Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 218
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вопросы экономики, No1–12, 2000. Стратегии производства и потребления Покотилова В.И., Басраков Д.В., Янюк О.В. (Херсонский экономико-правовой институт) В современных экономических условиях существуют агенты, которые функционируют одновременно и как предприятие E, и как домохозяйство H. Пусть в состоянии E агент получает доход Y на рынке товаров и услуг MP и несет расходы L по оплате труда на рынке ресурсов MR, а в состоянии H получает доход R на рынке MR и несет потребительские расходы C на рынке MP. Взаимодействие агента с рынками MP и MR отображает направленный граф денежных потоков рис.1. Сплошными линиями показаны потоки хорд графа Ic=(Y,L,C,R)T, а пунктирными линиями – потоки ветвей графа Ib=(K,S,–I,–Q)T с платой за капитал K, сбережениями S и инвестициями в предприятия и домохозяйства I и Q. Матрица сальдового оборота B дана в таблице 1. Рис.1. Направленный граф денежных потоков. Таблица 1. Матрица сальдового оборота B. B E H MP MR Ib E 0 0 Y –L K H 0 0 –C R S MP –Y C 0 0 –I MR L –R 0 0 –Q –IbT –K –S I Q Блок 2 2 этой матрицы из строк E,H и столбов MP,MR является матрицей выигрышей в антагонистической игре агента и рынка. Агент имеет стратегии E и H, а его запасы в этих состояниях равны K и S. Рынок имеет стратегии MP и MR, а его запасы в этих состояниях I и Q=K+S–I. Денежные потоки выражаются через запасы и переменную R: , и . Матрица выигрышей 2 2-игры с произвольным доходом R имеет вид . Среднее значение и дисперсия игры и . Наименьшее значение дисперсия принимает при и . Если принять K=1.1, S=0.3, I=0.8 и Q=0.6 ден.ед, то *=0.238, R*=0.1, Y=0.6, L=–0.5 и C=–0.2 ден.ед. Матрица выигрышей имеет седловую точку 0.5: у агента есть доминирующая стратегия E, а рынок имеет доминирующую стратегию MR: A MP MR E 0.6 0.5 H 0.2 0.1 Если принять K=1.1, S=1.3, I=0.8 и Q=1.6 ден.ед, то *=0.238, R*=0.85, Y=0.35, L=–0.75 и C=–0.45 ден.ед. Матрица выигрышей имеет седловую точку 0.45: у агента есть доминирующая стратегию H, а рынок имеет доминирующую стратегию MP: A MP MR E 0.35 0.75 H 0.45 0.85 Поведение агента в 2 2-игре описывается функцией полезности , где a=0 для нейтрального агента A, a<0 для ротивника риска B и a>0>0>0>0>0>
0 для сторонника к риску С. Величины cmin и cmax определяются предпочтениями агента. Примем cmin=0 и cmax=R, a R=2.5 ден.ед, что при K=1.1, S=1.3, I=0.8 и Q=1.6 ден.ед. дает Y=2, L=0.9 и C=1.2 ден.ед. На рис.2 даны полезности этой игры для агентов A, B и C, а полезности выигрышей даны в таблице 2. Рис.2. Функции полезности 2 2 игры с доходом R=2.5 ден.ед. Таблица 2. Полезности выигрышей для агентов A, B и C. A B C Y 2 u11 0,8 0,87 0,73 –L –0,9 u12 –0,36 –0,58 –0,14 –C –1,2 u21 –0,48 –0,8 –0,16 R 2,5 u22 1 1 1 Агент и рынок по-разному относятся к риску, а сумма полезностей для каждой ситуации игры не будет равна нулю. Игра агента с рынком в таком случае становится биматричной игрой. Рынок нейтрален к риску, а агент может быть несклонным к риску и склонным к риску. Матрицы выигрышей в игре агента, несклонного к риску, имеют вид Агент MP MR Рынок MP MR E 0,87 –0,58 E –0,8 0,36 H –0,8 1 H 0,48 –1 В этой игре нет точек Неша, но есть точка Парето (0.87,–0.8). Матрицы выигрышей в игре агента, несклонного к риску, имеют вид Агент MP MR Рынок MP MR E 0,73 -0,14 E –0,8 0,36 H –0,16 1 H 0,48 –1 В этой игре нет точек Неша, но есть точка Парето (–0.16,0.48). Применяя стратегию производства E, несклонный к риску агент выигрывает на рынке товаров и услуг MP. Применяя стратегию потребления H, склонный к риску агент проигрывает на рынке MP.
