Файл: Контрольная работа 1 По дисциплине Математика Выполнил Вашукевич Илья Александрович.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 203
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВАКАФЕДРА (Высшей математики)Контрольная работа № 1По дисциплине: Математика Выполнил: Вашукевич Илья Александрович студент 1 курса групп Мд-11 Института дистанционного образования Проверил: Белгород, 2018 г.1Контрольная работа № 11 курс, 1 семестр
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (-1)*((-2)*8-1*1)-2*((-2)*8-1*(-3))+(-3)*((-2)*1-(-2)*(-3)) = 67 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 12*((-2)*8-1*1)-2*(3*8-1*(-1))+(-3)*(3*1-(-2)*(-1)) = -257 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 12*((-2)*8-1*(-3))-(-1)*(3*8-1*(-1))+(-3)*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -98 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 12*((-2)*1-(-2)*(-3))-(-1)*(3*1-(-2)*(-1))+2*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -117 Определитель минора: ∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+116*67+(-1)2+18*(-257)+(-1)3+11*(-98)+(-1)4+18*(-117) = 16*67-8*(-257)+1*(-98)-8*(-117) Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = 8*((-2)*8-1*1)-1*((-2)*8-1*(-3))+8*((-2)*1-(-2)*(-3)) = -187 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 16*((-2)*8-1*1)-1*(3*8-1*(-1))+8*(3*1-(-2)*(-1)) = -289 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 16*((-2)*8-1*(-3))-8*(3*8-1*(-1))+8*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -496 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 16*((-2)*1-(-2)*(-3))-8*(3*1-(-2)*(-1))+1*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -147 Определитель минора: ∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+11*(-187)+(-1)2+112*(-289)+(-1)3+11*(-496)+(-1)4+12*(-147) = 1*(-187)-12*(-289)+1*(-496)-2*(-147) Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (-1)*(1*8-8*1)-2*(8*8-8*(-3))+(-3)*(8*1-1*(-3)) = -209 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 12*(1*8-8*1)-2*(16*8-8*(-1))+(-3)*(16*1-1*(-1)) = -323 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 12*(8*8-8*(-3))-(-1)*(16*8-8*(-1))+(-3)*(16*(-3)-8*(-1)) = 1312 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 12*(8*1-1*(-3))-(-1)*(16*1-1*(-1))+2*(16*(-3)-8*(-1)) = 69 Определитель минора: ∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+11*(-209)+(-1)2+112*(-323)+(-1)3+11*1312+(-1)4+12*69 = 1*(-209)-12*(-323)+1*1312-2*69 Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (-1)*((-2)*8-1*1)-2*((-2)*8-1*8)+(-3)*((-2)*1-(-2)*8) = 23 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 12*((-2)*8-1*1)-2*(3*8-1*16)+(-3)*(3*1-(-2)*16) = -325 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 12*((-2)*8-1*8)-(-1)*(3*8-1*16)+(-3)*(3*8-(-2)*16) = -448 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 12*((-2)*1-(-2)*8)-(-1)*(3*1-(-2)*16)+2*(3*8-(-2)*16) = 315 Определитель минора: ∆4 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+11*23+(-1)2+112*(-325)+(-1)3+11*(-448)+(-1)4+12*315 = 1*23-12*(-325)+1*(-448)-2*315 Выпишем отдельно найденные переменные ХРешение СЛАУ методом Гаусса.Запишем систему в виде расширенной матрицы: Умножим 1-ую строку на (12). