ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2264
Скачиваний: 1
136
3
вариант
.
В
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
нормированные
функции
;
5
,
1
),
(
1
)
(
k
x
u
u
x
u
k
k
k
где
,
)
1
2
(
sin
)
(
x
k
x
u
k
2
)
(
0
2
dx
x
u
u
k
k
.
Т
.
е
.
);
sin(
7979
,
0
)
(
1
x
x
u
);
3
sin(
7979
,
0
)
(
2
x
x
u
).
9
sin(
7979
,
0
)
(
);
7
sin(
7979
,
0
)
(
);
5
sin(
7979
,
0
)
(
5
4
3
x
x
u
x
x
u
x
x
u
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
003989
,
0
007015
,
0
007243
,
0
117022
,
0
724395
,
1
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
003989
,
0
)
(
007015
,
0
)
(
007243
,
0
)
(
117022
,
0
)
(
724395
,
1
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Определяем
значения
мер
точности
:
,
10
2,073
)
1
,
(
)
1
,
(
max
-3
5
,
0
13
x
U
x
u
,
10
3,183
)
1
,
(
)
1
,
(
max
-3
4
5
,
0
23
x
u
x
u
,
10
1,776
)
1
,
(
max
-15
1
,
0
33
x
R
,
10
4,852
max
-3
2
,
0
43
x
R
.
0
max
3
,
0
53
x
R
4.6.
Основные
термины
Уравнение
гиперболического
типа
,
начально
-
краевая
задача
.
Точное
,
приближенное
,
пробное
решения
уравнения
.
Невязки
пробного
решения
уравнения
.
Метод
Галеркина
.
Пробные
и
поверочные
функции
.
4.7.
Вопросы
для
самоконтроля
1.
Приведите
физические
интерпретации
задачи
(4.1)–(4.4).
2.
Каким
условиям
должны
удовлетворять
пробные
функции
?
3.
Какими
свойствами
должны
обладать
поверочные
функции
?
4.
Как
находятся
,
согласно
алгоритму
метода
Галеркина
для
решения
задачи
(4.1)–(4.4),
функции
1
R
,
2
R
и
3
R
,
названные
невязками
?
137
5.
Как
строится
система
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
для
определения
коэффициентов
)
(
t
v
k
пробного
решения
?
Постройте
эту
систему
для
задачи
(4.1)–(4.4).
6.
Как
определяются
начальные
условия
в
задаче
Коши
относительно
функций
)
(
t
v
k
?
Найти
уравнения
,
определяющие
эти
условия
для
задачи
(4.1)–
(4.4).
7.
Приведите
конкретный
пример
пробных
функций
для
задачи
(4.1)–(4.4).
8.
Как
нормировать
пробную
или
поверочную
функцию
на
отрезке
]
,
[
b
a
?
9.
Как
проверить
ортогональность
функций
на
]
,
[
b
a
?
10.
Как
проверить
ортонормированность
функций
на
]
,
[
b
a
?
11.
Опишите
алгоритм
аналитического
метода
решения
задач
Коши
для
нормальной
системы
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
.
12.
Опишите
алгоритм
сведения
канонической
системы
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
к
равносильной
нормальной
системе
.
138
5.
Решение
первой
краевой
задачи
для
двухмерного
эллиптического
уравнения
методом
Галеркина
5.1.
Постановка
задачи
и
алгоритм
метода
Рассмотрим
следующую
задачу
.
Требуется
в
плоской
замкнутой
области
D
найти
функцию
)
,
(
y
x
u
,
удовлетворяющую
внутри
D
уравнению
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
5
4
3
2
2
2
2
2
1
y
x
f
u
y
x
K
y
u
y
x
K
x
u
y
x
K
y
u
y
x
K
x
u
y
x
K
(5.1)
а
на
границе
D
Г
области
D
–
краевому
условию
)
(
)
(
M
g
M
u
D
Г
M
, (5.2)
где
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
0
(
)
,
(
),
0
(
)
,
(
5
4
3
2
2
1
1
y
x
K
y
x
K
y
x
K
K
y
x
K
K
y
x
K
),
,
(
y
x
f
)
(
M
g
–
заданные
непрерывные
функции
.
Напомним
,
что
в
такой
форме
может
быть
поставлена
первая
краевая
задача
двухмерной
стационарной
теплопроводности
,
рассмотренная
в
главе
1.
