ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2263
Скачиваний: 1
141
Таблица
5.1
Варианты
заданий
к
лабораторной
работе
№
a b c d
№
a b c d
1 3
2 5 11
3 –2 –6
2
3 1 6 12 2 2 1 –5
3 1 1 –2 10 13 1 1 2 9
4
1 6 14 4 4 –1 1
5 4 4 –1 9 15 2 2 –1 9
6 3 3
4 16 3 3 –2 3
7 2 2 3 8 17 2 2 8 3
8
–3 3 18 4 4 –2 1
9 1 1 2 3 19
2 8
10
–2 2 20 1 1 2 –4
Лабораторная
работа
выполняется
на
ЭВМ
с
использованием
математически
ориентированной
среды
MathCAD
для
реализации
алгоритма
построения
пробных
решений
)
,
(
y
x
u
m
для
задачи
(5.10)–(5.11).
Перед
обращением
к
программе
необходимо
подготовить
числовые
и
строчные
данные
.
Числовые
данные
:
a
–
правый
конец
отрезка
изменения
переменной
x
;
b
–
правый
конец
отрезка
изменения
переменной
y
;
c
и
d
–
численные
значения
параметров
из
уравнения
(5.10)
и
условия
(5.11).
n
–
число
параметров
n
C
C
,...,
1
в
пробном
решении
(
значение
параметра
n
задает
преподаватель
);
Строчные
данные
:
–
аналитические
выражения
для
пробных
и
поверочных
функций
,
которые
программа
нормирует
автоматически
.
В
лабораторной
работе
требуется
:
1.
Используя
двойные
ряды
Фурье
,
найти
точное
аналитически
заданное
решение
)
,
(
y
x
U
задачи
(5.10)–(5.11).
Определить
длину
отрезка
этого
ряда
,
обеспечивающую
точность
решения
0.001.
С
помощью
ЭВМ
построить
с
шагами
a
h
x
1
.
0
,
b
h
y
1
.
0
трехзначную
таблицу
и
график
этого
решения
.
2.
Методом
Галеркина
найти
три
пробных
решения
)
,
(
T
x
u
n
,
используя
нормированные
системы
пробных
и
поверочных
функций
,
тип
которых
задает
преподаватель
.
3.
С
помощью
полученных
мер
точности
полученных
решений
сделать
вывод
об
их
точности
и
выписать
лучшее
из
них
.
4.
Оформить
и
защитить
отчет
.
142
5.3.
Выполнение
работы
в
компьютерном
классе
1.
Прежде
чем
начать
выполнение
лабораторной
работы
на
ЭВМ
,
внимательно
ознакомьтесь
с
данной
инструкцией
.
2.
При
необходимости
включите
сами
(
или
попросите
лаборанта
)
питание
компьютера
.
После
того
,
как
система
загрузится
,
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Mathcad,
если
же
ярлык
отсутствует
,
тогда
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
» (
Программы
Mathsoft
Mathcad).
3.
Узнайте
у
лаборанта
расположение
файла
Ellipt.mcd
и
откройте
его
(File
Open
или
,
если
программа
русифицирована
,
Файл
Открыть
).
При
любой
ошибке
ввода
программы
нужно
обратиться
к
лаборанту
.
4.
Прочитайте
в
начале
файла
задание
на
лабораторную
работу
и
просмотрите
пример
выполнения
работы
,
для
которого
исследование
уже
проведено
.
Программа
файла
Ellipt.mcd (
см
.
раздел
5.5)
состоит
из
четырех
пунктов
«
Постановка
задачи
», «
Получение
точного
решения
», «
Получение
приближенного
решения
», «
Выводы
».
Цели
и
задачи
каждого
из
пунктов
описаны
ниже
.
5.
Для
набора
функций
нужно
либо
воспользоваться
всплывающим
меню
инструментов
«Calculator»,
либо
ввести
ее
с
клавиатуры
,
используя
следующие
символы
арифметических
действий
и
стандартных
функций
:
сложение
– ‘+’;
вычитание
– ‘–‘;
умножение
– ‘*’;
деление
– ‘/’;
возведение
в
степень
– ‘^’;
квадратный
корень
– ‘\’;
синус
– sin(
x
);
косинус
– cos(
x
);
экспонента
– exp(
x
);
натуральный
логарифм
– ln(
x
).
При
вводе
числовых
данных
,
являющихся
десятичными
дробями
,
целую
и
дробную
части
нужно
разделять
точкой
(
например
, 0.5, 1.5
и
т
.
д
.).
6.