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Умножим 3-ую строку на (-12). Добавим 3-ую строку к 2-ой: Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой: Умножим 1-ую строку на (25). Умножим 2-ую строку на (145). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Умножим 2-ую строку на (7). Умножим 3-ую строку на (25). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (29). Умножим 2-ую строку на (-4140). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Теперь исходную систему можно записать так: x4 = 853500/986100 x3 = [-178 - ( - 255x4)]/29 x2 = [-6 - ( - 5x3 - 6x4)]/7 x1 = [8 - ( - 3x2 + x3 + 8x4)]/2 Из 1-ой строки выражаем x4Из 2-ой строки выражаем x3Из 3-ой строки выражаем x2Из 4-ой строки выражаем x1Решение СЛАУ методом обратной матрицыОбозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(16,8,1,8) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. Минор для (1,1): =-1•(-2•8-1•1)-2•(-2•8-1•(-3))+(-3•(-2•1-(-2•(-3))))=67 Минор для (2,1): =12•(-2•8-1•1)-2•(3•8-1•(-1))+(-3•(3•1-(-2•(-1))))=-257 Минор для (3,1): =12•(-2•8-1•(-3))-(-1•(3•8-1•(-1)))+(-3•(3•(-3)-(-2•(-1))))=-98 Минор для (4,1): =12•(-2•1-(-2•(-3)))-(-1•(3•1-(-2•(-1))))+2•(3•(-3)-(-2•(-1)))=-117 Определитель: ∆=1•67-12•(-257)+1•(-98)-2•(-117)=3287 Итак, определитель 3287 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=-1•(-2•8-1•1)-(-2•(2•8-1•(-3)))+(-3•(2•1-(-2•(-3))))=67
∆1,2=-12•(-2•8-1•1)-3•(2•8-1•(-3))+(-1•(2•1-(-2•(-3))))=257 ∆1,3=12•(-2•8-(-3•1))-3•(-1•8-(-3•(-3)))+(-1•(-1•1-(-2•(-3))))=-98 ∆1,4=-12•(-2•1-(-3•(-2)))-3•(-1•1-(-3•2))+(-1•(-1•(-2)-(-2•2)))=117 ∆2,1=-12•(-2•8-1•1)-(-2•(1•8-1•2))+(-3•(1•1-(-2•2)))=207 ∆2,2=1•(-2•8-1•1)-3•(1•8-1•2)+(-1•(1•1-(-2•2)))=-40 ∆2,3=-1•(-2•8-(-3•1))-3•(12•8-(-3•2))+(-1•(12•1-(-2•2)))=335 ∆2,4=1•(-2•1-(-3•(-2)))-3•(12•1-(-3•1))+(-1•(12•(-2)-(-2•1)))=-31 ∆3,1=12•(2•8-1•(-3))-(-1•(1•8-1•2))+(-3•(1•(-3)-2•2))=255 ∆3,2=-1•(2•8-1•(-3))-12•(1•8-1•2)+(-1•(1•(-3)-2•2))=46 ∆3,3=1•(-1•8-(-3•(-3)))-12•(12•8-(-3•2))+(-1•(12•(-3)-(-1•2)))=-1207 ∆3,4=-1•(-1•1-(-3•2))-12•(12•1-(-3•1))+(-1•(12•2-(-1•1)))=200 ∆4,1=-12•(2•1-(-2•(-3)))-(-1•(1•1-(-2•2)))+(-2•(1•(-3)-2•2))=29 ∆4,2=1•(2•1-(-2•(-3)))-12•(1•1-(-2•2))+3•(1•(-3)-2•2)=-85 ∆4,3=-1•(-1•1-(-2•(-3)))-12•(12•1-(-2•2))+3•(12•(-3)-(-1•2))=301 ∆4,4=1•(-1•(-2)-(-2•2))-12•(12•(-2)-(-2•1))+3•(12•2-(-1•1))=345 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов XX=A-1 • B x = XT=(1.21,0.94,1.47,0.87) x1=3966 / 3287=1.21 x2=3079 / 3287=0.94 x3=4841 / 3287=1.47 x4=2845 / 3287=0.87
-
Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса:
| 16 | 12 | 3 | -1 |
| 8 | -1 | -2 | -3 |
| 1 | 2 | -2 | 1 |
| 8 | -3 | 1 | 8 |
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (-1)*((-2)*8-1*1)-2*((-2)*8-1*(-3))+(-3)*((-2)*1-(-2)*(-3)) = 67 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 12*((-2)*8-1*1)-2*(3*8-1*(-1))+(-3)*(3*1-(-2)*(-1)) = -257 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 12*((-2)*8-1*(-3))-(-1)*(3*8-1*(-1))+(-3)*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -98 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 12*((-2)*1-(-2)*(-3))-(-1)*(3*1-(-2)*(-1))+2*(3*(-3)-(-2)*(-1)) = -117 Определитель минора: ∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+116*67+(-1)2+18*(-257)+(-1)3+11*(-98)+(-1)4+18*(-117) = 16*67-8*(-257)+1*(-98)-8*(-117) Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 1 | 16 | 3 | -1 |
