнения 
, а 
- одно из частных решений исходного уравнения.
Найдем общее решение однородного уравнения . Запишем характеристическое уравнение 
,
. Корни этого уравнения равны 
и 
. Тогда общее решение однородного уравнения равно 
.
Так как
является корнем характеристического уравнения кратности 
, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
. Вычислим производную до второго порядка включительно, получим:
;
.
Полученные выражения для
и 
подставим в исходное уравнение, имеем:
;
.
Составим систему уравнений и найдем его решение:
Частное решение равно
.
Общий интеграл исходного уравнения равен
.
Ответ: .
Задача 62. Для данного ряда найти: а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда; б) выписать первые три члена ряда.
.
Решение.
а) Найдем радиус сходимости по признаку Даламбера
. Для данного ряда 
и 
, тогда получим:
.
Радиус сходимости ряда
. Интервал сходимости равен 
, 
, 
. Итак, интервал сходимости степенного ряда 
. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках 
и 
.
1) Пусть . Подставим x в ряд, получим: 
.
Исследуем на сходимость по признаку Лейбница. Проверив выполнений признака.
1)
,
Ряд
расходится.
2) Пусть . Подставим x в ряд, получим 
. Полученный ряд расходится.
Следовательно, исходный ряд сходится на интервале .
б) Выпишем первые три члена ряда.
При
, имеем 
; при 
, имеем 
; при 
, имеем 
; при 
, имеем 
.
Тогда получим ряд
.
Ответ: а) радиус сходимости
и ряд сходится на интервале 
;
б)
.
Задача 72. Найти первые пять (ненулевых) членов разложения в степенной ряд решение ДУ с заданными начальными условиями:
, 
, 
.
Решение.
Так как начальные условия заданы в точке
, ищем решение в виде ряда Маклорена 
Поскольку и , то согласно уравнению 
получим: 
.
Продифференцируем по
обе части равенства , получим: 
. Подставляя в него , получаем 
.
Продифференцируем по обе части равенства 
, получим: 
. Подставляя в него 
, получаем 
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения
. Разделим переменные , . Интегрируем левую и правую части , получим , .Общее решение исходного уравнения будем искать в виде
. Дифференцируем . Выражения для и подставим в исходное уравнение, получим: ; ; , Интегрируем
. Общее решение исходного уравнения равно .Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
, получим , , .Частное решение равно
.Ответ:
.Задача 42. Найти частное решение линейного однородного ДУ второго порядка.
,
, .Решение.
Запишем характеристическое уравнение
. Корни этого уравнения равны и . Тогда общее решение однородного уравнения равно .Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
, . Вычислим производную функции решения: .Тогда получим систему уравнений:
Частное решение равно
.Ответ:
.Задача 52. Найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора.
.Решение.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение, которого определяется как
, где - общее решение однородного уравнения , а - одно из частных решений исходного уравнения.Найдем общее решение однородного уравнения
. Запишем характеристическое уравнение
,
. Корни этого уравнения равны и . Тогда общее решение однородного уравнения равно .Так как
является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Вычислим производную до второго порядка включительно, получим: ; .Полученные выражения для
и подставим в исходное уравнение, имеем: ; .Составим систему уравнений и найдем его решение:
Частное решение равно
.Общий интеграл исходного уравнения равен
.Ответ:
.Задача 62. Для данного ряда найти: а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда; б) выписать первые три члена ряда.
.Решение.
а) Найдем радиус сходимости по признаку Даламбера
. Для данного ряда и
, тогда получим:
.Радиус сходимости ряда
. Интервал сходимости равен , , . Итак, интервал сходимости степенного ряда . Исследуем ряд на сходимость в граничных точках и .1) Пусть
. Подставим x в ряд, получим: .Исследуем на сходимость по признаку Лейбница. Проверив выполнений признака.
1)
, Ряд
расходится.2) Пусть
. Подставим x в ряд, получим . Полученный ряд расходится.Следовательно, исходный ряд сходится на интервале
.б) Выпишем первые три члена ряда.
При
, имеем ; при , имеем ; при , имеем ; при , имеем
.
Тогда получим ряд
.Ответ: а) радиус сходимости
и ряд сходится на интервале ;б)
.Задача 72. Найти первые пять (ненулевых) членов разложения в степенной ряд решение ДУ с заданными начальными условиями:
, , .Решение.
Так как начальные условия заданы в точке
, ищем решение в виде ряда Маклорена Поскольку
и , то согласно уравнению получим: .Продифференцируем по
обе части равенства , получим: . Подставляя в него , получаем .Продифференцируем по
обе части равенства , получим: . Подставляя в него , получаем