Порядок
выполнения
работы
Вам
укажет
программа
подсказками
и
заданиями
,
выделенными
красным
цветом
.
7.
Для
формирования
файла
отчета
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Microsoft Word,
если
же
ярлык
отсутствует
,
то
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
».
Открываем
новый
документ
.
В
начале
документа
необходимо
оформить
титульный
лист
,
описать
математическую
постановку
задачи
и
результаты
выполнения
подготовительных
расчетов
.
Затем
скопировать
основные
результаты
расчетов
из
программы
Ellipt.mcd
в
документ
и
оформить
итоговый
отчет
.
Копирование
– ‘Ctrl’+’Insert’,
вставка
– ‘Shift’+’Insert’.
Сохранить
документ
как
«
ФамилияСтудента
_
группа
_Ellipt.doc»
и
распечатать
.
Файл
отчета
оформить
аналогично
приложению
А
,
описывающему
выполнение
лабораторной
работы
№
1
.
5.4.
Порядок
выполнения
лабораторной
работы
.
1.
Повторить
главу
1.
Изучить
разделы
5.1–5.3
данной
главы
и
подготовить
ответы
на
контрольные
вопросы
из
раздела
5.7
данной
работы
.
143
2.
Пройти
собеседование
с
преподавателем
;
получить
номер
варианта
работы
,
значение
параметра
n
и
указания
по
выбору
пробных
и
поверочных
функций
.
3.
Выполнить
первый
пункт
задания
,
связанный
с
построением
двойного
ряда
Фурье
для
точного
решения
задачи
)
,
(
y
x
U
и
нахождением
длины
отрезка
этого
ряда
,
обеспечивающую
точность
решения
0,001.
4.
Выполнить
подготовительный
шаг
алгоритма
метода
Галеркина
,
подготовить
все
числовые
и
строчные
данные
для
расчетов
и
в
пункте
«
Постановка
задачи
»
программы
Ellipt.mcd
ввести
их
вместо
данных
примера
,
введенных
изначально
.
5.
В
пункте
«
Получение
точного
решения
»
программы
ввести
число
,
намного
превышающее
найденное
в
3-
м
пункте
число
слагаемых
в
разложении
точного
решения
в
двойной
тригонометрический
ряд
Фурье
(
чтобы
гарантировать
достаточную
точность
решения
и
в
дальнейшем
считать
его
точным
).
Скопировать
график
и
трехзначную
таблицу
получившегося
точного
решения
)
,
(
y
x
U
в
файл
отчета
.
6.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
»
рассмотрено
применение
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
.
По
заданию
преподавателя
ввести
(
вместо
уже
введенных
для
примера
)
системы
пробных
)
,
1(
x
k
V
и
поверочных
)
,
(
x
k
W
функций
,
указанных
во
2-
м
пункте
(
см
.
раздел
5.5).
Выполнить
построение
n-
го
пробного
решения
задачи
.
Следует
скопировать
в
файл
отчета
вектор
коэффициентов
k
C
пробных
решений
и
набрать
в
отчете
решение
с
этими
коэффициентами
.
Так
же
необходимо
скопировать
в
этот
файл
пункт
«
Выводы
».
7.
Оформить
и
распечатать
файл
отчета
по
лабораторной
работе
,
который
должен
содержать
титульный
лист
,
математическую
постановку
задачи
и
ее
физическую
интерпретацию
,
результаты
выполнения
подготовительных
расчетов
,
основные
результаты
расчетов
на
ЭВМ
,
выводы
о
возможностях
использованных
систем
пробных
и
поверочных
функций
и
наиболее
приближенное
к
точному
аналитическое
решение
.
8.
Защитить
отчет
.
5.5.
Программа
в
системе
MathCAD
и
тестирующий
пример
В
данном
разделе
приведен
текст
программы
Ellipt.mcd,
разработанной
для
решения
первой
краевой
задачи
для
двухмерного
эллиптического
уравнения
методом
Галеркина
.
В
тексте
разбирается
получение
пробного
решения
)
,
(
9
y
x
u
задачи
:
найти
функцию
)
,
(
y
x
u
,
удовлетворяющую
в
области
y
x
R
y
x
D
0
,
0
:
)
,
(
2
уравнению
xy
x
y
u
x
u
)
(
2
2
2
2
, (5.12)
144
а
на
границе
области
–
условиям
10
)
,
(
)
0
,
(
)
,
(
)
,
0
(
x
u
x
u
y
u
y
u
. (5.13)
Задача
(5.12)–(5.13)
является
частным
случаем
задачи
(5.10)–(5.11)
при
b
a
, 1
c
, 10
d
и
9
n
.
