Файл: Реферат Дисциплина Теоретические основы обеспечения надежности систем автоматизации и модулей мехатронных систем.rtf

Приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы



Обозначим



Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде отношения двух полиномов

где   — характеристический полином степени   разомкнутой системы,   — полином степени  . Тогда



Заметим, что в этом выражении степени полиномов числителя и знаменателя одинаковы и равны  .

Пусть



тогда



Предположим, что разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет   правых и   левых корней. Будем также предполагать, что замкнутая система неустойчива и имеет   правых и   левых корней. Тогда на основании принципа аргумента можно утверждать, что при изменении частоты   от 0 до   изменение аргумента   составит

---

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, то есть   = 0. В этом случае



Так как в соответствии с выражением (3) функции   и   отличаются на единицу, то поворот вектора   вокруг начала координат соответствует повороту вектора   вокруг точки  .

Дадим теперь следующую формулировку критерия устойчивости Найквиста. Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы   при изменении частоты   от 0 до   охватывала точку   в положительном направлении (против часовой стрелки)   раз, где   — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На Рисунке 8 изображена АФЧХ устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела два правых корня. А на рисунке 9 - АФЧХ неустойчивой системы



Рисунок 7

На практике обычно дается следующая формулировка критерия Найквиста. Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая система будет устойчива , если АФЧХ разомкнутой системы 

---

 не охватывает точку с координатами  .



Рисунок 8



Рисунок 9

Если   проходит через точку  , то САУ находится на границе устойчивости.

Рассмотренные выше АФЧХ относятся к статическим САУ . У астатических систем, содержащих интегрирующие звенья, АФЧХ при   = 0 стремиться к бесконечности и , следовательно , не образует замкнутого контура. Для того, чтобы определить устойчивость астатической замкнутой САУ необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы при  , дополнить ее дугой  , (где   — порядок астатизма ) окружности бесконечно большого радиуса   и затем применять критерий устойчивости Найквиста.



Рисунок 10

На Рисунке 10 приведена АФЧХ разомкнутой устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Замкнутая система в этом случае также устойчива . На Рисунке 11 показана АФЧХ разомкнутой неустойчивой системы с астатизмом второго порядка . Для этого случая замкнутая система неустойчива, так как точка с координатами   охватывается АФЧХ, дополненной дугой бесконечно большого радиуса в отрицательном направлении.



Рисунок 11

На практике широкое применение получил критерий устойчивости Найквиста с применением вместо АФЧХ логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

---

Рисунок 12

Устойчивость САУ связана с числом пересечений АФЧХ отрезка   отрицательной вещественной полуоси (Рисунок 12). Когда АФЧХ пересекает эту полуось, ЛФЧХ пересекает одну из линий  , где   (Рисунок 13).



Рисунок 13

точки  , то они не влияют на устойчивость САУ, если при этом   и, следовательно,



Поэтому область отрицательных ЛAЧX при исследовании устойчивости не рассматривается. Интерес представляет только область положительных ЛAЧX.

Сформулируем критерий Найквиста. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных (на Рисунке 13 сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) ЛЧX прямой  , где   в области  , была равна  , где   — число правых корней характеристики уравнения разомкнутой САУ.

Если разомкнутая система устойчива, то и замкнутая система будет устойчивой (Рисунок 12 и 13), так как  . Запасы устойчивости по амплитуде равны   и  , и по фазе 

---

.

Заключение

На практике более широкое применение, по сравнению с критерием Михайлова, нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам этой системы в разомкнутом состоянии.

Список литературы

1. Гальперин М.В. Автоматическое управление: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования.-М.: Форум: ИНФРА-М, 2010

2. Келим Ю.М. Электромеханические и магнитные элементы систем автоматики. Учебное пособие для средних профессиональных учебных заведений. 2-е изд., исправл. и доп. -М.: Высшая школа, 2009

3. Востриков А.С. Теория автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов. 2-е изд.- М.: высшая школа, 2009.

4. Савин М.М. Теория автоматического управления. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2010

5. Шишмарев В.Ю. Типовые элементы систем автоматического управления : учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования. – 3-е изд. – М.: издательский центр «Академия», 2010

6. Певзнер Л.Д. Практикум по теории автоматического управления. - М.: Высшая школа, 2010

7. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем: учебное пособие для вузов.- СПБ: БХВ- Петербург, 2009

---