ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2021
Просмотров: 1771
Скачиваний: 10
6
Для
реальных
АЧХ
характерно
непостоянство
коэффициента передачи фильтра, как в полосе пропускания, так
и в полосе задерживания. Кроме того, в реальных фильтрах
невозможно получить скачкообразное изменение коэффициента
передачи при переходе от полосы пропускания к полосе
задерживания. В реальных АЧХ всегда существует полоса
перехода, в которой коэффициент передачи фильтра непрерывно
изменяется от значения минимально допустимого в полосе
пропускания, до значения, максимально
допустимого в полосе
заграждения. Как правило, различие между этими значениями
велико (сотни и
тысячи раз). Поэтому для
расчетов удобнее
изображать частотные характеристики фильтра в виде
зависимости от частоты коэффициента ослабления в
логарифмическом масштабе (где К
0
-
коэффициент усиления на
частоте, по отношению к которой производят нормирование
характеристики).
На рисунке 2, (а-г) приведены примеры реальных
частотных характеристик ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ соответственно.
Рисунок 2. Реальные АЧХ различных типов фильтров
7
Реальная характеристика помимо верхней или нижней
граничной частоты полосы пропускания
f
п
характеризуется
граничной частотой полосы задерживания
f
з
,
максимально
допустимым
затуханием в полосе пропускания
а
п
и минимально
допустимым
затуханием в полосе задерживания
а
з
. Чем меньше
отличаются граничные частоты
f
п
и
f
з
, и
чем больше
а
з
, тем
лучше
фильтрующие
свойства
фильтра,
т.е.
его
избирательность. Избирательность ПФ может характеризоваться
также
коэффициентом прямоугольности
АЧХ
п
з
н
F
F
K
/
,
(1)
где
F
п
-
ширина полосы пропускания фильтра на уровне
а
п
,
F
з
- ширина полосы пропускания фильтра на уровне
а
з
(рис. 2, в).
Средняя частота
настройки ПФ и РФ (рис. 2, в-г):
ПВ
ПН
ср
f
f
f
.
(2)
2. Этапы проектирования активных фильтров
2.1. Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик
фильтров.
Первой задачей в процессе синтеза всякого фильтра
является отыскание передаточной функции (в операторной или в
комплексной форме), которая отвечает условиям практической
реализуемости и одновременно обеспечивает получение
необходимой АЧХ или ФЧХ (но не обеих) фильтра. Этот этап
называется аппроксимацией характеристик фильтров. Таким
образом, первой задачей синтеза является нахождение функции,
с помощью которой можно построить фильтр, АЧХ которого
должна удовлетворять условиям физической реализуемости и
техническим требованиям, предъявляемым к устройству, также
должна наилучшим образом приближаться к идеальной АЧХ,
изображенной на рисунке 1. Процесс нахождения такой
8
функции называют аппроксимацией. Характер аппроксимации
зависит от выбора критерия качества аппроксимации.
Исходной функцией для решения задачи аппроксимации
служит идеальная низкочастотная АЧХ (рис. 1а). Функция,
аппроксимирующая эту характеристику, должна иметь квадрат
модуля, близкий к единице в диапазоне частот пропускания
1
0
, где
=
f
f
п
–
нормированная
(относительная)
частота
, и стремиться к нулю вне этого диапазона.
Любая физически реализуемая электрическая цепь имеет
коэффициент передачи в виде аналитической дробно
рациональной функции комплексной переменной
0
1
1
1
0
1
1
1
...
...
)
(
)
(
)
(
a
p
a
p
a
p
b
p
b
p
b
p
b
p
U
p
U
p
K
n
n
n
m
m
m
m
вх
вых
,
(3)
где
U
вых
(
p
),
U
вх
(
p
) –
комплексные напряжения на выходе и входе
электрической цепи;
b
i
(i=0,…,m),
a
j
(j=0,…,n-1) –
вещественные
коэффициенты, зависящие от физических параметров цепи;
m
,
n
- степени полиномов числителя и знаменателя,
m
n
. Поэтому
задача аппроксимации состоит в том, чтобы из всех функций
класса (3) выбрать такие, квадрат модуля которых наилучшим
образом приближается к единице в пределах полосы
пропускания фильтра и к нулю вне ее характера, а точность
аппроксимации зависит от критерия качества аппроксимации.
Если по условиям задачи необходим монотонный характер
аппроксимации, т.е. критерием качества аппроксимации служит
ее монотонность, то наилучшей аппроксимирующей
функцией
будет та, которая
обеспечивает наилучшую точность
аппроксимации, т.е. наименьшее
К
2
и
наибольшую крутизну
АЧХ в переходной области. Из всех монотонных функций
класса (3) одинакового с ней порядка n, наилучшей
аппроксимирующей является та, которая при одинаковой
точности аппроксимации имеет наименьший порядок, т.е. проще
для реализации. Монотонную аппроксимацию осуществляют
методом Тейлора. При этом наилучшими являются функции
9
класса (3), квадрат модуля которых выражается через полиномы
Баттерворта. Так аппроксимацию называют аппроксимацией по
Баттерворту. Частотная характеристика фильтра Баттерворта в
пределах полосы пропускания весьма близка к равномерной, и ее
называют максимально плоской. Наклон переходного участка
характеристики фильтра Баттерворта равен 6 дБ/октава на
полюс. Таким образом, фильтр Баттерворта восьмого порядка
будет иметь наклон переходного участка характеристики, равный
48 дБ/октава. Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-
частотную характеристику; другими словами, время, которое
требуется для прохождения сигнала через фильтр, зависит от
частоты нелинейно. Поэтому ступенчатый сигнал или импульс,
поданный на вход фильтра Баттерворта, вызывает выброс на его
выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда
желательно иметь одинаковый коэффициент усиления
для всех
частот в полосе пропускания. На рис. 3 показана частотная
характеристика фильтра Баттерворта нижних частот.
Иногда
возможен
немонотонный
характер
аппроксимации. Например,
наилучшей из класса функций (3)
одинакового порядка, обеспечивающих такую аппроксимацию,
будет та функция, которая обеспечивает наилучшую точность
(наименьшее
К
2
и наибольшую крутизну АЧХ в переходной
области) или при одинаковой точности имеет наименьший
порядок. Оптимальными в указанном смысле являются функции
класса (3), квадрат модуля которых выражается через
полиномы
Чебышева. Такую аппроксимацию называют аппроксимацией по
Чебышеву. По характеру
аппроксимации она является
разноволновой в
полосе пропускания.
10
Рисунок 3. АЧХ фильтров Баттерворта нижних частот.
1-однополюсного (первого порядка); 2-двухполюсного (второго порядка); 3-
трехполюсного (третьего порядка); 4-четырехполюсного (четвертого порядка);
кГц
ср
f
1
На рисунке 4 представлены АЧХ фильтров нижних
частот, аппроксимированных полиномами Чебышева. Если
возможна немонотонность аппроксимации за пределами полосы
пропускания, то используют дробную аппроксимацию. В этом
случае квадрат модуля передаточной функции выражают через
дробь. При этом коэффициент передачи на некоторых частотах
полосы заграждения обращается в нуль. Эти частоты выбирают
из условия обеспечения изоэкстремальности (равенства
максимумов АЧХ в
полосе задерживания) или равными
частотам спектра сигнала, которые необходимо подавить.