Функцией институтов в теории игр является создание предпосылок (структурных, когнитивных, организационных) для достижения равновесия в одном исходе. В отсутствие точек Нэша возникает проблема совместимости агентов: они не смогут согласовать решения, если институциональные рамки не ограничат и не направят выбор их стратегий. Для увеличения числа точек Нэша применяются смешанные и эволюционные стратегии, формируется репутация агента, делается отбор равновесий с помощью соглашений и фокальных точек. Институциональные ограничения можно формализовать с учетом отношения агента к риску. Склонность агентов к риску не влияет на положение точек Нэша в игре, но устраняет множественность точек Парето. Степень неприятия риска в игре является институциональным условием для выбора равновесного состояния. Для расчета реальной процентной ставки RIR используется индекс потребительских цен CPI – текущая цена набора основных товаров и услуг (потребительская корзина): и , где CCL=(C1–C0)/C0 – темп зменения CPI. Инвестору нужен портфель акций c текущей стоимостью PA. Через w=0,5 года стоимость портфеля может быть PB>PA или PC 0 или rC=PC/PA–1<0). Если она будет PB, то через полгода составит PD=PB(1+rB)>PB или PE=PB(1+rC) Необходимо сохранить возможность получить доход в состоянии D. Инвестор не может купить портфель из одних акций, так как в состоянии F он принесет убыток PF–PA. Если купить акции и безрисковые облигации, то через полгода может наступить состояние B или C. Чтобы уверенно получить PA в состоянии C, нужно иметь в портфеле облигации стоимостью PA/(1+rf) при безрисковой ставке процента rf. Рис.1. Дерево состояний портфеля акций. Первоначальные инвестиции в акции и облигации Is и Ib должны обеспечить PA(1+rB) в состоянии B и PA/(1+rf) в состоянии C: Инвестиция равносильна покупке портфеля акций за PA и страхового полиса Инвестиция обеспечит желаемый результат только в том случае, если состав портфеля будет изменяться с его стоимостью. Это цель динамической стратегии: акции и облигации продаются или покупаются в зависимости от их доходности. При росте цены акций следует продать облигации и купить акции. Если наступит состояние B, акции будут стоить Is(1+rB), облигации Ib(1+rf), а стоимость портфеля равна PB: нужно продать облигацию и купить акции. Если наступит состояние C, акции будут стоить Is(1+rC), облигации Ib(1+rf), а стоимость портфеля PC: нужно продать акции и купить облигации. Через полгода стоимость акций будет Is(1+rB)2 (состояние D), стоимость облигаций составит Ib(1+rf)2 (состояние E). Инвестор покупает портфель акций за 100 (состояние A). Через w=0,5 года стоимость портфеля может вырасти до 125 (состояние B, полугодовая ставка rB=0,25) или упасть до 80 (состояние C, полугодовая ставка rC=–0,2). Если она 125, то через полгода составит 156,25 (D) или 100 (состояние E). Если она будет 80, то через полгода составит 100 (E) или 64 (F). w=0 w=0,5 w=1 A: 100 B: 125 D: 156,25 C: 80 E: 100 F: 64 Чтобы не понести убытки, инвестор покупает акции и безрисковые облигации. Для возврата 100 в состоянии C нужны облигации стоимостью 100/1,05=95,238 при ставке процента rf=0,05. Инвестиции Is и Ib обеспечат 125 в состоянии B или 95,238 в состоянии C: В акции и облигации нужно вложить Is=66,138 и Ib=40,312, всего 106,45. Это равносильно покупке портфеля акций за 100 и страхового полиса за 6,45. Если наступит состояние B, акции будут стоить 66,138 1,25=82,672, а облигации 40,312 1,05=42,328, а сумма 125.
Нужно продать облигации, а на вырученные деньги купить акции. Если наступит состояние C, акции стоят 66,138 0,8=52,91, облигации 40,312 1,05=42,328. Нужно продать акции, а на вырученные деньги купить облигации. Через полгода стоимость акций будет 156,25 (состояние D), а стоимость облигаций 100 (состояние E). [1] Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. – М.: Инфра, 1997. 8. Теория налогов Выручка R=pQ зависит от выпуска Q и цены продукта p. Нужно оплатить сырье M и труд L, сделать отчисления K на износ капитала K при норме амортизации : Полные затраты C=M+L+ K можно представить в виде где m=M/R, l=L/R и k=K/R. Добавленная стоимость Y=R–M, а валовой доход CP=Y–L– K=NP+TT состоит из чистой прибыли и налога где – ставка налога на прибыль, – на добавленную стоимость, – на заработную плату. Бизнесмен максимизирует NP, государство TT (конфликт интересов). Стратегии бизнесмена 1 – =0, 2 – =0. Стратегии государства 1 – =0, 2 – =0. Матрица NP
Матрица TT Матрица CF При начислении амортизации k>0 имеются две точки Парето (2;1) и (2;2), а положение точек Неша зависит от налоговых ставок. Динамика капитала описывается уравнением где – норма амортизации, It – инвестиция. При склонности к инвестициям в капитал из чистой прибыли NPt где Iext – внешняя инвестиция. Чистая прибыль в периоде t Подстановка дает Добавленная стоимость простейшего вида (производственная функция) где a и b зависят от доли материалов m, капитала k и труда l Пусть вариации затрат труда не изменяют добавленную стоимость Динамическое уравнение капитала Для удобства введем обозначения Восходящие разности основного капитала а уравнение основного капитала принимает вид .Это уравнение сходно с уравнением электрического напряжения Vt в параллельном контуре с источником тока It где C, G, L и Т – емкость, проводимость, индуктивность и период колебаний. Сравнение показывает, что (1–) – емкость C/T, {1–+(1–)[a(1–)–2]} – проводимость G, а {+(1–)[–a(1–)]} – обратная индуктивность T/L.Разностное уравнение переводится z-преобразованием в алгебраическое уравнение Cистемная функция капитала Отклик в частотной области находим путем подстановки z=exp(pT) с комплексной частотой p=+i. Точки мнимой оси p=i лежат на единичной окружности плоскости z с центром в начале координат. Мнимая ось p преобразуется в единичную окружность плоскости z. Если<0, то exp(T)<1 и точки z лежат вне единичной окружности. Если >0, то exp(T)>1 и точки z лежат внутри окружности. Капитал устойчив при |z| 1 и неустойчив при |z|>1. Применяя теорию вычетов, получаем отсчеты системной функции Чистая прибыль в периоде t где –
отношение запасов к капиталу, – ставка налога на мущество.
