Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство   .

Точка минимума функции. Точку  х₀называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство   .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂,  из этого промежутка выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

1. 
   Найти область определения функции
   
2. 
   Найти вторую производную функции
   
3. 
   Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
   
4. 
   Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
   
5. 
   Определить знаки второй производной на каждом интервале
   
6. 
   Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;
   

---

если f '‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

1. 
   Точки, в которых вторая производная меняет знак, - точки перегиба.
   

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции  .

Решение:

1. 
   Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
   
2. 
   Найдем вторую производную функции: 
   
3. 
    при х = 1, х = -1
   
4. 
   Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).
   

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

1. 
   Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.
   

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У'=соsх

У"= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0



В промежутках 

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У"= -sinх <0, а в промежутках  , sinх <0, следовательно

У" >0. Значит, в точках   вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

---

Ответ:  точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t⁴ – 8t³ + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение - это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t³ – 24t² + 2

a= S''(t) = 36t² – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t² – 48t=48

36t² – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x³ – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

1. 
   D(f) = (0; +∞)
   
2. 
   f  (x) = (x³ – 6xln x)
   

1. 
   f  (x) = 0 при х = 1, х = -1.
   

f  (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

1. 
   Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.
   

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.


Р ассмотримфункция   определенную, непрерывную и имеющую непрерывные производные первого и второго порядка в окрестности точки 

---

. На графике функции возьмем точку   и проведем касательную к кривой в этой точке .

Определение 1.

Если в дельта окрестности точки   дуга кривой графика функции находится над касательной, то кривая в точке   вогнута.

Если в дельта окрестности точки   дуга кривой графика функции находится под касательной, то кривая в точке   выпукла.

Е сли в дельта окрестности точки   дуга кривой графика функции пересекает касательную, то точка   в точка перегиба.

Кроме этого, введем в рассмотрение понятие о выпуклости и вогнутости функции на интервале  . Пусть функция   определена на интервале 

Возьмём точки   и через графика функции с абсциссами   проведем хорду AB, ординаты которой обозначим через 

---

, очевидно,   .

Определение 2.

Е сли  , то функция   на интервале   выпукла

( выпукла вверх).

Е сли  , то функция   на интервале   вогнута

( выпукла вниз).

Вернемся к рассмотрению функции   определенной, непрерывной и имеющей непрерывные производные первого и второго порядка в окрестности точки  . Геометрически ясно, что вопрос выпуклости, вогнутости или точке перегиба зависит от знака разности между ординатами кривой и касательной к графику функции в точке  , т.е. от 

Если в дельта окрестности точки 



то функция   в точке   вогнута,

если в дельта окрестности точки 

---

Смотрите также файлы

• 1. Теоретические аспекты темы.docx

• Сохранение психологического здоровьявоспитанников.pdf

• Определение величины транспортных запасов материальнотехнических ресурсов.docx

• Рабочая программа Занимательный русский язык.docx

• Понятие дееспособности.docx