Заметим
,
что
частным
случаем
задачи
(5.1)–(5.2)
является
задача
Дирихле
на
плоскости
[1].
В
методе
Галеркина
для
нахождения
приближенного
решения
задачи
(5.1)–
(5.2)
строится
функциональная
последовательность
0
)
,
(
y
x
u
n
из
пробных
решений
)
,
(
y
x
u
n
следующим
образом
.
Зададим
в
области
D
некоторую
систему
дважды
дифференцируемых
функций
)
,
(
0
y
x
v
, )
,
(
1
y
x
v
, ...,
)
,
(
y
x
v
n
таких
,
что
)
,
(
0
y
x
v
удовлетворяет
краевому
условию
(5.2),
а
пробные
функции
)
,
(
y
x
v
i
(
1
i
)
являются
линейно
независимыми
на
D
и
удовлетворяют
однородному
граничному
условию
0
)
(
D
Г
M
i
M
v
. (5.3)
Составляем
функцию
n
k
k
k
n
y
x
v
C
y
x
v
y
x
u
1
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
(5.4)
с
неизвестными
пока
постоянными
коэффициентами
k
C
.
Заметим
,
что
,
в
силу
линейности
относительно
)
,
(
y
x
u
граничного
условия
(5.2),
функция
(5.4)
при
любых
значениях
n
C
C
,...,
1
удовлетворяет
ему
.
Подставляя
)
,
(
y
x
u
n
из
(5.4)
вместо
)
,
(
y
x
u
в
уравнение
(5.1),
получаем
функцию
n
k
k
k
n
n
y
x
f
v
L
C
v
L
C
C
y
x
R
1
0
1
)
,
(
]
[
]
[
)
,...,
,
,
(
, (5.5)
где
введено
обозначение
v
K
y
v
K
x
v
K
y
v
K
x
v
K
v
L
5
4
3
2
2
2
2
2
1
)
(
.
139
Функцию
(5.5)
называют
невязкой
.
Она
линейно
зависит
от
параметров
n
C
C
,...,
1
и
является
характеристикой
уклонения
)
,
(
y
x
u
n
от
точного
решения
)
,
(
y
x
U
задачи
.
Если
невязка
(5.5)
тождественно
равна
нулю
внутри
области
D
,
то
)
,
(
)
,
(
y
x
u
y
x
U
n
.
В
общем
случае
невязка
оказывается
отличной
от
нуля
и
,
следуя
Галеркину
,
значения
параметров
n
C
C
,...,
1
определяем
из
системы
уравнений
0
)
,
(
),
,...,
,
,
(
1
y
x
W
C
C
y
x
R
k
n
n
,
n
k
,
1
, (5.6)
где
D
dxdy
y
x
g
y
x
v
y
x
g
y
x
v
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
(5.7)
является
скалярным
произведением
двух
функций
,
а
)
,
(
y
x
W
k
–
заданные
непрерывные
и
линейно
независимые
на
D
функции
,
называемые
поверочными
.
Заметим
,
что
в
качестве
поверочных
функций
можно
взять
пробные
.
Если
)
,
(
y
x
W
k
входят
в
полную
систему
функций
,
то
при
n
из
равенств
(5.6)
следует
сходимость
невязки
к
нулю
в
среднем
.
Запишем
условие
(5.6)
в
развернутом
виде
,
для
определения
значений
параметров
k
C
получаем
неоднородную
систему
линейных
алгебраических
уравнений
n
-
го
порядка
k
n
j
j
kj
b
C
a
1
,
n
k
,
1
, (5.8)
где
.
])
[
(
],
[
,
]
[
],
[
0
dxdy
W
v
L
f
W
v
L
f
b
dxdy
W
v
L
W
v
L
a
D
k
k
o
k
D
k
j
k
j
kj
(5.9)
Решив
систему
(5.8)
и
подставив
определяемые
этим
решением
значения
k
C
в
(5.4),
заканчиваем
построение
пробного
решения
)
,
(
y
x
u
n
.
Опишем
возможный
алгоритм
приближенного
решения
задачи
(5.1), (5.2)
методом
Галеркина
,
предполагая
,
что
последовательность
)
,
(
y
x
u
n
сходится
поточечно
к
)
,
(
y
x
U
.
1.
Подготовительный
шаг
алгоритма
.
