ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 65
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Дробно рациональные уравнения с параметром
Алгоритм решения:
а) найти область допустимых значений уравнения;
б) решить целое рациональное уравнение;
в) найти те значения параметра, при которых найденные корни целого рационального уравнения являются посторонними, т.е. исключить из корней целого уравнения, т.е., которые обращаю в нуль общий знаменатель;
г) сформулировать ответ.
1) Решить уравнение
.▼ ОДЗ: x – 6 0
Данное уравнение равносильно системе
; 
Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень х = -2а в ограничение: -2а - 6 = 0, а = - 3. При а = - 3 корней нет.
Отв. х = -2а при а(-;-3)(-3; ); при а = - 3 корней нет.
2) Решить уравнение
.▼ ОДЗ: x + 1 0
Преобразованное уравнение на ОДЗ: (1 - а)х = а
При 1 – а = 0, а = 1 уравнение не имеет корней.
При а 1 получаем х =
.Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень х =
в ограничение: + 1 = 0, 1 = 0 (ложь), корней нет.Отв. при а 1, х =
; при а = 1 корней нет.3) Решить уравнение
.▼ ОДЗ: х 0, x - 1 0.
Преобразованное уравнение на ОДЗ: х = а
Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень х = а последовательно в оба ограничения:
а = 0, х = 0 – посторонний корень
а - 1= 0, а = 1, х = 1 – посторонний корень
Отв. при а = 0; 1 корней нет; при а 0; 1 х = а.
4) Решить уравнение
.▼ ОДЗ: х - 5 0, x - а 0.
Преобразованное уравнение на ОДЗ: х = 10 - а
Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра
а. Подставим корень х = 10 - а последовательно в оба ограничения:
10 - а – 5 = 0, а = 5
10 - а – а = 0, а = 5
Значение а = 5 запрещено, а х = 5 – посторонний корень.
Отв. при а = 5 корней нет; при а 5 х = 10 - а.
Замечание. Решение дробно-рациональных уравнений с параметрами нередко сводится к решению квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимое значение неизвестного. Рассмотрим общие приемы, используемые при решении дробно-рациональных уравнений с параметрами:
.Постановка задачи
Дано: квадратное уравнение f(x,a) = 0 относительно х и ограничение
g(x,a) = 0
Требуется: найти решение уравнения с учетом ограничения.
Первый способ. Решаем уравнение f(x,a) = 0, находим корни х1 = р1(а),
х2 = р2(а). Подставляем найденные корни в ограничение. Решаем уравнения g(рi(а)) = 0 и находим множества Аi «запрещенных» значений параметра а. Вычисляем значения остальных (вторых) корней на запрещенных значениях для одного из корней. И так перебираем все корни.
Второй способ. Решаем ограничение g(x,a) = 0, находим его корни x = rk(a).
Подставляем найденные корни в уравнение. Решаем уравнение f(rk(a)) = 0 и находим akm. Для уравнения f(x,akm) = 0 корень x = rk(akm) является запрещенным, т.к. он обращает в ноль функцию g(x,a). Нужно найти остальные (вторые) корни уравнения f(x,akm) = 0, используя теорему Виета, и выяснить, не являются ли они запрещенными.
1) Решить уравнение
.Первый способ.
▼ ОДЗ уравнения: х - а 0, x - 3а + 1 0.
Преобразованное уравнение на ОДЗ: х2 + (a - 2)x – 2(a - 2)2 = 0
D = (a - 2)2 + 8(a - 2)2 = 9(a - 2)2 0.Корни:
х1 = a – 2, х2 = -2a + 4. Для каждого корня найдем, при каких значениях параметра а он не удовлетворяет уравнению. Подставим найденные корни в ограничения. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:
| | х1 = a – 2 | х2 = -2a + 4 |
| х - а = 0 | a – 2 - а = 0 – решений нет | -2a + 4 - а = 0, а = 4/3 |
| x - 3а + 1 = 0 | a – 2 - 3а + 1 = 0, а = -1/2 | -2a + 4 - 3а + 1 = 0, а = 1 |
Значения а = 4/3; -1/2; 1 – запрещены. Преобразованное квадратное уравнение может иметь два корня. Для запрещенных значений а вычислим значения второго корня. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:
| х1(4/3) = 4/3 – 2 = -2/3 | х2(-1/2) = -2(-1/2) + 4 = 5 | х1(1) = 1 – 2 = -1 |
Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:
D =0, а = 2, х = 0
Отв. х1 = a – 2, х2 = -2a + 4 при а -1/2; 1; 4/3; 2; х = 5 при а = -1/2;
х = -1 при а = 1; х = -2/3 при а = 4/3; х = 0 при а = 2.
Второй способ.
