ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2267
Скачиваний: 1
131
Замените
старое
значение
меры
точности
53
наибольшим
значением
R3 x
( )
на
отрезке
[a,b]
53
0
Выводы
Таким
образом
,
при
n
5
получаем
следующие
результаты
использования
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
при
t=T
max
|
U
(
x
,
T
)–
–
u
n
(
x
,
T
)|
max|u
n
(
x
,
T
)–
–
u
n–1
(
x
,
T
)|
max
|
R
1
n
(
x
,
T
)|
max
|
R
2
n
(
x
)|
max|R3
n
(
x
)
|
1.
11
0.019
21
0.057
31
3.382
41
1.864 10
12
51
0
2.
12
0.032
22
0.053
32
1.341
42
7.55 10
15
52
0
3.
13
0.002073
23
0.003183
33
1.776 10
15
43
0.004852
53
0
Сделайте
вывод
о
точности
трех
полученных
решений
и
запишите
лучшее
из
них
.
(
В
примере
третья
система
пробных
и
поверочных
тригонометрических
функций
дает
лучшее
приближение
решения
дифференциального
уравнения
.)
4.6.
Расчетная
часть
лабораторной
работы
для
тестирующего
примера
Выполним
расчетную
часть
лабораторной
работы
.
Найдем
решение
)
1
,
(
x
u
задачи
(4.29) – (4.31).
Ее
можно
интерпретировать
как
задачу
о
поперечных
колебаниях
струны
с
закрепленными
концами
и
с
начальным
профилем
,
определяемым
равенством
(4.31).
Найдем
точное
решение
этой
задачи
методом
разделения
переменных
[4,5].
Известно
,
что
для
волнового
уравнения
с
однородными
граничными
условиями
2
2
1
2
2
x
u
с
t
u
,
0
,
0
:
)
,
(
)
,
(
2
t
l
x
t
x
D
t
x
R
,
,
0
)
,
0
(
t
u
,
0
)
,
(
t
l
u
)
(
)
0
,
(
x
x
u
,
)
(
)
0
,
(
x
t
x
u
решение
имеет
вид
x
l
n
t
l
c
n
B
t
l
c
n
A
t
x
U
n
n
n
sin
sin
cos
)
,
(
1
1
1
, (4.32)
где
n
A
,
n
B
–
коэффициенты
Фурье
l
n
l
n
dx
x
l
n
x
n
B
dx
x
l
n
x
l
A
0
0
,
sin
)
(
2
,
sin
)
(
2
(4.33)
Найдем
решение
волнового
уравнения
с
неоднородными
граничными
условиями
(4.29)–(4.31).
Ищем
)
,
(
t
x
U
в
виде
132
x
t
x
V
t
x
U
1
)
,
(
)
,
(
. (4.34)
Процедура
отыскания
функции
x
x
u
1
)
(
0
описано
в
предыдущей
главе
.
Тогда
из
(4.29)–(4.31)
для
определения
функции
)
,
(
t
x
V
получаем
следующую
задачу
с
однородными
граничными
условиями
2
2
2
2
x
V
t
V
, (4.35)
0
)
,
0
(
t
V
,
0
)
,
(
t
V
, (4.36)
)
(
)
0
,
(
x
x
x
V
,
0
)
0
,
(
t
x
V
. (4.37)
Подставляя
в
(4.32), (4.33)
0
)
(
),
(
)
(
,
,
1
1
x
x
x
x
l
с
,
получим
решение
)
sin(
)
sin(
)
cos(
)
,
(
1
nx
nt
B
nt
A
t
x
V
n
n
n
,
где
dx
nx
x
x
A
n
)
sin(
)
(
2
0
2
,
0
n
B
.
Интегрируя
два
раза
по
частям
,
получаем
.
1
2
,
8
;
2
,
0
1
)
1
(
4
3
3
m
n
n
m
n
n
A
n
n
Таким
образом
,
точное
решение
задачи
(4.29)–(4.31)
аналитически
задается
выражением
x
m
m
t
m
x
t
x
U
m
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
)
1
2
(
cos
8
1
)
,
(
1
3
. (4.38)
Найдем
такое
значение
M
m
,
при
котором
функция
M
m
x
m
m
m
x
x
U
1
3
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
)
1
2
cos(
8
1
)
1
,
(
ˆ
(4.39)
приближенно
с
абсолютной
точностью
001
,
0
определяет
функцию
(4.38)
на
множестве
1
,
0
:
)
,
(
T
t
x
D
t
x
G
,
т
.
е
.
001
,
0
|
)
1
,
(
ˆ
)
1
,
(
:|
]
,
0
[
x
U
x
U
x
. (4.40)
Оценим
сверху
величину
.
133
.
)
1
2
(
2
)
1
2
(
1
4
1
8
)
1
2
(
8
)
1
2
(
1
8
|
)
1
2
(
sin
|
)
1
2
(
1
8
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
)
1
2
cos(
8
2
2
3
1
3
1
3
3
1
M
x
x
dx
m
x
m
m
x
m
m
m
M
M
M
m
M
m
M
m
Значит
,
условие
(4.40)
будет
заведомо
выполнено
,
если
001
,
0
1
2
2
2
M
M
. (4.41)
Подбором
устанавливаем
,
что
наименьшее
значение
M
при
котором
выполняется
условие
(4.41),
равно
14.
