Файл: Статистика1.docx

1

£⁽Уп ^- У1⁾²; ^s2^-—7 £⁽ yt 2^- У2⁾².

ⁿ1 ^-11-1 ⁿ2 ^-11-1 На следующем этапе находится число степеней свободы:

к -

( 2 ^S1 +

Если, при определении числа степеней свободы к, получается дробное число, то оно округляется до ближайшего целого

При заданном уровне значимости а и рассчитанном числе степеней сво­боды к, если t_p > t_Kp то гипотеза о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей отвергается. Расхождение между вычисленны­ми средними значениями уровней значимо, существенно и носит неслучайный характер. Во временном ряду существует тенденция средней и существует тренд.

Если временной ряд имеет тенденцию, то дисперсии, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно и значимо разли­чаться между собой. Если же расхождения между ними не значимо, то времен­ной ряд не имеет тенденции дисперсии. Таким образом, проверяется нулевая гипотеза H₀ об отсутствии тенденции в дисперсиях в исходном временном ря­ду, которая сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нор-

22

мально распределенных совокупностей, то есть: H₀: s₁ = s₂ . Конкурирующая

22

гипотеза H₁: s₁ Ф s₂ .

Гипотеза об однородности дисперсий двух частей ряда проверяется на основе сравнения расчетного и критического значения F-критерия Фишера по­лученного при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы k и k₂.

2/2 2 _ 2

s_х / s₂, если > s₂;

2 2 2 2

s₂ / , если s₂ > s_l.

22

Если s₂ > s₁, то k₁ = n₂ -1; k₂ = n -1.

22

Если s₁ > s₂, то k₁ = n₁ -1; k₂ = n₂ -1.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных сово­купностей отвергается, если 1_р > 1_кр. Следовательно, расхождение между вы­численными дисперсиями значимо, существенно, носит неслучайный характер и в ряду динамики существует тенденция в дисперсиях и существует тренд.

Следует отметить, что данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Если же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу чего средние двух отрезков ряда будут близки и проверка может не показать наличия тенденции.

Другим методом обнаружения тенденции является критерий серий, имеющий две модификации:

критерий серий, основанный на медиане временного ряда; критерий «нисходящих» и «восходящих» серий.

Порядок расчета критерия серий, основанного на медиане временного ря­да следующий.

Из исходного ряда y_t длиной n образуют ранжированный (вариационный) ряд y_f: y₁, y₂, ..., y_n, где y₁ - наименьшее значение ряда y_t.

Затем определяют медиану этого вариационного ряда - Ме. Для нечетно­го числа уровней динамического ряда (n = 2p + 1) Me = y _p +1, а для четного

Me = (y p + y p₊₁)/2.

Далее образуют последовательность d_t из плюсов и минусов по следую­щему правилу:

g =[+, если y_t> Me, t = 1,2,...,n ^t [-, если y_t> Me, t = 1,2,...,n

Если значение yt равно медиане, то это значение пропускают.

F =< 1 р _

Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута H₀ гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства (при 5% уровне значимости):

т _max(n) <[3,3(lg n +1) ]

(35)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают, что берется це­лая часть числа.

После выявления и устранения аномальных (нехарактерных) значений уровней временного ряда и его сглаживания, в ходе предварительной обработки данных, на графическом изображении ряда тенденция (если она существует) просматривается более четко. Это позволяет при выборе формы кривой тренда воспользоваться методом визуального анализа, подбирая такую кривую тренда, форма которой соответствует фактическому развитию тенденции.

При построении моделей исследуемого процесса часто прибегают к по­линомам разной степени, которые в общем виде можно записать

y_t= a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ +... + a_ntⁿ

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a₁), ускорение роста(й2), изменение ускорения (a₃), начальный уровень ряда при t = 0 (a₀). Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка.

Из всего множества различных видов трендов к числу наиболее простых относятся однофакторные линейные зависимости (полиномы первой степени).

Линейный тренд вида

Y_t= a₀+ a₁1

хорошо отражает тенденцию изменений процесса, при действии множества факторов изменяющихся по разным закономерностям.

Значительно реже, чем линейную модель, используют модель квадратич­ной функции, которая применительно к трендам может быть записана так:

Y_t = a₀ + a₁t + a₂t²

Полином второго порядка применим в тех случаях, когда процесс разви­вается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускорен­ное снижение уровней).

Если коэффициент a₂ > 0, то ветви параболы направлены вверх; если этот коэффициент меньше нуля, a₂ < 0, то ветви параболы направлены вниз. Ось ор­динат пересекается в точке Y₀ = x₀. Поэтому значение свободного члена модели этого трен1а также характеризует начальный уровень тренда.

Крайне редко используются тренды, представляющие собой модель мно­гочлена третьей степени. Они применяется для моделирования данных с по­стоянной скоростью изменения относительного прироста или с постоянной скоростью изменения ускорения.

Y_t= a₀+ at + a₂t² + a₃t³

Как правило, выбирается два-три типа кривых трендовой модели, и вы­числяются оптимальные значения их параметров исходя из фактических уров­ней динамического ряда. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов. В настоящее время облегчить расчет параметров трендовой модели позволяют средства MS Excel.

Возможность использования трендовой модели для анализа и прогнози­рования может быть определена только после установления ее адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу. Проверка адекватности мо­дели осуществляется исходя из свойств остатков.

Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систе­матические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно сле­дующим требованиям, предъявляемым к остаточной компоненте: случайность;

соответствие нормальному закону распределения; равенство нулю математического ожидания; независимость значений (отсутствие автокорреляции).

Модель считается адекватной, если выполняются все четыре требования.

Для проверки случайности остаточной компоненты может использовать­ся, например, критерий пиков. Критерий пиков (поворотных точек) основан на определении числа пиковых точек p. Точка считается пиковой, если она больше или меньше своих соседей, т.е. выполняется одно из условий:

£ t-1 < е t > е _г+1 ^или е _м > еt < е +1.

Общее число пиковых точек p для случайной последовательности харак­теризуется математическим ожиданием числа пиковых точек и дисперсией:

_ 2. 2 16n - 29

^p = 3^(n-2), *р = —9^- (36)

Пиковых точек не должно быть слишком мало. Если выполняется сле­дующее неравенство

p > [p - 1,96yjsp ] (37)

то трендовая модель считается адекватной, если не выполняется, то - неадекватной. Квадратные скобки в формуле (56) означают целую часть числа.

Исключительно важную роль при обработке остатков играет проверка нормальности их распределения. Наиболее простой метод проверки гипотезы о нормальности распределения остаточной компоненты основан на RS - крите­рии.

RS = ^max

(_{£ -£} )

v max min '

~ (38)

^S£

где £ _max = max(£ _t) - максимальный уровень ряда остатков;

i

£ _min = min(£ _t) - минимальный уровень ряда остатков;

2 t t

Имеются теоретические таблицы критических значений величины RS, рассчитанные для различных доверительных вероятностей в зависимости от числа уровней n.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными значе­ниями a и b, т.е. a < RS < b при выбранном уровне значимости, то принимается гипотеза о соответствии ряда остатков нормальному закону распределения, в противном случае эта гипотеза отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания остатков ну­лю, при предположении, что они распределены по нормальному закону, выпол­няется по t-критерию Стьюдента. Расчетное значение t-критерия Стьюдента оп­ределяется по формуле:

\£t\ г

^tP = ⁿ (39)

^s£

где е _t - математическое ожидание остаточной компоненты (при нормальном распределении равняется среднему значению остатков);

Критическое значение t_кр - критерия Стьюдента при числе степеней сво­боды k = n - 1 и принятом уровне значимости а = 0,05 определяется по таблице и сравнивается с /р.

Если вычисленное значение статистики окажется меньше критического ее значения (_р < t_Kf), то гипотеза о равенстве математического ожидания ряда ос­татков нулю принимается и модель на уровне значимости 5% считается адек­ватной.

Хотя применение t-критерия требует нормальности исходной случайной величины, он может применяться и при умеренных отклонениях от нормально­сти и не слишком малых n (n > 15).

Классические методы математической статистики лишь тогда примени­мы, когда отдельные члены статистического ряда независимы.

В силу ряда причин (ошибок спецификации, инерционности рассматри­ваемых зависимостей, эффект паутины, сглаживание данных) в регрессионных моделях может иметь место корреляционная зависимость между соседними случайными отклонениями называемая автокорреляцией.

Существует несколько методов обнаружения автокорреляции, например, критерий Дарбина-Уотсана. Наиболее распространенным является подход, опирающийся на критерий Дарбина-Уотсона. Тест Дарбина-Уотсона связан с проверкой гипотезы об отсутствии автокорреляции только первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. При этом крити­ческая статистика определяется по формуле:

n

£ (е t -е t-1)²

^d = ^-п • (40)

£ е t²

t=1

Величина d приближенно равна:

d « 2(1 - Г1), (41)

где г₁ - коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя последовательностями остатков

^Sb S2^, ... ^, Sn-1 ^и ^ Sз^, ... ^, £_п).