При каких условиях чистая прибыль положительна? Yt=kKt. Каков критический темп роста выпуска для получения ненулевой прибыли? Какова величина индекса J=Yt/Yt-1, при которой NPt=0? Если ввести долю затрат труда в добавленной стоимости =Lt/Yt, то критическое значение индекса При J>J* имеем NPt>0, но при J* производство сворачивается, при<* – накопление капитала и расширенное воспроизводство. Если принять m=0,8, то g=-0,4%. Технологические и фискальные параметры экономики способствуют сохранению рецессии. Если налог на имущество снизить до =1,5%, это создаст условия для накопления капитала и перехода к устойчивому росту. Исследуем налога на имущество на точки Лаффера. акопленный капитал связан со ставкой налога Увеличение уменьшает капитал, и автономных точек Лаффера I-рода нет. В точке бифуркации * режим развития меняется на другой (рост переходит в рецессию). Характерных для кривой Лаффера перегибов нет. Текущий налог и получим Рост ставки налога на имущество увеличивает налоговые сборы, автономной точки Лаффера II-рода нет. Уменьшение ставки налога на имущество не компенсируется расширением налоговой базы и, следовательно, урезание массы взимаемых налогов неизбежно. Хотя ослабление налогового пресса в долгосрочном периоде позитивно влияет на экономический рост, оно не может восполнить урон, наносимый государственному бюджету. Уменьшение ставки налога на имущество окупается через какое-то время. Кумулятивная функция налоговых сборов Чтобы выяснить роль ставки налога, нужно найти / . Сравним варианты с =0 и =<0. Чтобы найти период времени * нейтрализации фискального урона экономическим ростом, решим уравнение T(,0)=T(,). Решение где g0 и gK – темпы прироста. Разложением функции в ряд получаем приближенное решение Влияние ставки на сбор налога проявляется в длительной перспективе. Учет времени наполняет новым содержанием теорию предложения Лаффера. Можно сразу получить в явном виде точку При t 1 эффекта Лаффера нет. Точка Лаффера появится во втором периоде Стимулирование роста и накопления капитала снижением ставки налога на имущество имеет цену – сокращение поступлений налогов в бюджет.
С помощью преобразований получаем условие приемлемости ситуаций и . При q=0 (вторая стратегия) имеем wp3u, при q=1 (первая стратегия) wp£u, а при 00, и p£p*, если w<0, (p*,q) при 0£q£1, (p,1) при p£p*, если w>0, и p3p*, если w<0. Ситуация является седловой точкой, если приемлема для каждого агента. Для выявления седловых точек изобразим приемлемые для агентов ситуации на единичном квадрате. Зигзаги пересекаются в седловых точках игры. Трехзвенные зигзаги могут быть левыми или правыми. Зигзаги, на которых лежат приемлемые стратегии антагонистической игры, всегда имеют одинаковую ориентацию и при w10 пересекаются в точке (p*,q*). Если w=0, но u10 или v10, ситуация (p*,q*) не встречается, а две другие ситуации имеют знак строгого неравенства. Ситуации с p=0 или p=1 приемлемы для агента A при всех q в зависимости от того, какое из чисел a22 или a12 больше. Ситуации с q=0 или q=1 приемлемы для агента B при всех p в зависимости от того, какое из чисел a22 или a21 больше. Если w=0 и v=0, то приемлемыми будут все ситуации единичного квадрата. Агент A выкладывает монету на стол («орел» – x1, «решка» – x2), а агент B угадывает, какой стороной монета положена («орел» – y1, «решка» – y2). При угадывании агент B получает от агента A выигрыш в одну гривну, а в противном случае платит ему ее: . Седловой точки нет, |A|=0, w=4, u=2, v=2, p*=1/2, q*=1/2. В смешанных стратегиях имеется седловая точка (1/2,1/2), а цена игры g равна 0, поскольку |A|=0. Матрица A игры «орел-решка» отличается от матрицы A¢ игры в «прятки» перестановкой строк или столбцов A=RA¢ или A=A¢R, Игры с матрицами A и A¢=RAR относятся к подклассу игр «орел-решка» H1 (hesds or tails), а игры с матрицами A¢=RA и A¢=RA – к подклассу игр в «прятки» H2 (hide and seek): H1: a11>a21, a22>a12, a11>a12, a22>a21, H2: a11 a12 \/ H1 /\ a21< a22 a11 > a12 a11 > a12 a11< a12 a11 > a12 /\ D1 /\ \/ D4 \/ \/ A1 /\ \/ A4 /\ a21< a22 a21 < a22 a21 < a22 a21 > a22 a11< a12 /\ H2 \/ a21 > a22 a11< a12 a11 < a12 a11 > a12 a11< a12 \/ D2 \/ /\ D3 /\ /\ A2 \/ /\ A3 \/ a21 > a22 a21 > a22 a21 > a22 a21< a22
a11< a12 a11 < a12 a11 > a12 a11 > a12 \/ S1 \/ /\ S2 /\ \/ S3 \/ /\ S4 /\ a21< a22 a21 < a22 a21 > a22 a21 > a22 Условия на элементы матриц защиты D1, D2, D3, D4 (defense) и нападения A1, A2, A3, A4 (attacks) можно получить из условий на элементы матриц H1 или H2 заменой одного из строгих неравенств на обратное («<» на «>» или «>» на «<»). Матрицы защиты имеют доминирующие стратегии x2 для D1 и D3, x1 для D2 и D4. Матрицы нападения имеют доминирующие стратегии y1 для A1 и A3, y2 для A2 и A4. Условия на элементы матриц седел S1, S2, S3, S4 (saddle) получаются из условий на элементы матриц H1 или H2 заменой двух строгих неравенств на обратные. Матрицы седел имеют седловые точки a11 для S1, a21 для S2, a12 для S3 и a22 для S4. Рассмотрим числовые характеристики платежных матриц в играх с нулевой суммой для фиксированных значений возможных выигрышей агента A: 0,3; 0,6; 1,2 и 2,4 грн. Антагонистические игры класса H имеют платежные матрицы и .