Файл: Контрольная работа 1 По дисциплине Математика Выполнил Вашукевич Илья Александрович.docx

Скачать файл (0,21Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.11.2023

Просмотров: 68

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

из точки

треугольника

;

10) площадь треугольника

;

11) координаты точки пересечения медиан треугольника

;

12) объем пирамиды

и ее высоту, опущенную на основание треугольника

.

Даны координаты пирамиды: A(1,1,3), B(-2,5,1), C(1,8,1), D(3,-2,1)
2) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j- координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
X = -2-1; Y = 5-1; Z = 1-3
AB(-3;4;-2)
AC(0;7;-2)
AD(2;-3;-2)
BC(3;3;0)
BD(5;-7;0)
CD(2;-10;0)
1) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

4) Уравнение прямых
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Параметрическое уравнение прямой:
x=x₀+lt
y=y₀+mt
z=z₀+nt
Уравнение прямой AB(-3,4,-2)

Параметрическое уравнение прямой:
x=1-3t
y=1+4t
z=3-2t
Уравнение прямой AC(0,7,-2)

Параметрическое уравнение прямой:
x=1+0t
y=1+7t
z=3-2t
Уравнение прямой AD(2,-3,-2)

Параметрическое уравнение прямой:
x=1+2t
y=1-3t
z=3-2t
Уравнение прямой BC(3,3,0)

Параметрическое уравнение прямой:
x=-2+3t
y=5+3t
z=1+0t
5) Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1	y-y1	z-z1
x2-x1	y2-y1	z2-z1
x3-x1	y3-y1	z3-z1

= 0

Уравнение плоскости ABC

x-1	y-1	z-3
-3	4	-2
0	7	-2

= 0

(x-1)(4(-2)-7(-2)) - (y-1)((-3)*(-2)-0(-2)) + (z-3)((-3)*7-0*4) = 6x - 6y - 21z + 63 = 0
Упростим выражение: 2x - 2y - 7z + 21 = 0

6) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(3,-2,1)
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: 2x - 2y - 7z + 21 = 0

7) Угол между ребрами векторами AB и AC
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами AB(-3;4;-2) и AC(0;7;-2):

γ = arccos(0.816) = 35.292⁰
10) Площадь АВС
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-3;4;-2) и AC(0;7;-2):

Площадь грани ABC

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i	j	k
-3	4	-2
0	7	-2

=i(4(-2)-7(-2)) - j((-3)*(-2)-0(-2)) + k((-3)*7-0*4) = 6i - 6j - 21k

9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору AB
Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0
Координаты точки C(1;8;1)
Координаты вектора AB(-3;4;-2)
-3(x - 1) + 4(y - 8) + (-2)(z - 1) = 0
Искомое уравнение плоскости:
-3x + 4y - 2z-27 = 0

12) Уравнение высоты пирамиды через вершину D(3,-2,1)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: 2x - 2y - 7z + 21 = 0