Близость значения статистики d к нулю означает наличие высокой поло­жительной автокорреляции (коэффициент г₁ близок к единице); близость зна­чения статистики d к четырем означает наличие высокой отрицательной авто­корреляции (коэффициент г₁ близок к минус единице). Естественно, в случае отсутствия автокорреляции значение статистики d будет близким к двум (ко­эффициент г₁ не сильно отличается от нуля).

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравне­нии расчетного значения статистики d с пороговыми, граничными значениями d_L и d_U. Граничные значения d_L и d_U, зависящие от числа наблюдений n, количе­ства объясняющих переменных в модели и уровня значимости а, находятся по таблицам.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дар- бина-Уотсона следующий.

Выдвигается гипотеза H₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Пусть альтернативная гипотеза состоит в наличии в остатках положительной автокор­реляции первого порядка.

Тогда при сравнении расчетного значения статистики d ( d < 2) с d_L и d_U возможны следующие варианты.

1. Если d < d_L , то гипотеза H₀ об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной а) в пользу гипотезы о положительной авто­корреляции.

2. Если d > d_U , то гипотеза H₀ не отвергается.

3. Если d_L < d < d_U, то нельзя сделать определенный вывод по имеющимся исходным данным (значение d попало в область неопределенности).

Если альтернативной является гипотеза о наличии в остатках отрицатель­ной автокорреляции первого порядка, то с пороговыми, граничными значения­ми d_L и d_U сравнивается величина 4 - d (при d >2).

При этом возможны следующие варианты.

1. Если 4 - d < d_L , то гипотеза H₀ об отсутствии автокорреляции отверга­ется (с вероятностью ошибки, равной а) в пользу гипотезы об отрицательной автокорреляции.

2. Если 4 - d > d_U, то гипотеза H₀ не отвергается.

3. Если d_L < 4 - d < d_U, то нельзя сделать определенный вывод по имею­щимся исходным данным.

Одна из основных целей создания трендовых моделей экономической ди­намики - сделать прогноз на их основе о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ря­да экономических показателей относится к одномерным методам, базирую­щимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдав­шейся в прошлом.

Процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей ве­личины периода упреждения прогноза - промежутка времени, на который раз­рабатывается прогноз, в формулу, описывающую тренд. Полученный таким об­разом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени оп­ределяется только одно значение прогнозируемого показателя.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенден­цию, - явление маловероятное. Отсюда появляется недостаточность точечной оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз,

охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным.

В основу расчета доверительного интервала прогноза положен измери­тель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Обычно за такой из­меритель принимают среднее квадратическое отклонение (стандартное откло­нение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при аналитическом выравнивании динамического ряда.

Сумма квадратов отклонений линий тренда, т.е. L(y_t - y_t)², и среднее

квадратическое отклонение от тренда s_y - являются основой при определении средней квадратической ошибки отдельных параметров уравнения тренда и их доверительных интервалов, а также ошибок и доверительных интервалов трен­да - прогноза.

Следует отметить, что перенос результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, не может, по существу, безоговорочно переноситься на анализ временных рядов. Однако, принципиально новый подход пока не найден.

^yt ± ^ta ^s

a ^sy (42)

где ^y - расчетное значение y_t;

^Sy - средняя квадратическая ошибка тренда;

t_a - значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а; Для определения интервальных оценок S положения тренда на год про­гноза t_k предварительно вычисляются средние квадратические ошибки sy про­гнозного положения тренда на год прогноза, зависящие от типа тренда.

Для линейного типа тренда средняя квадратическая ошибка s_y на год

(43)

^sy ^Sy

где s_y - среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от рас­четных y;

t_k - номер года прогноза от середины периода наблюдения;

Lt²

< - сумма номеров каждого года от середины периода наблюдения; n - число уровней динамического ряда;

Для полинома второго порядка по формуле

_1+JL₊IfM2iM±ni ₍₄₄₎

„Г/ rV/^2 ⁽⁴⁴⁾

L^{12 n}L ^ ^{- (}L ^ti⁾

t22 , Et4-(2Еt?)t2+nt4+(El -2E>,")k+(Et¹)t6

1 + -2 , ' - i ⁴ 1.^2 2 ,

Et² nE ^ - (E t;)² E t? E '6 - (E t,⁴)²

Логическим завершением статистического исследования является выяв­ление причинно-следственных связей между факторами и результативным по­казателем. Эта работа проводится в подразделе 2.3.