Переход от матрицы H1 игры «орел–решка» к матрице H2 игры в «прятки» и от H2 к H1 дают формулы и . Числовые характеристики этих матриц представлены в таблице 2. Таблица 2. Преобразования матриц H1 и H2. A RA AR RAR A¢ RA¢ A¢R RA¢R a11 1,2 0,6 0,3 2,4 0,6 1,2 2,4 0,3 a12 0,3 2,4 1,2 0,6 2,4 0,3 0,6 1,2 a21 0,6 1,2 2,4 0,3 1,2 0,6 0,3 2,4 a22 2,4 0,3 0,6 1,2 0,3 2,4 1,2 0,6 tr(A) 3,6 0,9 0,9 3,6 0,9 3,6 3,6 0,9 |A| 2,7 -2,7 -2,7 2,7 -2,7 ,7 2,7 -2,7 l1 3 2 2 3 2 3 3 2 l2 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 w 2,7 -2,7 -2,7 2,7 -2,7 2,7 2,7 -2,7 u 1,8 -0,9 -1,8 0,9 -0,9 1,8 0,9 -1,8 v 2,1 -2,1 -0,6 0,6 -2,1 2,1 0,6 -0,6 g 1 1 1 1 1 1 1 1 p* 0,67 0,33 0,67 0,33 0,33 0,67 0,33 0,67 q* 0,78 0,78 0,22 0,22 0,78 0,78 0,22 0,22 1 2 3 4 2 1 4 3 H1 H2 H2 H1 H2 H1 H1 H2 Антагонистические игры D, A и S имеют платежные матрицы , и . Если лементарные исходы были равновероятны, а всем событиям X1,...,Xn соответствует одинаковое число равновероятных элементарных исходов, то все элементарные исходы множества {X1,...,Xn} также равновероятны. При бросании одной кости события «выпало четное число» и «выпало нечетное число» образуют полную систему исходов, причем они равновероятны, поскольку первому из них соответствуют три случая выпадания очков (2, 3 и 6) и второму тоже три (1, 3 и 5). События X и X противоположные, если любой исход благоприятен только одному из событий. Противоположны события «выпало четное число» и «выпало нечетное число». Событие Y X называется следствием события X, если исход, благоприятный X, благоприятен событию Y. Если событие Y является следствием события X, то множество благоприятных событию X исходов – подмножество в множестве исходов, благоприятных Y. Выпадание нечетного числа при бросании трех костей является следствием того, что число простое (простое число, которое не меньше чем 3, является нечетным). С помощью основных операций над событиями можно определять другие операции. Событие X Y называется разностью событий X и Y (оно имеет место, если событие X произошло, а событие Y не произошло). Поскольку операции над множествами сводятся к операциям над множествами благоприятных им исходов, то все утверждения алгебры множеств остаются справедливыми и для операций над событиями. Операции объединения и пересечения событий имеют свойства коммутативности и ассоциативности, каждая из них дистрибутивна относительно второй опеарции. Для любого события X выполняются равенства X =X, X X = , X = , X U=X, X =X, X U=U. Кроме того, если Y X, то X Y=Y и X =X, а поэтому X X=X X=X. Для событий X и Y верны равенства (X Y) =X Y и (X Y) =X Y . имеет неограниченный потенциал убытков, а продажная цена колла ограничивает прибыль. Покупка пут имеет неограниченной потенциал прибыли, а продажа пут – убытков. Стоимость колл плюс цена исполнения равна стоимости пут и цены акции. Стоимость кол авна стоимости пут плюс цена акции минус цена исполнения опциона. Стоимость опциона пут равна сумме стоимости опциона кол и цены исполнения опциона без цены акции. Информационная асимметрия – одна сторона контракта имеет более полную информацию о ценных бумагах, чем другая. Диверсификация – это включение в портфель новых ценных бумаг для снижения его Статистика полезности Полезность товара или услуги uk(q) для k-го потребителя зависит от его количества q. Для покупателей uk(q)>0 и b>0, для продавцов ul(q)<0 и b<0. Вероятность покупки k-ым покупателем зависит от b и количества товара q , а статистическая сумма . Энтропия рынка товара или услуги выражается формулой еннона Подстановка дает где средняя полезность Конъюнктура системы V=1/b, свободная полезность а средняя полезность Потенциалы систем зависят от переменных состояния V и q. Свойства систем заданы полностью, если потенциал – функция естественных переменных и имеет полный дифференциал где X,Y,… – функции переменных ,y, Преобразованием Лежандра вводится новая функция g=f–Xx–Yy с дифференциалом Потенциалы закрытой системы зависят от переменных V, q, S и p: , , и . Частные производные потенциалов определяют уравнения состояния , . Эластичности энтропии S и цены p , , и . Вторые частные производные потенциалов , , , , , , , . Смешанные вторые роизводные выражают соотношения Максвелла , , , . Эти соотношения обеспечивают непрерывность потенциалов. Часто требуется преобразовать производные потенциалов к другим переменным. Если независимыми переменными являются V и q, то результат преобразования необходимо выражать через p и sq (как функции V и q). Если независимыми еременными являются V и p, то результат преобразования необходимо выражать через q и sp (как функции V и p). Преобразование производных к другим переменным осуществляются с помощью якобианов. Якобианом называется определитель из частных производных , и . Зависимость sq от q и sp от p (но не от V) можно найти по уравнению состояния, вязывающего переменные p, q и V: и . Эластичность при постоянном объеме q: и , но . В итоге получаем формулу . Учитывая соотношение Максвелла (¶S/¶p)V=–(¶q/¶V)p, получим . Аналогично, преобразуя sp=V(¶S/¶V)p к переменным V и q, находим . Производная (¶p/¶q)V при равновесии отрицательна, а поэтому sp>sq. При адиабатическом асширении (сжатии) сохраняется энтропия S. Производную V по q найдем, переходя к переменным V и q: . Учитывая соотношение Максвелла (¶S/¶q)V=(¶p/¶V)Y, получим . Аналогично находим . Адиабатическая сжимаемость вычисляется этим же способом .