Использовать
три
системы
пробных
и
поверочных
функций
:
1.
Пробные
и
поверочные
функции
–
произведения
многочленов
(2.28);
2.
Пробные
функции
–
произведения
многочленов
(2.28),
поверочные
функции
–
произведения
многочленов
Лежандра
(2.31);
3.
Пробные
и
поверочные
функции
–
произведения
тригонометрических
функций
my
kx
sin
sin
.
Лабораторная
работа
«
Решение
первой
краевой
задачи
для
двухмерного
эллиптического
уравнения
методом
Галеркина
»
Задание
на
лабораторную
работу
1.
В
пункте
«
Постановка
задачи
»
ввести
вместо
данных
примера
непрерывные
функции
уравнения
K1(x, y) (K1> 0), K2(x, y) (K2> 0), K3(x, y), K4(x,
y), K5(x, y), f(x, y)
и
числовые
параметры
задачи
a, b, c, d
своего
варианта
.
2.
В
пункте
«
Получение
точного
решения
»
программы
ввести
число
слагаемых
в
разложении
в
двойной
тригонометрический
ряд
Фурье
,
намного
превышающее
найденное
аналитически
число
,
обеспечивающее
точность
решения
0.001.
Скопировать
таблицу
и
график
решения
в
файл
отчета
.
3.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
»
выполнить
построение
n-
го
пробного
решения
задачи
тремя
системами
пробных
и
поверочных
функций
.
Скопировать
в
файл
отчета
вектор
коэффициентов
C
k
пробного
решения
и
набрать
в
отчете
решение
с
этими
коэффициентами
.
4.
Скопировать
результаты
пункта
«
Выводы
»
в
файл
отчета
,
и
,
анализируя
их
,
сделать
в
файле
отчета
выводы
о
точности
построенных
решений
.
Постановка
задачи
Требуется
в
плоской
замкнутой
области
D={(x,y) |
0
x
a
0
y
b
}
найти
функцию
U(x,y),
удовлетворяющую
внутри
D
уравнению
K1 x y
(
)
2
x
U
d
d
2
K2 x y
(
)
2
y
U
d
d
2
K3 x y
(
)
x
U
d
d
K4 x y
(
)
y
U
d
d
K5 x y
(
)
U
f x y
(
)
а
на
границе
D
области
D
краевому
условию
d
b
x
U
x
U
y
a
U
y
U
)
,
(
)
0
,
(
)
,
(
)
,
0
(
.
Введите
непрерывные
функции
уравнения
K1(x,y) (K1>0), K2(x,y) (K2>0),
K3(x,y), K4(x,y), K5(x,y)
и
числовые
параметры
задачи
a, b, c, d
K1 x y
(
)
1
K2 x y
(
)
1
K3 x y
(
)
0
K4 x y
(
)
0
K5 x y
(
)
0
145
a
b
c
1
d
10
f x y
(
)
c
a
x
(
)
x
y
Получение
точного
решения
Найдем
точное
решение
U(x,y),
используя
разложение
функции
в
двойной
тригонометрический
ряд
Фурье
U(x,y)=d+
1
M
k
1
M
m
H
km
sin(k
x/a)sin(m
y/b).
Введите
число
слагаемых
,
обеспечивающих
достаточно
большую
точность
решения
(
для
примера
M=6
обеспечивает
точность
0,001,
поэтому
возьмем
число
,
превышающее
данное
,
например
, M=27)
M
27
Вычислим
коэффициенты
H
km
(
Коэффициенты
вычислены
при
условии
K
1(
x
,
y
)
=1, K
2(
x
,
y
)
=1, K
3(
x
,
y
)
=0, K
4(
x
,
y
)
=0, K
5(
x
,
y
)
=0.
В
противном
случае
необходимо
получить
формулу
для
вычисления
коэффициентов
и
запрограммировать
ее
)
i
1
M
j
1
M
H
i
1
j
1
4
2
i
2
j
2
0
a
x
0
b
y
f x y
(
)
sin
i
x
a
sin
j
y
b
d
d
Следовательно
,
точное
решение
U(x,y)
имеет
вид
U x y
(
)
d
1
M
k
1
M
m
H
k
1
m
1
sin
k
x
a
sin
m
y
b
Получим
таблицу
U1
получившегося
точного
решения
,
разбив
область
D
на
100
частей
i
0 10
j
0 10
U1
i j
U a
i
10
b
j
10