Файл: ИНженеры 1,2Матем.doc

, где V-объём параллелепипеда .

3. 2 Примеры решения задач.

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най­ти объем пирамиды ABCD.

Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

(1)

где а_х, а_у, а_г — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

(2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век­тор :

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы­числяется по формуле

(4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

,

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,

¢.

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани ABC равна половине площади па­раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век­тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора:

_

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не­компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ­ведение

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.

3. 3 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение вектора.

2. Какие векторы называются равными?

3. Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.

4. Запишите модуль вектора между координатами.

5. Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).

6. Дайте определение базису пространства.

7. Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.

8. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

---

Тема 4. Введение в анализ.

Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40

Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,

Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59

§ 11, упр 60-62.

1. Понятие предела.

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. _{если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε >0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство < при <}

Этот факт записывается так:

_{Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).}

_{Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т..}

_{Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).}

_{Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X0 .}

_{Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).}

_{При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел}

_{второй замечательный предел , а также формулы ,}

_{4.2 Способы раскрытия неопределённостей видаи .}

I. Если _{то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.}

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

_{Пример.}

_{Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -}

_{предельное значение функции y.}

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

Пример:

_{3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.}

_{Таблица.}

_1.

2.

3.

4.

Пример: Найти

Решение.

II. Если _{то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.}

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

Пример. Найти

_{Решение:}

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти _[ -бесконечно малые величины ]=

Ответ:

2. Первый и второй замечательные пределы.

1. _{- первый замечательный предел.}

Замечание. При x0 sin x~ x

Пример 1.

Найти

_{если заменить , т.к , то}

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

Пример 2. _{представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.}

Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение 1. Функция _{называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:}

_{Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0, если}

_{где соответственно приращение аргумента и приращение функции.}

Пример. Дана функция

Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти _и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

---

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

y

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е _{(ед). –скачок функции.}

4. Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: _{где C-const ?}

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?

Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.

Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220

Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.

5. 1 Определение производной, дифференциала.

1. Определение. Производной первого порядка от функции _{по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или}

2. _{, где - угол наклона касательной к}

_{- уравнение касательной, проведённой в т.}

3. _{- скорость изменения функции в т. x0.}

4. Отыскание производной называется дифференцированием.

5. _{- дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.}

Геометрически dy представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.

6. _{- дифференциал аргумента равен приращению аргумента.}

_{- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.}

7. _{- формула для приближённых вычислений.}

Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.

Элементарные функции	дифференциал	производная
1	2	3
1. Степенная функция
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x.
3.Тригонометрич. функции y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x
4. Показательная функция , a-число
5. Логарифмическая функция y=ln x
6. Иррациональная функция

1	2	3
7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x y=arcos x y= arctg x y=arcctg x
8. y=c c-const	d(c)=0·dx

---

Основные правила дифференцирования.

Пусть С- постоянное, _{и - функции имеющие производные.}

_{Тогда :}

₁₎

₂₎

₃₎

₄₎

₅₎

₆₎

_{7) если , , т.е , где функции f (U) и U (x) имеют производные, то - правило дифференцирования сложной функции.}

2. Примеры решения задач.

Задача 1. Найти производные _{или следующих функций:}

_а)

_б)

_в)

_г)

Решение:

а) Пользуясь правилом логарифмиро­вания корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

_откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разре­шено относительно функции у. Чтобы найти производ­ную у', следует дифференцировать по х обе части задан­ного уравнения, считая при этом у функцией от х, а за­тем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',

находим производную у':

откуда

г) Зависимость между переменными х и у задана па­раметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференци­алы dy и dx и затем берем отношение этих дифферен­циалов

Задача 2. Найти производную второго порядка

а)

б)

Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

(1)

откуда

Снова дифференцируем по х обе части (1):

(2)

Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:

б) Зависимость между переменными x и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти произ­водную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и за­тем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Следователь­но, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':

_Тогда

Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного зна­чения при

Решение: Известно, что дифференциал dy функ­ции представляет собой главную часть прира­щения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение при­ближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место при­ближенное равенство:

Пусть , т. е.

Тогда

и

(1)

ли

Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равен­ством ( 1 ) , находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:

_или

_{Применяя (1), получаем}

3. _{Вопросы для самопроверки.}

1. Сформулировать определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Как составить уравнение касательной?

4. Каков геометрический и механический смысл производной?

5. Как найти производную неявной функции? Параметрической функции?

6. Функция непрерывна в т. x_0. Следует ли отсюда дифференцируемость функции?

7. В чём заключается геометрический смысл дифференциала функции?

8. Записать формулу, используемую в приближённых вычислениях. Найти приближённое значение

---

Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.

Пискунов, гл. V, §1-12, упр 1-134

Данко , ч. I, гл. 3

0. План исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции. Решение этого вопроса указывает на те интервалы оси (ОХ), над которыми пройдёт график и на те значения аргумента x, над которыми график не пройдёт, а также в каких точках пройдут вертикальные асимптоты.

2. Исследовать на чётность, нечётность. Решение этого вопроса облегчает построение.

3. Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости.

4. Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости.

5. Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия для существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость.

7. Исследовать поведение функции на концах области определения. Это поможет при построении графика.

8. Можно взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика.

9. Построить график.

Задача 1. Исследовать функцию у = 1п(х² — 6х +10) и построить ее график.

Решение:

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком ло­гарифма, можно представить так: х²—6x+10=(x-3)² + 1. Как видно, под знаком логарифма будет положи­тельное число при любом значении аргумента х. Следо­вательно, областью существования данной функции слу­жит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не яв­ляется ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим пер­вую производную:

Знаменатель х²- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функ­ция имеет минимум:

Итак, A(3; 0) - точка минимума . Функция убывает на интервале (- ¥ , 3) и возрастает на интервале (3, + ¥).

5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала: ( - ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интерва­лах вторая производная отрицательна, а во втором ин­тервале положительна. При x₁ = 2 и х₂ = 4 вторая произ­водная меняет свой знак. Эти значения аргумента явля­ются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:

Следовательно, P₁(2; ln 2) и P₂(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интерва­лах ( - ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4).

---