0 для сторонника к риску С. Величины cmin и cmax определяются предпочтениями агента. Примем cmin=0 и cmax=R, a R=2.5 ден.ед, что при K=1.1, S=1.3, I=0.8 и Q=1.6 ден.ед. дает Y=2, L=0.9 и C=1.2 ден.ед. На рис.2 даны полезности этой игры для агентов A, B и C, а полезности выигрышей даны в таблице 2. Рис.2. Функции полезности 2 2 игры с доходом R=2.5 ден.ед. Таблица 2. Полезности выигрышей для агентов A, B и C. A B C Y 2 u11 0,8 0,87 0,73 –L –0,9 u12 –0,36 –0,58 –0,14 –C –1,2 u21 –0,48 –0,8 –0,16 R 2,5 u22 1 1 1 Агент и рынок по-разному относятся к риску, а сумма полезностей для каждой ситуации игры не будет равна нулю. Игра агента с рынком в таком случае становится биматричной игрой. Рынок нейтрален к риску, а агент может быть несклонным к риску и склонным к риску. Матрицы выигрышей в игре агента, несклонного к риску, имеют вид Агент MP MR Рынок MP MR E 0,87 –0,58 E –0,8 0,36 H –0,8 1 H 0,48 –1 В этой игре нет точек Неша, но есть точка Парето (0.87,–0.8). Матрицы выигрышей в игре агента, несклонного к риску, имеют вид Агент MP MR Рынок MP MR E 0,73 -0,14 E –0,8 0,36 H –0,16 1 H 0,48 –1 В этой игре нет точек Неша, но есть точка Парето (–0.16,0.48). Применяя стратегию производства E, несклонный к риску агент выигрывает на рынке товаров и услуг MP. Применяя стратегию потребления H, склонный к риску агент проигрывает на рынке MP.
Функцией институтов в теории игр является создание предпосылок (структурных, когнитивных, организационных) для достижения равновесия в одном исходе. В отсутствие точек Нэша возникает проблема совместимости агентов: они не смогут согласовать решения, если институциональные рамки не ограничат и не направят выбор их стратегий. Для увеличения числа точек Нэша применяются смешанные и эволюционные стратегии, формируется репутация агента, делается отбор равновесий с помощью соглашений и фокальных точек. Институциональные ограничения можно формализовать с учетом отношения агента к риску. Склонность агентов к риску не влияет на положение точек Нэша в игре, но устраняет множественность точек Парето. Степень неприятия риска в игре является институциональным условием для выбора равновесного состояния. Для расчета реальной процентной ставки RIR используется индекс потребительских цен CPI – текущая цена набора основных товаров и услуг (потребительская корзина): и , где CCL=(C1–C0)/C0 – темп зменения CPI. Инвестору нужен портфель акций c текущей стоимостью PA. Через w=0,5 года стоимость портфеля может быть PB>PA или PC 0 или rC=PC/PA–1<0). Если она будет PB, то через полгода составит PD=PB(1+rB)>PB или PE=PB(1+rC) Необходимо сохранить возможность получить доход в состоянии D. Инвестор не может купить портфель из одних акций, так как в состоянии F он принесет убыток PF–PA. Если купить акции и безрисковые облигации, то через полгода может наступить состояние B или C. Чтобы уверенно получить PA в состоянии C, нужно иметь в портфеле облигации стоимостью PA/(1+rf) при безрисковой ставке процента rf. Рис.1. Дерево состояний портфеля акций. Первоначальные инвестиции в акции и облигации Is и Ib должны обеспечить PA(1+rB) в состоянии B и PA/(1+rf) в состоянии C: Инвестиция равносильна покупке портфеля акций за PA и страхового полиса Инвестиция обеспечит желаемый результат только в том случае, если состав портфеля будет изменяться с его стоимостью. Это цель динамической стратегии: акции и облигации продаются или покупаются в зависимости от их доходности. При росте цены акций следует продать облигации и купить акции. Если наступит состояние B, акции будут стоить Is(1+rB), облигации Ib(1+rf), а стоимость портфеля равна PB: нужно продать облигацию и купить акции. Если наступит состояние C, акции будут стоить Is(1+rC), облигации Ib(1+rf), а стоимость портфеля PC: нужно продать акции и купить облигации. Через полгода стоимость акций будет Is(1+rB)2 (состояние D), стоимость облигаций составит Ib(1+rf)2 (состояние E). Инвестор покупает портфель акций за 100 (состояние A). Через w=0,5 года стоимость портфеля может вырасти до 125 (состояние B, полугодовая ставка rB=0,25) или упасть до 80 (состояние C, полугодовая ставка rC=–0,2). Если она 125, то через полгода составит 156,25 (D) или 100 (состояние E). Если она будет 80, то через полгода составит 100 (E) или 64 (F). w=0 w=0,5 w=1 A: 100 B: 125 D: 156,25 C: 80 E: 100 F: 64 Чтобы не понести убытки, инвестор покупает акции и безрисковые облигации. Для возврата 100 в состоянии C нужны облигации стоимостью 100/1,05=95,238 при ставке процента rf=0,05. Инвестиции Is и Ib обеспечат 125 в состоянии B или 95,238 в состоянии C: В акции и облигации нужно вложить Is=66,138 и Ib=40,312, всего 106,45. Это равносильно покупке портфеля акций за 100 и страхового полиса за 6,45. Если наступит состояние B, акции будут стоить 66,138 1,25=82,672, а облигации 40,312 1,05=42,328, а сумма 125.