На
этом
шаге
выбираем
функцию
)
,
(
0
y
x
v
,
пробные
функции
)
,
(
1
y
x
v
, ...,
)
,
(
y
x
v
n
и
поверочные
функции
)
,
(
1
y
x
W
, ...,
)
,
(
y
x
W
n
.
Заметим
,
что
пробные
и
поверочные
функции
можно
строить
или
выбирать
,
руководствуясь
соображениями
,
изложенными
в
разделе
2.5,
и
подробно
описаны
в
работах
[1], [2].
Затем
находим
функцию
)
,
(
]
[
)
,
(
0
0
y
x
f
v
L
y
x
R
,
т
.
е
.
невязку
от
подстановки
)
,
(
0
y
x
u
в
уравнение
(5.1).
Если
0
)
,
(
:
)
,
(
0
y
x
R
D
y
x
,
то
)
,
(
)
,
(
0
y
x
U
y
x
v
и
вычисление
заканчиваем
.
Если
же
0
)
,
(
0
y
x
R
,
то
переходим
к
следующему
шагу
алгоритма
.
140
2.
Первый
шаг
алгоритма
.
Строим
функцию
)
,
(
)
,
(
1
1
0
1
y
x
v
C
y
x
v
u
,
определив
значение
1
C
из
решения
системы
(5.8)
при
1
n
.
Находим
невязку
)
,
,
(
1
1
C
y
x
R
)
,
(
]
[
0
y
x
f
v
L
]
[
)
,
(
]
[
1
1
0
1
1
v
L
C
y
x
R
v
L
C
.
Если
0
)
,
,
(
1
1
C
y
x
R
,
то
)
,
(
1
y
x
u
U
и
задача
решена
,
если
же
0
)
,
,
(
1
1
C
y
x
R
,
то
находим
1
0
1
)
,
(
)
,
(
max
y
x
v
y
x
u
D
.
Если
1
,
где
–
заданная
мера
точности
приближенного
решения
,
то
полагаем
)
,
(
)
,
(
1
y
x
u
y
x
U
и
вычисления
заканчи
-
ваем
.
Если
же
1
,
то
переходим
к
вычислениям
на
следующем
шаге
и
т
.
д
.
Таким
образом
,
на
m
-
м
шаге
(
1
m
)
строим
функцию
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
0
y
x
v
C
y
x
v
y
x
u
i
m
i
i
m
,
определив
значения
m
C
C
,...,
1
из
решения
системы
(5.8)
при
m
n
,
и
определяем
невязку
)
(
)
,
(
,...,
,
,
1
0
1
i
m
i
i
m
m
v
L
C
y
x
R
C
C
y
x
R
.
Если
0
,...,
,
,
1
m
m
C
C
y
x
R
,
то
)
,
(
)
,
(
y
x
u
y
x
U
m
и
вычисления
заканчиваем
.
Если
0
,...,
,
,
1
m
m
C
C
y
x
R
,
то
находим
1
max
m
m
D
m
u
u
.
Если
m
,
то
)
,
(
)
,
(
y
x
u
y
x
U
m
,
если
же
m
,
то
переходим
к
)
1
(
m
-
му
шагу
.
5.2.
Задание
к
лабораторной
работе
Требуется
в
плоской
области
(
в
прямоугольнике
)
b
y
a
x
y
x
D
0
,
0
:
)
,
(
2
R
найти
функцию
)
,
(
y
x
u
,
удовлетворяющую
внутри
области
D
дифференциальному
уравнению
xy
x
a
c
y
u
x
u
)
(
2
2
2
2
, (5.10)
а
на
границе
области
D
краевым
условиям
d
b
x
u
x
u
y
a
u
y
u
)
,
(
)
0
,
(
)
,
(
)
,
0
(
, (5.11)
где
d
c
b
a
,
,
,
–
некоторые
заданные
числовые
параметры
задачи
.
Заметим
,
что
эта
задача
является
частным
случаем
задачи
(5.1)–(5.2),
при
1
1
K
, 1
2
K
, 0
5
4
3
K
K
K
,
xy
x
a
c
y
x
f
)
(
)
,
(
.
Ее
можно
интерпретировать
как
задачу
двумерной
стационарной
теплопроводности
,
когда
на
границе
плоской
замкнутой
области
поддерживается
постоянная
температура
и
задана
плотность
тепловых
источников
внутри
области
.
Варианты
заданий
,
определяемые
различными
наборами
значений
параметров
задачи
,
приведены
в
таблице
5.1.