Итак
,
функция
14
1
3
)
)
1
2
sin((
)
1
2
(
1
2
cos
8
1
1
,
ˆ
m
x
m
m
m
x
x
U
гарантированно
с
точностью
001
,
0
определяет
значения
функции
)
1
,
(
x
U
на
отрезке
]
,
0
[
.
Замечание
.
Процедуры
получения
функции
u
0
(
x
,
t
)
и
решения
методом
Фурье
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
Копируем
график
полученного
решения
при
1
T
(
рис
. 4.1)
из
файла
Giperb.mcd
в
файл
отчета
.
Рис
.4.1.
График
точного
решения
Построим
теперь
приближенное
решение
методом
Галеркина
,
выбрав
x
x
u
1
)
(
0
,
тогда
)
1416
,
3
(
)
(
)
(
0
x
x
x
u
x
f
,
и
используя
разные
варианты
пробных
и
поверочных
функций
.
Вводим
порядок
пробных
решений
5
n
.
1
вариант
.
Построим
систему
пробных
функций
вида
(2.28)
для
задачи
с
однородными
краевыми
условиями
:
.
0
)
(
,
0
)
0
(
u
u
Так
как
2
2
1
n
n
,
то
отыскиваем
все
многочлены
порядка
меньше
2,
удовлетворяющие
краевым
условиям
.
Если
A
u
1
или
Bx
A
u
1
,
то
однородные
условия
выполняются
,
если
0
1
u
,
что
невозможно
из
-
за
134
требования
линейной
независимости
пробных
функций
.
Поэтому
в
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
нормированные
функции
;
5
,
1
),
(
1
)
(
k
x
u
u
x
u
k
k
k
(4.42)
где
)
(
)
(
x
x
x
u
k
k
,
)
3
2
)(
1
2
)(
1
(
)
(
5
,
1
0
2
k
k
k
dx
x
u
u
k
k
k
.
Замечание
.
Процедуру
получения
всех
пробных
и
поверочных
функций
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
1935
,
4
0421
,
11
0874
,
9
0906
,
2
4891
,
1
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
1935
,
4
)
(
0421
,
11
)
(
0874
,
9
)
(
0906
,
2
)
(
4891
,
1
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Анализируя
график
функции
)
1
,
(
)
1
,
(
5
x
U
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
0,019
)
1
,
(
)
1
,
(
max
5
,
0
11
x
U
x
u
Анализируя
график
функции
)
1
,
(
)
1
,
(
4
5
x
u
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
0,057
)
1
,
(
)
1
,
(
max
4
5
,
0
21
x
u
x
u
Анализируя
график
невязки
)
1
,
(
1
x
R
решения
)
1
,
(
5
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
3,382.
)
1
,
(
max
1
,
0
31
x
R
Анализируя
график
невязки
|
)
(
|
2
x
R
решения
)
1
,
(
5
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
10
1,864
max
-12
2
,
0
41
x
R
Анализируя
график
невязки
|
)
(
|
3
x
R
решения
)
1
,
(
5
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
0
max
3
,
0
51
x
R
2
вариант
.
В
качестве
пробных
возьмем
функции
(4.42),
а
в
качестве
поверочных
–
нормированные
многочлены
Лежандра
(2.31),
которые
ортогональны
на
отрезке
,
0
,
т
.
е
.
функции
;
5
,
1
),
(
1
)
(
1
1
k
x
P
x
P
x
w
k
k
k
135
где
,
3
2
2
30
2
2
35
8
1
)
(
,
2
2
3
2
2
5
2
1
)
(
,
1
2
2
3
2
1
)
(
,
2
2
)
(
,
1
)
(
2
4
4
3
3
2
2
1
0
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
P
2
1
0
2
1
2
)
(
||
||
k
dx
x
P
P
k
k
.
Таким
образом
,
5642
.
0
)
(
1
x
w
,
)
1
6366
.
0
(
9772
.
0
)
(
2
x
x
w
,
)
1
)
1
6366
.
0
(
3
(
6308
.
0
)
(
2
3
x
x
w
,
)
3
)
1
6366
.
0
(
5
(
)
1
6366
.
0
(
7464
.
0
)
(
2
4
x
x
x
w
,
)
3
)
1
6366
.
0
(
30
)
1
6366
.
0
(
35
(
2116
.
0
)
(
3
4
5
x
x
x
w
.
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
762946
,
0
008929
,
2
366255
,
0
61338
,
1
877496
,
0
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
762946
,
0
)
(
008929
,
2
)
(
366255
,
0
)
(
61338
,
1
)
(
877496
,
0
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Определяем
значения
мер
точности
:
0,032,
)
1
,
(
)
1
,
(
max
5
,
0
12
x
U
x
u
,
0,053
)
1
,
(
)
1
,
(
max
4
5
,
0
22
x
u
x
u
1,341,
)
1
,
(
max
1
,
0
32
x
R
,
10
.55
7
max
-15
2
,
0
42
x
R
.
0
max
3
,
0
52
x
R