Нужно продать облигации, а на вырученные деньги купить акции. Если наступит состояние C, акции стоят 66,138 0,8=52,91, облигации 40,312 1,05=42,328. Нужно продать акции, а на вырученные деньги купить облигации. Через полгода стоимость акций будет 156,25 (состояние D), а стоимость облигаций 100 (состояние E). [1] Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. – М.: Инфра, 1997. 8. Теория налогов Выручка R=pQ зависит от выпуска Q и цены продукта p. Нужно оплатить сырье M и труд L, сделать отчисления K на износ капитала K при норме амортизации : Полные затраты C=M+L+ K можно представить в виде где m=M/R, l=L/R и k=K/R. Добавленная стоимость Y=R–M, а валовой доход CP=Y–L– K=NP+TT состоит из чистой прибыли и налога где – ставка налога на прибыль, – на добавленную стоимость, – на заработную плату. Бизнесмен максимизирует NP, государство TT (конфликт интересов). Стратегии бизнесмена 1 – =0, 2 – =0. Стратегии государства 1 – =0, 2 – =0. Матрица NP
Матрица TT Матрица CF При начислении амортизации k>0 имеются две точки Парето (2;1) и (2;2), а положение точек Неша зависит от налоговых ставок. Динамика капитала описывается уравнением где – норма амортизации, It – инвестиция. При склонности к инвестициям в капитал из чистой прибыли NPt где Iext – внешняя инвестиция. Чистая прибыль в периоде t Подстановка дает Добавленная стоимость простейшего вида (производственная функция) где a и b зависят от доли материалов m, капитала k и труда l Пусть вариации затрат труда не изменяют добавленную стоимость Динамическое уравнение капитала Для удобства введем обозначения Восходящие разности основного капитала а уравнение основного капитала принимает вид .Это уравнение сходно с уравнением электрического напряжения Vt в параллельном контуре с источником тока It где C, G, L и Т – емкость, проводимость, индуктивность и период колебаний. Сравнение показывает, что (1–) – емкость C/T, {1–+(1–)[a(1–)–2]} – проводимость G, а {+(1–)[–a(1–)]} – обратная индуктивность T/L.Разностное уравнение переводится z-преобразованием в алгебраическое уравнение Cистемная функция капитала Отклик в частотной области находим путем подстановки z=exp(pT) с комплексной частотой p=+i. Точки мнимой оси p=i лежат на единичной окружности плоскости z с центром в начале координат. Мнимая ось p преобразуется в единичную окружность плоскости z. Если<0, то exp(T)<1 и точки z лежат вне единичной окружности. Если >0, то exp(T)>1 и точки z лежат внутри окружности. Капитал устойчив при |z| 1 и неустойчив при |z|>1. Применяя теорию вычетов, получаем отсчеты системной функции Чистая прибыль в периоде t где –
отношение запасов к капиталу, – ставка налога на мущество.
При каких условиях чистая прибыль положительна? Yt=kKt. Каков критический темп роста выпуска для получения ненулевой прибыли? Какова величина индекса J=Yt/Yt-1, при которой NPt=0? Если ввести долю затрат труда в добавленной стоимости =Lt/Yt, то критическое значение индекса При J>J* имеем NPt>0, но при J* производство сворачивается, при<* – накопление капитала и расширенное воспроизводство. Если принять m=0,8, то g=-0,4%. Технологические и фискальные параметры экономики способствуют сохранению рецессии. Если налог на имущество снизить до =1,5%, это создаст условия для накопления капитала и перехода к устойчивому росту. Исследуем налога на имущество на точки Лаффера. акопленный капитал связан со ставкой налога Увеличение уменьшает капитал, и автономных точек Лаффера I-рода нет. В точке бифуркации * режим развития меняется на другой (рост переходит в рецессию). Характерных для кривой Лаффера перегибов нет. Текущий налог и получим Рост ставки налога на имущество увеличивает налоговые сборы, автономной точки Лаффера II-рода нет. Уменьшение ставки налога на имущество не компенсируется расширением налоговой базы и, следовательно, урезание массы взимаемых налогов неизбежно. Хотя ослабление налогового пресса в долгосрочном периоде позитивно влияет на экономический рост, оно не может восполнить урон, наносимый государственному бюджету. Уменьшение ставки налога на имущество окупается через какое-то время. Кумулятивная функция налоговых сборов Чтобы выяснить роль ставки налога, нужно найти / . Сравним варианты с =0 и =<0. Чтобы найти период времени * нейтрализации фискального урона экономическим ростом, решим уравнение T(,0)=T(,). Решение где g0 и gK – темпы прироста. Разложением функции в ряд получаем приближенное решение Влияние ставки на сбор налога проявляется в длительной перспективе. Учет времени наполняет новым содержанием теорию предложения Лаффера. Можно сразу получить в явном виде точку При t 1 эффекта Лаффера нет. Точка Лаффера появится во втором периоде Стимулирование роста и накопления капитала снижением ставки налога на имущество имеет цену – сокращение поступлений налогов в бюджет.