С помощью корреляционного анализа устанавливается численное значение тесноты связи между явлениями и достоверность суждений об их наличии, производится отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак.

Статистической мерой взаимодействия двух переменных является кова- риация (Cov), которая рассчитывается следующим образом:

где s_x = * (x_i - x)², s_y = * (yi - y )² - соответствующие дисперсии. \n-1 ^y \n-1

Слагаемые в числителе выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции. Если между переменными - сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. При сильной отрицательной взаимосвязи все слагаемые будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента корреляции просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко ин­терпретируемым числом, не имеющим размерности, в диапазоне от -1 до 1.

Когда коэффициент парной линейной корреляции равен -1 или +1, это указывает на то, что исследуемая зависимость носит обратный или прямой функциональный характер.

Если коэффициент корреляции равен нулю, какая-либо связь между изу­чаемыми явлениями отсутствует.

В практике используются различные пороги значений коэффициента кор­реляции. Обычно считается, что

при |г| < 0,3 связь между переменными слабая,

при |г| = 0,3 - 0,7 - теснота связи средняя,

при |г| > 0,7 - сильная.

Следует отметить, что величина коэффициента корреляции не является до­казательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми яв­лениями, а представляет собой оценку степени взаимной согласованности в их изменениях. Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полу­ченной величины коэффициента корреляции оказывается целиком обусловлено неизбежными случайными колебаниями выборочных данных, на основании ко­торых он вычислен. В этой связи возникает необходимость оценки существен­ности значения коэффициента корреляции.

Для такой оценки применяется t-критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия (t_р)

^t р

сравнивается с критическим значением t^, которое берется из таблицы значений t с учетом заданного уровня значимости а и числа степеней свободы k = (n - 2). Если ^ > и_р, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Какая доля общей вариации результата формируется под влиянием дан­ного фактора, показывает коэффициент детерминации г .

Для исследования зависимости результативной переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме модели предназначен регрессионный анализ.

В парном регрессионном анализе исследуется зависимость переменной y от одной объясняющей переменной х. Линейное уравнение связи двух пере­менных можно представить в виде

y = b0 + b x,

где b0 - постоянная величина (или свободный член уравнения);

b1 - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной yi, при изменении значения xi на единицу. Если b₁ > 0 -

переменные x_t и y_i положительно коррелированные, если b₁ < 0 - отрицательно коррелированны.

^ min

У( Уё — 9д²

где y_t - фактическое значение результативного признака; y_t - расчетное значение результативного признака; n - количество наблюдений.

Параметры уравнения парной регрессии находятся из системы нормаль­ных уравнений

Разделив на n левую и правую части обоих уравнений, получим:

у = Ь₀ + b_± X х

ху = b₀ X х + b_± X х ²

Отсюда

Ь₀= у-Ь_г хх

Подставив выражение b0 во второе уравнение, имеем ху — X X у

х² — (х)²

Важным моментом является проверка значимости построенного уравнения регрессии.

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

(49)

г² к

1 — г² п — к — 1

Если расчетное значение F-критерия с Vi= k и v₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k - количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой и она пригодна для практического использования.

(50)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%. Процедура прогноза по регрессионной модели заключается в определении прогнозного значения фактора х и расчете с его участием прогнозного значения результата

у = Ь₀ + Ь_гх

Прогноз может быть выполнен для всего множества изучаемых объектов на основе прогнозных значений среднего уровня фактора, т.е. х = х X к, где k - темп его изменения. Также прогноз возможен для конкретного i-го объекта с использованием индивидуального значения фактора, т.е. x_t = x_t X к.

На практике намного чаще, чем линейные, встречаются криволинейные (нелинейные зависимости). Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных уравнений регрессии:

• нелинейные относительно включенных в модель объясняющих пере­менных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• нелинейные по оцениваемым параметрам.

Нелинейные модели по оцениваемым параметрам подразделяются на внут­ренне линейные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне ли­нейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведе­на к линейному виду. Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Наиболее часто используемые нелинейные функции и соответствующие им линеаризующие преобразования представлены в таблице.

Таблица 2 - Преобразование уравнения модели к линейному виду