Квадратные уравнения с параметрамиУравнения вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c – выражения, зависящие от параметров, a  0, x – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.I. Число корней квадратного уравнения определяется по знаку детерминантаСхема исследования1) При а = 0 имеем линейное уравнение bx + c = 02) При а  0 в зависимости от знака дискриминанта D имеем:а) D > 0, уравнение имеет два различных корня;б) D = 0, уравнение имеет один корень кратности 2;в) D < 0, уравнение не имеет действительных корней.1) Найти все значения параметра а, для которых уравнение(a - 1)x² + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 имеет: а) два различных корня; б) один корень; в) не имеет корней.▼ При a – 1 = 0, a = 1, 6x + 7 = 0, x = -7/6 – один корень.При a  1 имеем квадратное уравнение.D = 4(2a + 1)² – 4(a - 1)(4a + 3) = 4(5a + 4)а) D > 0, 5a + 4 > 0, a > -4/5 (два корня) б) D = 0, 5a + 4 = 0, a = -4/5 (один корень)в) D < 0, 5a + 4 < 0, a < -4/5 (нет корней)Отв. при a > -4/5 и a  1 два корня; при a = -4/5; 1 - один корень; при a < -4/5 нет корней.2) При каких значениях параметра а уравнение x² + x + = 0 не имеет корней.▼ ОДЗ: a + 5  0, a  -5Пусть a  -5. Квадратное уравнение не имеет решения, когда D < 0D = 1 – 4( ) = < 0, (a- 9/7)(a + 5) > 0Отв. (-;-5)(9/7; )II. Применение теоремы ВиетаТеорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, a  0 с дискриминантом D  0 имеет корни х₁ и х₂, тох₁ + х₂ = -х₁х₂ = Следствие. Квадратное уравнение имеет:а) действительные корни (равные или различные), если D  0б) корни одинакового знака, если ;в) два положительных корня, если

---

;

г) два отрицательных корня, если ;

д) корни разных знаков, если (условие D > 0 автоматически выполняется), при этом

 положительный корень больше модуля отрицательного, если х₁ + х₂ > 0;

 положительный корень меньше модуля отрицательного, если х₁ + х₂ < 0.

Полезные равенства:







1) При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(a - 2)x² + 8x + a + 4 = 0 будут: а) действительны; б) одинакового знака;

в) положительными; г) разного знака.

▼ Поскольку уравнение квадратное, а – 2  0, а  2.

D = 64 - 4(a - 2)(a + 4) =- 4(a² + 2a - 24)

а) Корни действительны, если D  0, =- 4(a² + 2a - 24)  0,

a² + 2a - 24  0, (a + 6)(a- 4)  0, -6  a  4

б) корни одинакового знака, если

, , a-6;-4)(2; 4

в) Корни положительны, если

, , a-6;-4)

г) Корни разных знаков, если х₁х₂ < 0, , (a + 4)(a- 2) < 0,

-4 < a < 2, a(-4; 2)

2) При каких значениях параметра а уравнение x² - 2(а - 1)x + a + 5 = 0 имеет: а) различные действительные корни; б) различные положительные корни; в) различные отрицательные корни; г) корни разных знаков; д) совпадающие корни.

▼ D = (a - 1)² - (a + 5) = a² - 3a – 4

а) Действительные корни различны, если D > 0

a² - 3a – 4 > 0, (a+ 1)(a - 4) > 0, a(-;-1)(4; )

б) Различные корни положительны, если

---

, , ; a > 4в) Различные корни отрицательны, если , , ; -5 < a < -1г) Корни разных знаков, если х₁х₂ < 0, a+ 5 < 0, a < -5д) Кори совпадающие, если D = 0, a² - 3a – 4 = 0, a = -1; 43) Найти все значения параметра а, при котором разность корней уравнения x² + аx + 12 = 0 равна 1.▼ D = a² – 48 > 0Пусть х₁, х₂ – корни исходного уравнения, тогда , , , , а = -( х₁+ х₂) = 7; -7. Условие D = a² – 48 = 49 – 48 = 1 выполнено. Отв. 74) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнениеx² - 8x + 5а = 0 и 2x² + x - 7а = 0 имеют хотя бы один общий корень.▼ Составим систему и решаем , , -17х + 17а = 0, х = аПодставим х = а в любой из исходных уравнений, получима² - 8а + 5а = 0, а² - 3а = 0, а(а – 3) = 0, а = 0; 3. Отв. 0; 3. III. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных чиселПусть х₁, х₂ (х₁  х₂) – корни квадратного трехчлена f(x) = ax² + bx + c(a  0), D = b² – 4ac, x₀ = -

---

= - вершина параболы.

Расположение корней х₁, х₂ относительно заданного числа М али интервала (A; B) сводится к необходимым и достаточным условиям реализации одного или несколько следующих случаев.

1) Оба корня меньше числа М: х₁  х₂ < M

a > 0: ; a < 0: ; или

a > 0	a < 0
M x0 x2 x1    	M x2 x0 x1    

---

2) Оба корня больше числа М: M < х₁  х₂ a > 0: ; a < 0: ; или

a > 0	a < 0
x1  M x0 x2   	 x0 x1    x2 M

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования Право и организация социального обеспечения Дисциплина История.docx

• Stylistics seminar 1.docx

• Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине.doc

• Контрольная работа дисциплина Экономика Вариант 1 Фамилия Березина Имя Екатерина Отчество Сергеевна.docx

• Уравнения с одной переменной.docx