С помощью преобразований получаем условие приемлемости ситуаций и . При q=0 (вторая стратегия) имеем wp3u, при q=1 (первая стратегия) wp£u, а при 00, и p£p*, если w<0, (p*,q) при 0£q£1, (p,1) при p£p*, если w>0, и p3p*, если w<0. Ситуация является седловой точкой, если приемлема для каждого агента. Для выявления седловых точек изобразим приемлемые для агентов ситуации на единичном квадрате. Зигзаги пересекаются в седловых точках игры. Трехзвенные зигзаги могут быть левыми или правыми. Зигзаги, на которых лежат приемлемые стратегии антагонистической игры, всегда имеют одинаковую ориентацию и при w10 пересекаются в точке (p*,q*). Если w=0, но u10 или v10, ситуация (p*,q*) не встречается, а две другие ситуации имеют знак строгого неравенства. Ситуации с p=0 или p=1 приемлемы для агента A при всех q в зависимости от того, какое из чисел a22 или a12 больше. Ситуации с q=0 или q=1 приемлемы для агента B при всех p в зависимости от того, какое из чисел a22 или a21 больше. Если w=0 и v=0, то приемлемыми будут все ситуации единичного квадрата. Агент A выкладывает монету на стол («орел» – x1, «решка» – x2), а агент B угадывает, какой стороной монета положена («орел» – y1, «решка» – y2). При угадывании агент B получает от агента A выигрыш в одну гривну, а в противном случае платит ему ее: . Седловой точки нет, |A|=0, w=4, u=2, v=2, p*=1/2, q*=1/2. В смешанных стратегиях имеется седловая точка (1/2,1/2), а цена игры g равна 0, поскольку |A|=0. Матрица A игры «орел-решка» отличается от матрицы A¢ игры в «прятки» перестановкой строк или столбцов A=RA¢ или A=A¢R, Игры с матрицами A и A¢=RAR относятся к подклассу игр «орел-решка» H1 (hesds or tails), а игры с матрицами A¢=RA и A¢=RA – к подклассу игр в «прятки» H2 (hide and seek): H1: a11>a21, a22>a12, a11>a12, a22>a21, H2: a11 a12 \/ H1 /\ a21< a22 a11 > a12 a11 > a12 a11< a12 a11 > a12 /\ D1 /\ \/ D4 \/ \/ A1 /\ \/ A4 /\ a21< a22 a21 < a22 a21 < a22 a21 > a22 a11< a12 /\ H2 \/ a21 > a22 a11< a12 a11 < a12 a11 > a12 a11< a12 \/ D2 \/ /\ D3 /\ /\ A2 \/ /\ A3 \/ a21 > a22 a21 > a22 a21 > a22 a21< a22
a11< a12 a11 < a12 a11 > a12 a11 > a12 \/ S1 \/ /\ S2 /\ \/ S3 \/ /\ S4 /\ a21< a22 a21 < a22 a21 > a22 a21 > a22 Условия на элементы матриц защиты D1, D2, D3, D4 (defense) и нападения A1, A2, A3, A4 (attacks) можно получить из условий на элементы матриц H1 или H2 заменой одного из строгих неравенств на обратное («<» на «>» или «>» на «<»). Матрицы защиты имеют доминирующие стратегии x2 для D1 и D3, x1 для D2 и D4. Матрицы нападения имеют доминирующие стратегии y1 для A1 и A3, y2 для A2 и A4. Условия на элементы матриц седел S1, S2, S3, S4 (saddle) получаются из условий на элементы матриц H1 или H2 заменой двух строгих неравенств на обратные. Матрицы седел имеют седловые точки a11 для S1, a21 для S2, a12 для S3 и a22 для S4. Рассмотрим числовые характеристики платежных матриц в играх с нулевой суммой для фиксированных значений возможных выигрышей агента A: 0,3; 0,6; 1,2 и 2,4 грн. Антагонистические игры класса H имеют платежные матрицы и .Переход от матрицы H1 игры «орел–решка» к матрице H2 игры в «прятки» и от H2 к H1 дают формулы и . Числовые характеристики этих матриц представлены в таблице 2. Таблица 2. Преобразования матриц H1 и H2. A RA AR RAR A¢ RA¢ A¢R RA¢R a11 1,2 0,6 0,3 2,4 0,6 1,2 2,4 0,3 a12 0,3 2,4 1,2 0,6 2,4 0,3 0,6 1,2 a21 0,6 1,2 2,4 0,3 1,2 0,6 0,3 2,4 a22 2,4 0,3 0,6 1,2 0,3 2,4 1,2 0,6 tr(A) 3,6 0,9 0,9 3,6 0,9 3,6 3,6 0,9 |A| 2,7 -2,7 -2,7 2,7 -2,7 ,7 2,7 -2,7 l1 3 2 2 3 2 3 3 2 l2 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 w 2,7 -2,7 -2,7 2,7 -2,7 2,7 2,7 -2,7 u 1,8 -0,9 -1,8 0,9 -0,9 1,8 0,9 -1,8 v 2,1 -2,1 -0,6 0,6 -2,1 2,1 0,6 -0,6 g 1 1 1 1 1 1 1 1 p* 0,67 0,33 0,67 0,33 0,33 0,67 0,33 0,67 q* 0,78 0,78 0,22 0,22 0,78 0,78 0,22 0,22 1 2 3 4 2 1 4 3 H1 H2 H2 H1 H2 H1 H1 H2 Антагонистические игры D, A и S имеют платежные матрицы , и . Если лементарные исходы были равновероятны, а всем событиям X1,...,Xn соответствует одинаковое число равновероятных элементарных исходов, то все элементарные исходы множества {X1,...,Xn} также равновероятны. При бросании одной кости события «выпало четное число» и «выпало нечетное число» образуют полную систему исходов, причем они равновероятны, поскольку первому из них соответствуют три случая выпадания очков (2, 3 и 6) и второму тоже три (1, 3 и 5). События X и X противоположные, если любой исход благоприятен только одному из событий. Противоположны события «выпало четное число» и «выпало нечетное число». Событие Y X называется следствием события X, если исход, благоприятный X, благоприятен событию Y. Если событие Y является следствием события X, то множество благоприятных событию X исходов – подмножество в множестве исходов, благоприятных Y. Выпадание нечетного числа при бросании трех костей является следствием того, что число простое (простое число, которое не меньше чем 3, является нечетным). С помощью основных операций над событиями можно определять другие операции. Событие X Y называется разностью событий X и Y (оно имеет место, если событие X произошло, а событие Y не произошло). Поскольку операции над множествами сводятся к операциям над множествами благоприятных им исходов, то все утверждения алгебры множеств остаются справедливыми и для операций над событиями. Операции объединения и пересечения событий имеют свойства коммутативности и ассоциативности, каждая из них дистрибутивна относительно второй опеарции. Для любого события X выполняются равенства X =X, X X = , X = , X U=X, X =X, X U=U. Кроме того, если Y X, то X Y=Y и X =X, а поэтому X X=X X=X. Для событий X и Y верны равенства (X Y) =X Y и (X Y) =X Y . имеет неограниченный потенциал убытков, а продажная цена колла ограничивает прибыль. Покупка пут имеет неограниченной потенциал прибыли, а продажа пут – убытков. Стоимость колл плюс цена исполнения равна стоимости пут и цены акции. Стоимость кол авна стоимости пут плюс цена акции минус цена исполнения опциона. Стоимость опциона пут равна сумме стоимости опциона кол и цены исполнения опциона без цены акции. Информационная асимметрия – одна сторона контракта имеет более полную информацию о ценных бумагах, чем другая. Диверсификация – это включение в портфель новых ценных бумаг для снижения его Статистика полезности Полезность товара или услуги uk(q) для k-го потребителя зависит от его количества q. Для покупателей uk(q)>0 и b>0, для продавцов ul(q)<0 и b<0. Вероятность покупки k-ым покупателем зависит от b и количества товара q , а статистическая сумма . Энтропия рынка товара или услуги выражается формулой еннона Подстановка дает где средняя полезность Конъюнктура системы V=1/b, свободная полезность а средняя полезность Потенциалы систем зависят от переменных состояния V и q. Свойства систем заданы полностью, если потенциал – функция естественных переменных и имеет полный дифференциал где X,Y,… – функции переменных ,y, Преобразованием Лежандра вводится новая функция g=f–Xx–Yy с дифференциалом Потенциалы закрытой системы зависят от переменных V, q, S и p: , , и . Частные производные потенциалов определяют уравнения состояния , . Эластичности энтропии S и цены p , , и . Вторые частные производные потенциалов , , , , , , , . Смешанные вторые роизводные выражают соотношения Максвелла , , , . Эти соотношения обеспечивают непрерывность потенциалов. Часто требуется преобразовать производные потенциалов к другим переменным. Если независимыми переменными являются V и q, то результат преобразования необходимо выражать через p и sq (как функции V и q). Если независимыми еременными являются V и p, то результат преобразования необходимо выражать через q и sp (как функции V и p). Преобразование производных к другим переменным осуществляются с помощью якобианов. Якобианом называется определитель из частных производных , и . Зависимость sq от q и sp от p (но не от V) можно найти по уравнению состояния, вязывающего переменные p, q и V: и . Эластичность при постоянном объеме q: и , но . В итоге получаем формулу . Учитывая соотношение Максвелла (¶S/¶p)V=–(¶q/¶V)p, получим . Аналогично, преобразуя sp=V(¶S/¶V)p к переменным V и q, находим . Производная (¶p/¶q)V при равновесии отрицательна, а поэтому sp>sq. При адиабатическом асширении (сжатии) сохраняется энтропия S. Производную V по q найдем, переходя к переменным V и q: . Учитывая соотношение Максвелла (¶S/¶q)V=(¶p/¶V)Y, получим . Аналогично находим . Адиабатическая сжимаемость вычисляется этим же способом .