ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2260
Скачиваний: 1
26
В
методе
Ритца
для
нахождения
приближенного
решения
краевой
задачи
(2.2), (2.3)
строится
функциональная
последовательность
0
)}
(
{
x
y
n
из
пробных
решений
)
(
x
y
n
следующим
образом
.
Как
и
в
методе
Галеркина
,
задаемся
на
]
,
[
b
a
функцией
)
(
0
x
u
и
пробными
функциями
)
(
),...,
(
1
x
u
x
u
n
,
такими
,
что
)
(
0
x
u
удовлетворяет
условиям
(2.3),
а
)
(
),...,
(
1
x
u
x
u
n
удовлетворяют
однородным
условиям
(2.6),
и
составляем
функцию
n
j
j
j
n
x
u
C
x
u
x
y
1
0
)
(
)
(
)
(
, (2.14)
где
i
С
(
n
i
,
1
) –
некоторые
постоянные
.
Значения
постоянных
i
С
(
n
i
,
1
)
подберем
так
,
чтобы
функция
(2.14)
доставляла
экстремум
функционалу
(2.13).
Подставляя
)
(
)
(
x
y
x
y
n
в
(2.13),
получаем
квадратичную
функцию
переменных
n
C
C
,...,
1
n
i
i
i
b
n
i
i
i
b
n
i
i
i
b
a
n
i
i
i
n
i
i
i
n
b
u
C
b
u
T
b
u
C
b
u
dx
x
u
C
x
u
x
g
x
u
C
x
u
x
x
u
C
x
u
x
K
x
y
J
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
,...,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
1
1
0
1
0
1
0
2
1
0
n
n
i
i
i
a
n
i
i
i
b
n
i
i
i
a
n
i
i
i
a
C
C
C
a
u
C
a
u
q
b
u
C
b
u
q
a
u
C
a
u
T
a
u
C
a
u
(2.15)
Необходимые
условия
экстремума
функции
(2.15),
как
известно
из
математического
анализа
,
имеют
вид
:
0
k
C
,
n
k
,
1
. (2.16)
Записав
условия
(2.16)
в
развернутом
виде
,
для
определения
значений
переменных
n
C
C
C
,...,
,
2
1
получаем
неоднородную
систему
линейных
алгебраических
уравнений
n
-
го
порядка
k
n
j
j
kj
b
C
a
1
,
n
k
,
1
, (2.17)
где
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
);
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
a
u
q
T
a
u
b
u
q
T
b
u
dx
u
x
g
u
x
u
u
x
K
b
a
u
a
u
b
u
b
u
dx
u
u
x
u
u
x
K
a
k
a
a
a
k
b
b
b
b
a
k
k
k
j
k
a
j
k
b
b
a
j
k
j
k
kj
(2.18)
27
Решив
систему
(2.17)
и
подставив
определяемые
этим
решением
значения
постоянных
n
C
C
C
,...,
,
2
1
в
(2.14),
завершаем
построение
пробного
решения
)
(
x
y
n
.
Опишем
теперь
возможный
алгоритм
приближенного
решения
задачи
(2.2), (2.3)
методом
Ритца
,
предполагая
,
что
0
)
(
x
y
n
сходится
к
)
(
x
Y
при
n
.
1.
Подготовительный
шаг
алгоритма
.
На
этом
шаге
определяем
значения
параметров
функционала
(2.13)
в
соответствии
с
таблицей
2.1.
Выбираем
функции
)
(
...,
),
(
),
(
1
0
x
u
x
u
x
u
n
и
находим
функцию
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
x
g
x
u
x
x
u
x
K
u
x
K
x
g
u
L
x
R
,
т
.
е
.
невязку
от
подстановки
)
(
0
x
u
в
уравнение
(2.2).
Если
0
)
(
:
]
,
[
0
x
R
b
a
x
,
то
)
(
)
(
0
0
x
y
x
u
–
искомое
решение
и
вычисления
заканчиваем
.
Если
же
0
)
(
0
x
R
,
то
переходим
к
следующему
шагу
алгоритма
.
2.
Первый
шаг
алгоритма
.
Строим
функцию
)
(
)
(
)
(
1
1
0
1
x
u
C
x
u
x
y
,
определив
значение
1
C
из
решения
системы
(2.17)
при
1
n
.
Находим
невязку
).
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
]
[
)
,
(
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
x
g
u
C
u
x
u
C
u
x
K
u
C
u
x
K
x
g
y
L
x
C
R
Если
0
)
,
(
:
]
,
[
1
x
C
R
b
a
x
,
то
)
(
)
(
1
x
y
x
Y
,
и
задача
решена
.
Если
0
)
,
(
1
x
C
R
на
]
,
[
b
a
,
то
находим
11
0
1
]
,
[
|
)
(
)
(
|
max
x
u
x
y
b
a
или
12
1
]
,
[
|
)
,
(
|
max
x
C
R
b
a
.
Если
1
11
или
2
12
,
где
1
и
2
–
заданные
меры
точности
приближенного
решения
,
то
полагаем
)
(
)
(
1
x
y
x
Y
и
вычисления
заканчиваем
.
Если
же
1
11
или
2
12
,
то
переходим
к
вычислениям
на
следующем
шаге
.
