Министерство сельского хозяйства РФ.

Федеральное агентство по сельскому хозяйству.

ФГОУ ВПО Тюменская государственная сельскохозяйственная академия.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Программа, методические указания и задания

для контрольных работ № 1,2 для студентов-заочников первого курса инженерных специальностей ТГСХА.

Часть I

Тюмень 2008

Утверждено

Редакционно-издательским Советом ТГСХА в качестве

методических указаний

Программа, методические указания и задания для выполнения контрольных работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика»

Составители: доцент кафедры математики Дьячкова Л.И.

старший преподаватель кафедры математики Пинаева Г.М.

старший преподаватель кафедры математики Антропов В.А.

Научный редактор

Столярова О.А., ст. преподаватель

Обсуждено

на заседании кафедры математики

Протокол № 2 от «15» ноября 2004 г.

Одобрено

научно-методическим советом

института экономики и финансов.

Протокол № 7 от «19» марта 2004 г.

Содержание:

Программа курса высшей математики…………………………………стр.4

Методика самостоятельной работы студента………………………….стр.8

Таблица вариантов контрольных работ………………………………..стр.9

Указания к выполнению контрольной работы № 1………………….стр.10

Контрольная работа №1………………………………………………..стр.38

Указания к выполнению контрольной работы № 2…………………..стр.44

Контрольная работа № 2……………………………………………..…стр.72

Рабочая программа курса.

«Высшая математика» для инженерно-технических специальностей.

Содержание программы.

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

1. Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алге­браические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вектор­ное произведение и его свойства. Смешанное произведение.

4. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R² и R³ (векторная и координатная формы).

5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя не­известными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с п неизвестными. Метод Гаусса-Жордана.

6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матрич­ная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rⁿ. Линейная зависимость и независимость векторов в Rⁿ. Ранг матри­цы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теоре­ма Кронекера-Капелли.

7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R² и R³. Собствен­ные векторы и собственные значения линейных операторов.

---

8. Квадратичные формы. Приведенные к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R² и R³.

9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

10. Поверхности второго порядка, Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

II. Введение в математический анализ.

11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточ­ность. Символика математической логики и ее использование.

12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементар­ных функций.

14. Бесконечно малые функции и их свойства.

15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.

16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно ма­лые. Их использование при вычислении пределов.

17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность сум­мы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функ­ции.

18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

20. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

21. Производная сложной функции. Производная обратной функ­ции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.

22. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производ­ные гиперболических функций.

23. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и част­ного. Инвариантность формы дифференциала.

24. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций e^x, cos x, sin x, ln (l+x), (1+х)^ по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

---

IV. Исследование функций с помощью производных

27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существо­вания экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

28. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

V. Неопределенный интеграл.

29. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таб­лица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирова­ние по частям и подстановкой.

30. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригоно­метрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VI. Определенный интеграл.

31. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойcтва определенного интеграла.

32. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Нью­тона — Лейбница.

33. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по час­тям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интегра­ла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

34. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей враще­ния. Физические приложения определенного интеграла.

35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несоб­ственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.

VII. Функции нескольких переменных.

36. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

37. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифферен­циала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

38. Частные производные и полные дифференциалы высших по­рядков. .Формула Тейлора.

39. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирова­ние неявных функций.

40. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое

условие. Достаточные условия.

41. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

8. Кратные интегралы.

42. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об инте­гралах любой кратности.

43. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых коор­динатах.

44. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим коорди­натам.

---

45. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики.

IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.

46. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определе­ние криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

47. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисления.

Л и т е р а т у р а:

1. Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1,2. М., Наука, 1973.

2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1973.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1972.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977

5. Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика.

Минск, Высшая школа, 1976.

6. Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по высшей математике. Минск, Высшая школа, 1976.

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах . Часть I, II. М., Высшая школа, 1974.

8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.

1. При изучении материала по учебнику, указанному в пособии перед каждой темой, ведите конспект, в котором выписывайте определе­ния, формулировки теорем, формулы, графики и т.д.

2. На полях конспекта отмечайте вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.

3. Переходите к следующему вопросу только после хорошего понимания

предыдущего материала.

4. Теоретические формулы обводите рамкой, чтобы они лучше запомина­лись при перечитывании конспекта. Можно выписать основные фор­мулы на отдельном листе в форме справочника.

5. При решении задач обосновывайте каждый этап решения, теоретичес­кими положениями курса математики, задавая себе вопрос: "На ка­ком основании сделан переход от одной операции к другой?".

6. Отделяйте вспомогательные вычисления от основных при оформлении решения.

7. Делайте рисунки, но аккуратно и в соответствии с условием задачи.

8. Запишите краткий план решения задачи. Помните, что вы должны приобрести твёрдые навыки в решении однотипных задач.

9. Помогите себе в повторении, закреплении, усвоении изученного ма­териала по вопросам для самопроверки, предлагаемым в этом посо­бии после каждой темы.

Помните, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.

10. Для обратной связи студента-заочника с преподавателем следует выполнить две контрольные работы, предложенные на стр. 38,72. Рецензия на работу указывает на пробелы в знаниях. Несамостояте­льное выполнение работы делает студента неподготовленным к устному экзамену или зачёту.

---

10. Без контрольных работ с рецензией преподавателя, исправлениями и дополнениями студент не допускается к сдаче экзамена или зачёта.

12. На экзамене и зачёте проверяются отчётливое понимание теоретических и прикладных вопросов программы, а также умение применить знания к решению практических задач.

13. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номера зачётной книжки).

14. На титульном листе выполненной контрольной работы укажите номер этой контрольной работы, Ф.И.О. студента, учебный шифр (номер зачётной книжки), дату окончания работы, подробный адрес студента.

На 1 курсе выполняются контрольные работы №1 и №2.

На 2 курсе выполняются контрольные работы №3 и №4.

15. Указать используемую литературу в конце решённой работы.

Таблица заданий для контрольных работ №1 и №2.

Номер варианта	Номер задач для контрольных работ
	Работа №1	Работа №2
1	1 11 21 31 41 51 61 71 81	91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201
2	2 12 22 32 42 52 62 72 82	92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
3	3 13 23 33 43 53 63 73 83	93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203
4	4 14 24 34 44 54 64 74 84	94 104 114 124 134 144 154 164 174 184 194 204
5	5 15 25 35 45 55 65 75 85	95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205
6	6 16 26 36 46 56 66 76 86	96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196 206
7	7 17 27 37 47 57 67 77 87	97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207
8	8 18 28 38 48 58 68 78 88	98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208
9	9 19 29 39 49 59 69 79 89	99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 209
0	10 20 30 40 50 60 70 80 90	100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Указания к выполнению контрольной работы №1

(темы 1-6)

Тема 1. Решение систем линейных уравнений.

Данко, гл 4,§1-7

Лихолетов, ч I гл. 7, §58-61.

1. Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.

Пусть требуется решить систему

(1)

После исключения переменной y из уравнений получим (2).

После исключения переменной x из уравнений получим (3)

Если знаменатель , то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2),(3).

Если принять обозначения:

, то решение системы примет вид : , (4)

, где - определители системы, - главный определитель.

Определитель- таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1).

Определитель, имеющий две строки и два столбца называется определителем 2-го порядка. Формулы (4) называются формулами Крамера.

Вычисление определителей второго порядка:

(+)

(-)

Пример: =(-2·3)-(4·(-5))= -6+20=14,

2. Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.

, т. е

Определитель 3-го порядка равен сумме произведений трёх элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

---