▼ ОДЗ уравнения: х - а 0, x - 3а + 1 0.
Преобразованное уравнение на ОДЗ: х2 + (a - 2)x – 2(a - 2)2 = 0
D = (a - 2)2 + 8(a - 2)2 = 9(a - 2)2 0. Корни:
х1 = a – 2, х2 = -2a + 4. Подставим значения х, не входящие в ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение и определим, решая получившееся уравнение, какие значения параметра им соответствуют.
Пусть х - а = 0. Подставляя х = а в преобразованное уравнение, получим
а = 4/3, х = 4/3.
Пусть х - 3а + 1= 0. Подставляя х = 3а - 1 в преобразованное уравнение, получим а =1; - ½.
При а = 1, х = 2; при а = -1/2, х =-5/ 2
При а = 4/3 нужно отбросить корень х = 4/3; при а = 1 нужно отбросить корень х = 2; при а = -1/2 нужно отбросить корень х = -5/ 2.
Итак, при а =4/3; 1;-1/2 один из корней преобразованного уравнения будет отброшен, но другой, возможно будет оставлен. Эти корни можно определить, воспользовавшись теоремой Виета, так как один из корней квадратного уравнения – отбрасываемый – уже известен: х2 = -
.При а = 4/3, х1 = 4/3 х2 =-2/3
При а = 1, х1 = 2 х2 =-1
При а = -1/2, х1 =-5/2 х2 =-5
Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:
D =0, а = 2, х = 0
Отв. х1 = a – 2, х2 = -2a + 4 при а -1/2; 1; 4/3; 2; х = 5 при а = -1/2;
х = -1 при а = 1; х = -2/3 при а = 4/3; х = 0 при а = 2.
Дробно рациональные неравенства с параметром
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств с параметром, приводящих к линейным:
1) Преобразованиями, не изменяющими область определения, привести неравенство к виду f(a)x > g(a) (<, , );
2) Найти область допустимых значений (ОДЗ) параметра;
3) Найти контрольные значения параметра (КЗП): изолированные или граничные значения а, при которых f(a) = 0;
4) Отметить ОДЗ и контрольные значения параметра на координатной прямой. На каждом из получившихся промежутков ОДЗ определить знак выражения f(a);
5) Решить частное неравенство при каждом значении параметра и на каждом из промежутков ОДЗ;
6) Записать ответ.
1) Решить неравенство
▼ Преобразованное неравенство
ОДЗ: a 1; КЗП: а = -9
При a= -9 имеем 0 < ¼ (ложь), нет решений;
При a< -9 < -1 < a < 1 имеем
При -9 < a < -1, a> 1 имеем
Отв. при a= 1 неравенство не определено; при a= -9 нет решений;
при a < -9 < -1 < a < 1
; при -9 < a < -1, a > 1 имеем Использование метода интервалов
1) Решить неравенство
▼ Рассмотрим функцию f(x) =
ОДЗ: х 3
Нули функции f(x): х + 2а = 0, х = -2а
Воспользуемся методом интервалов. Точки -2а и 3 разбивают ось на интервалы, на каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим возможные случаи:
а) при -2а < 3, а > -3/2 х(-2а; 3)
б) при -2а = 3, а = -3/2, нет решений
в) при -2а >3, а < -3/2 х(3: -2а)
Отв. при а < -3/2, х(3: -2а); при а = -3/2 нет решений; при а > -3/2, х(-2а; 3)
Замечание. При решении неравенства использовано равенство числителя и знаменателя дроби; значение параметра, при котором это равенство выполняется является контрольным значением для решения неравенства с параметром.
2) Решить неравенство
▼ Рассмотрим функцию f(x) =
ОДЗ: х 2
Нули функции f(x): х - 2а = 0, х = 2а
Воспользуемся методом интервалов. Точки 2а и 2 разбивают ось на интервалы, на каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим возможные случаи:
а) при 2а < 2, а < 1 х(-: 2а)(2; )
б) при 2а = 2, а = 1 х(-: 2)(2; )
в) при 2а >2, а > 1 х(-: 2)(2а; )
Отв. при а < 1, х(-: 2а)(2; ); при а 1, х(-: 2)(2а; )
3) Решить неравенство
▼ Рассмотрим функцию f(x) =
ОДЗ: х 1
Нули функции f(x): х - а = 0, х = а
Воспользуемся методом интервалов. Точки а и 1 разбивают ось на интервалы, на каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим возможные случаи:
а) при а < 1 х(-: а(1; )
б) при а = 1 х(-: 1)(1; )
в) при а > 1 х(-: 1)а; )
Отв. при а < 1, х(-: а(1; ); при а = 1, х(-: 1)(1; );
при а > 1, х(-: 1)