ББК22.1я2я72 

Г9б 

Доморяд Александр Петрович

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.Н.

Техн. Редактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сечейко Л.О.

Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 84× 108 . Физ. Печ. л. 8, 375. Условн. Печ. л. 13, 74. Уч. –изд.л. 12, 82. Тираж 200 000 экз. Заказ №979. Цена книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения: Избранное. – Волгоград: ВГПУ, 2003. – 20с.

В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. “Математические игры и развлечения”, которая была издана в 1961 году Государственным издательством физико-математическо литературы г. Москвы.

ISBN 5-09-001292-X ББК22.1я2я72

©Издательство “ВГПУ”, 2003

Предисловие

Из разнообразного материала, объединяемого различными авторами под общим названием математических игр и развлечений, можно выделить несколько групп "классических развлечений", издавна привлекавших внимание математиков:

1. 
   Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений; обычно интересуются установлением числа решений, разработкой методов, дающих большие группы решений или решения, удовлетворяющие каким-нибудь специальным требованиям.
   
2. 
   Математические игры, т.е. игры, в которых двое играющих рядом "ходов", делаемых поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, причем оказывается возможным для любого исходного положения предопределить победителя и указать, как - при любых ходах противника - он может добиться победы.
   
3. 
   "Игры одного лица", т.е. развлечения, в которых с помощью ряда операций, выполняемых одним игроком в соответствии с данными правилами, надо достигнуть определенной, заранее указанной цели; здесь интересуются условиями, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее число ходов, необходимых для ее достижения.
   

Классическим играм и развлечениям посвящена большая часть этой книги.

Каждый может попытаться, проявив настойчивость и изобретательность, получить интересные (свои!) результаты.

Если такие классические развлечения, как, например, составление "магических квадратов" могут оказаться по душе сравнительно узкому кругу лиц, то составление, например, симметричных фигур из деталей разрезанного квадрата, поиски числовых курьезов и т.п., не требуя никакой математической подготовки, могут доставить удовольствие и любителям, и "не любителям" математики. То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в объеме 9-11 классов средней школы.

---

Многие развлечения и даже отдельные задачи могут подсказать любителям математики темы для самостоятельного исследования.

В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы - даже учащимся 5-8классов.

Многие параграфы могут быть использованы преподавателями математики для организации внеклассной работы.

Разные категории читателей могут по-разному использовать эту книгу: лца, не увлекающиеся математикой, могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, фигур и т.п., не вникая в обоснование игр и развлечений, принимая на веру отдельные утверждения; любителям математики советуем изучать отдельные места книги с карандашом и бумагой, решая предлагаемые задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления.


Определение задуманного числа по трем таблицам

Разместив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – в четырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см. рис. 1), легко быстро определить задуманное кем-нибудь число N (N≤60), если будет указаны номера α, β, γ столбцов, содержащих задуманное число в 1-й, 2-й и 3-й таблицах: N будет ровно остатку от деления числа 40α+45β+36γ на 60 или, другими словами, N будет ровно меньшему положительному числу, сравнимому с суммой (40α+45β+36γ) по модулю 60. Например, при α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60),т.е. N=6.

I	II	III
1	2	3
4	5	6
7	8	9
.	.	.
.	.	.
.	.	.
55	56	57
58	59	60

I	II	III	IV
1	2	3	4
5	6	7	8
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
53	54	55	56
57	58	59	60

---

I	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

Аналогичный вопрос может быть решен для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если - номера столбцов, в которых задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336γ+120δ на 420.


Солитер

Игра под названием солитер проводится на доске с тридцатью тремя клетками. Такую доску легко получить, прикрыв шахматную доску листом картона с

крестообразным вырезом.

		73	74	75
		63	64	65
51	52	53	54	55	56	57
41	42	43	44	45	46	47
31	32	33	34	35	36	37
		23	24	25
		13	14	15

---

На рисунке каждая клетка обозначена парой чисел, указывающих номера горизонтального и вертикального рядов, на пересечении которых находится клетка. В начале игры все клетки, за исключением какой-нибудь одной, заняты шаш­ками.

Требуется снять 31 шашку, причем задаются пустая «начальная» клетка (а,b) и «конечная» (с,d), на которой должна оказаться уцелевшая в конце игры шашка. Правила игры та­ковы: любая шашка может быть снята с доски, если рядом с ней (в горизонтальном или вертикальном направлении) находится с одной стороны какая-нибудь шашка («снимающая»), а с противоположной стороны – пустая клетка, на которую «снимающая» шашка должна быть при этом переведена.

Из теории игры следует, что решение будет в том и только в том случае, когда a≡ c(mod3) и b≡ d(mod3).

Приведем для примера решение задачи, в которой клетка (44) является и начальной, и конечной.

64-44 56-54 44-64 52-54 73-53	75-73 43-63 73-53 54-52 35-55	65-45 15-35 45-25 37-35 57-37	34-36 37-35 25-45 46-44 23-43
	31-33 43-23 51-31 52-32 31-33 14-34	34-32 13-33 32-34 34-54 64-44

Здесь в записи каждого хода указаны для «снимающей» шашки номер исходной клетки и номер клетки, на которую она ставится (при этом с доски снимается шашка, стоящая на промежуточной клетке).

Попробуйте снять 31 шашку:

1. 
   при начальной клетке (5,7) и конечной (2,4);
   
2. 
   при начальной клетке (5,5) и конечной (5,2).
   

Магические квадраты

Магические квадрат «n²-квадратом» назовем квадрат, разделенный на n² клеток, заполненных первыми n² натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу 

Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.

2	7	6
9	5	1
4	3	8

---

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

6	7	2
1	5	9
8	3	4

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3

Действительно,S3 = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата.

Оглавление

А. П. Доморяд







Издательство «Школьник»

Волгоград,2003




Удивительные встречи с занимательной математикой

Интереснейший набор задач

Прекрасное лицо царицы наук МАТЕМАТИКИ



"Математический марафон"

"Математический марафон"

"Математический марафон"



Рисунок 1









Издательство



«Книги можно заказать по почте: 400012,

г. Волгоград, ул. Триумфальная, 28, каб. 2-24»

---

Смотрите также файлы

• Виды аргументов.docx

• Решение 1 Данная функция существует при любых значениях x 2.docx

• Тема Расследование и учет несчастных случаев на производстве Цель занятия.doc

• Практических заданий по дисциплине этика делового общения.docx

• Основой кадровой политики компании Asstra ag являются следующие принципы.docx