| 12 | 8 | -2 | -3 |
| 1 | 1 | -2 | 1 |
| 2 | 8 | 1 | 8 |
| 1 | 12 | 16 | -1 |
| 12 | -1 | 8 | -3 |
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | -3 | 8 | 8 |
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (-1)*(1*8-8*1)-2*(8*8-8*(-3))+(-3)*(8*1-1*(-3)) = -209 Минор для (2,1): Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = 12*(1*8-8*1)-2*(16*8-8*(-1))+(-3)*(16*1-1*(-1)) = -323 Минор для (3,1): Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = 12*(8*8-8*(-3))-(-1)*(16*8-8*(-1))+(-3)*(16*(-3)-8*(-1)) = 1312 Минор для (4,1): Найдем определитель для этого минора. ∆4,1 = 12*(8*1-1*(-3))-(-1)*(16*1-1*(-1))+2*(16*(-3)-8*(-1)) = 69 Определитель минора: ∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 + (-1)4 + 1a41∆41 = (-1)1+11*(-209)+(-1)2+112*(-323)+(-1)3+11*1312+(-1)4+12*69 = 1*(-209)-12*(-323)+1*1312-2*69 Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 1 | 12 | 3 | 16 |
| 12 | -1 | -2 | 8 |
| 1 | 2 | -2 | 1 |
| 2 | -3 | 1 | 8 |
Умножим 1-ую строку на (29). Умножим 2-ую строку на (-4140). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Теперь исходную систему можно записать так: x4 = 853500/986100 x3 = [-178 - ( - 255x4)]/29 x2 = [-6 - ( - 5x3 - 6x4)]/7 x1 = [8 - ( - 3x2 + x3 + 8x4)]/2 Из 1-ой строки выражаем x4Из 2-ой строки выражаем x3Из 3-ой строки выражаем x2Из 4-ой строки выражаем x1Решение СЛАУ методом обратной матрицыОбозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(16,8,1,8) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. Минор для (1,1): =-1•(-2•8-1•1)-2•(-2•8-1•(-3))+(-3•(-2•1-(-2•(-3))))=67 Минор для (2,1): =12•(-2•8-1•1)-2•(3•8-1•(-1))+(-3•(3•1-(-2•(-1))))=-257 Минор для (3,1): =12•(-2•8-1•(-3))-(-1•(3•8-1•(-1)))+(-3•(3•(-3)-(-2•(-1))))=-98 Минор для (4,1): =12•(-2•1-(-2•(-3)))-(-1•(3•1-(-2•(-1))))+2•(3•(-3)-(-2•(-1)))=-117 Определитель: ∆=1•67-12•(-257)+1•(-98)-2•(-117)=3287 Итак, определитель 3287 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=-1•(-2•8-1•1)-(-2•(2•8-1•(-3)))+(-3•(2•1-(-2•(-3))))=67
∆1,2=-12•(-2•8-1•1)-3•(2•8-1•(-3))+(-1•(2•1-(-2•(-3))))=257 ∆1,3=12•(-2•8-(-3•1))-3•(-1•8-(-3•(-3)))+(-1•(-1•1-(-2•(-3))))=-98 ∆1,4=-12•(-2•1-(-3•(-2)))-3•(-1•1-(-3•2))+(-1•(-1•(-2)-(-2•2)))=117 ∆2,1=-12•(-2•8-1•1)-(-2•(1•8-1•2))+(-3•(1•1-(-2•2)))=207 ∆2,2=1•(-2•8-1•1)-3•(1•8-1•2)+(-1•(1•1-(-2•2)))=-40 ∆2,3=-1•(-2•8-(-3•1))-3•(12•8-(-3•2))+(-1•(12•1-(-2•2)))=335 ∆2,4=1•(-2•1-(-3•(-2)))-3•(12•1-(-3•1))+(-1•(12•(-2)-(-2•1)))=-31 ∆3,1=12•(2•8-1•(-3))-(-1•(1•8-1•2))+(-3•(1•(-3)-2•2))=255 ∆3,2=-1•(2•8-1•(-3))-12•(1•8-1•2)+(-1•(1•(-3)-2•2))=46 ∆3,3=1•(-1•8-(-3•(-3)))-12•(12•8-(-3•2))+(-1•(12•(-3)-(-1•2)))=-1207 ∆3,4=-1•(-1•1-(-3•2))-12•(12•1-(-3•1))+(-1•(12•2-(-1•1)))=200 ∆4,1=-12•(2•1-(-2•(-3)))-(-1•(1•1-(-2•2)))+(-2•(1•(-3)-2•2))=29 ∆4,2=1•(2•1-(-2•(-3)))-12•(1•1-(-2•2))+3•(1•(-3)-2•2)=-85 ∆4,3=-1•(-1•1-(-2•(-3)))-12•(12•1-(-2•2))+3•(12•(-3)-(-1•2))=301 ∆4,4=1•(-1•(-2)-(-2•2))-12•(12•(-2)-(-2•1))+3•(12•2-(-1•1))=345 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов XX=A-1 • B x = XT=(1.21,0.94,1.47,0.87) x1=3966 / 3287=1.21 x2=3079 / 3287=0.94 x3=4841 / 3287=1.47 x4=2845 / 3287=0.87
-
Заданы четыре точки в пространстве: