1. 
   Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность. Примеры ????=????????, ????=1????, ????=????2.
   

Опред. Будем говорить, что в комплексной области D определена функция . Если каждой точке поставлено в соответствие одно комплексное значение (однозначная функция) или несколько значений w (многозначная функция)

Опред. Функция называется однолистной функцией в области , если в различных точках этой области она принимает различные значения.

Опред.Функция называется непрерывной в точке , если , что выполняется неравенство

Обознач. .

Замеч. Из непрерывности функции следует непрерывность её действительной и мнимой частей. Верной и обратное, если и непрерывны в точке , то непрерывна в точке

2. Элементарные функции комплексной переменной.

---

3. Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

Опред. Функция называется дифференцируемой в точке , если при стремится к 0 произвольным образом

Условия Коши-Римана

Для того чтобы ф-я была диф-мой в точке , необходимо и достаточно, чтобы ф-ция и имели непрерывные частные производные 1-ого порядка, причём должны выполнятся рав-ва



(Условия К-Р)

Тогда

4. Аналитические функции, их свойства. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Конформное отображение.

5. Гармонические функции. Связь аналитических и гармонических функций.

Опред. Функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

или

Замечание. Действительная и мнимая части аналитической в области функции являются гармоническими функциями.

Опред. Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, называются сопряжённой парой гармонических функций.

Замечание. На практике по заданной действительной части

---

аналитической функции , находят её мнимую часть с точностью до константы по формуле:



Так как

Здесь криволинейный интеграл вычисляется вдоль любого кусочно-гладкого пути, соединяющего точки и .

6. Интеграл по комплексной переменной. Основные свойства интеграла. Пример ????=∫????????????−????0????????.

7. Интегральная теорема Коши, её обобщения.

Опред. Кусочно-гладкая замкнутая кривая, не имеющая точек самопересечения, называется замкнутым контуром.

Положительным направлением обхода контура считается направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остаётся слева от направления движения.

Теорема 1 (Коши)

Пусть в односвязной области задана однозначная аналитическая функция . Тогда интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру , целиком лежащему в области , равен нулю, то есть



Теорема 2 (Коши)

Если функция является аналитической функцией в односвязной области , ограниченной кусочно-гладким контуром , и непрерывна в замкнутой области , то интеграл от по границе области равен нулю, то есть

---

Теорема 3 (обобщение)

Пусть является аналитической функцией в многосвязной области , ограниченной извне контуром , а изнутри контурами и непрерывна в замкнутой области . Тогда , где полная граница области , состоящая из контуров , причём обход границы происходит в положительном направлении



Замечание. Если аналитическая функция в односвязной области , то интеграл не зависит от пути интегрирования (так как по замкнутому контуру интеграл равен нулю)

8. Интегральная формула Коши. Существование производных всех порядков у аналитической функции.

9. Ряды в комплексной области. Ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Ряд в комплексной области

Пусть имеем ряд с комплексными членами

где (1)

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей.

Ряд функций комплексной переменной

Пусть в области определена бесконечная последовательность однозначных функций комплексной переменной

---

.

Выражение вида называется функциональным рядом

Опред. Функциональный ряд называется сходящимся в области , если для любой фиксированной точки соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд называется равномерно сходящимся в области , то в этой области можно определить однозначную функцию которая называется суммой ряда.

Равномерная сходимость

Опред. Ряд называется равномерно сходящимся в области к функции , если для , что при неравенство



Выполняется сразу для всех точек

Теорема (признак Вейерштрасса)

Если всюду в области члены функционального ряда могут быть мажорированы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд сходится равномерно в .

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. 
   Если функция непрерывна в области , а ряд равномерно сходится в к функции , то непрерывна в
   
2. 
   Если ряд непрерывных функций сходится равномерно в области к функции , то интеграл от этой функции по любой кусочно-гладкой кривой , целиком лежащей в области , можно вычислять путём почленного интегрирования ряда, то есть
   
3. 
   Пусть функции являются аналитическими в области , а ряд сходится равномерно в любой замкнутой подобласти области к функции . Тогда:
   

---

Смотрите также файлы

• Характеристика торгового предприятия.doc

• Брак и семья.doc

• Итоговая работа по обж за курс 9 класса. Рекомендованное время выполнения 15 минут.docx

• 3. Experience is the best teacher. Let me share my opinion about the statement Experience is the best teacher.docx

• Вопросник по вт.docx