Таким
образом
,
на
m
-
м
шаге
(
1
m
)
алгоритма
сначала
строим
функцию
)
(
)
(
)
(
1
0
x
u
C
x
u
x
y
m
i
i
i
m
,
определив
значения
m
C
C
C
,...,
,
2
1
из
решения
системы
(2.17)
при
m
n
,
а
затем
находим
невязку
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,...,
(
1
0
1
0
1
0
1
x
g
u
C
u
x
u
C
u
x
K
u
C
u
x
K
x
g
y
L
x
C
C
R
m
j
j
j
m
j
j
j
m
j
j
j
m
m
28
Если
0
)
,
,...,
(
:
]
,
[
1
x
C
C
R
b
a
x
m
,
то
)
(
)
(
x
y
x
Y
m
.
Если
0
)
,
,...,
(
1
x
C
C
R
m
,
то
находим
|
)
(
)
(
|
max
1
]
,
[
1
x
y
x
y
m
m
b
a
m
или
|
,
,...,
|
max
1
]
,
[
2
x
C
C
R
m
b
a
m
.
Если
1
1
m
или
2
2
m
,
то
)
(
)
(
x
y
x
Y
m
,
если
же
1
1
m
или
2
2
m
,
то
переходим
к
)
1
(
m
-
му
шагу
,
и
т
.
д
.
2.4.
Алгоритм
интегрального
метода
наименьших
квадратов
Для
нахождения
приближенного
решения
задачи
(2.1), (2.3)
интегральным
методом
наименьших
квадратов
строится
функциональная
последовательность
0
)
(
x
y
n
из
пробных
решений
вида
n
i
i
i
n
x
u
C
x
u
x
y
1
0
)
(
)
(
)
(
, (2.19)
где
)
(
...,
),
(
),
(
1
0
x
u
x
u
x
u
n
–
функции
,
удовлетворяющие
таким
же
условиям
и
требованиям
,
что
и
аналогичные
функции
в
методах
Галеркина
и
Ритца
.
Подставляя
пробное
решение
(2.19)
вместо
)
(
x
y
в
уравнение
(2.1),
получим
невязку
n
i
i
i
n
u
L
C
x
f
u
L
x
C
C
R
1
0
1
)
(
,
,...,
. (2.20)
Напомним
,
что
функция
(2.20),
линейно
зависящая
от
параметров
n
C
C
,...,
1
,
является
характеристикой
уклонения
пробного
решения
(2.19)
от
точного
решения
задачи
)
(
x
Y
.
Поэтому
подберем
значения
n
C
C
,...,
1
так
,
чтобы
они
доставляли
глобальный
минимум
следующей
функции
переменных
n
C
C
,...,
1
b
a
n
n
n
n
dx
x
C
C
R
x
C
C
R
x
C
C
R
C
C
,
,...,
,
,...,
,
,
,...,
,...,
1
2
1
1
1
. (2.21)
Заметим
,
что
,
так
как
n
C
C
,...,
1
из
(2.21)
неотрицательная
квадратичная
функция
n
переменных
,
то
глобальный
минимум
ее
существует
и
совпадает
с
локальным
.
Необходимые
условия
локального
минимума
функции
(2.21)
дают
n
k
C
R
R
С
k
k
,
1
,
0
,
2
,
откуда
b
a
k
n
n
k
dx
C
C
C
x
R
C
C
x
R
C
R
R
0
,...,
,
,...,
,
,
1
1
. (2.22)
Записав
условия
(2.22)
в
развернутом
виде
,
для
определения
значений
переменных
n
C
С
,...,
1
получаем
неоднородную
систему
уравнений
n
-
го
порядка
n
k
b
C
a
n
j
k
j
kj
,
1
,
1
, (2.23)
где
29
.
]
[
]
[
)
(
;
]
[
]
[
0
b
a
k
k
b
a
j
k
kj
dx
u
L
u
L
x
f
b
dx
u
L
u
L
a
(2.24)
Решив
систему
(2.23)
и
подставив
определяемые
этим
решением
значения
параметров
n
C
С
,...,
1
в
(2.19),
завершаем
построение
пробного
решения
)
(
x
y
n
.
Этапы
возможного
алгоритма
приближенного
решения
задачи
(2.1), (2.3)
интегральным
методом
наименьших
квадратов
качественно
полностью
совпадают
с
этапами
алгоритма
решения
задачи
методом
Галеркина
.
Имеется
только
одно
количественное
различие
,
связанное
с
тем
,
что
параметры
n
C
С
,...,
1
пробного
решения
на
первом
и
последующих
этапах
определяются
решением
системы
(2.23),
а
не
системы
(2.11),
как
было
в
методе
Галеркина
.
2.5.
Построение
систем
пробных
и
поверочных
функций
I.
Известно
,
что
степенные
функции
,...
,...,
,
,
1
2
n
x
x
x
линейно
независимы
на
всей
числовой
прямой
R
и
,
следовательно
,
на
любом
ее
отрезке
R
b
a
,
.
Покажем
,
что
на
любом
отрезке
b
a
,
линейно
независима
любая
система
многочленов
последовательных
степеней
.
Рассмотрим
произвольную
систему
многочленов
:
0
,
...
)
(
;
0
,
)
(
;
0
,
)
(
;
0
)
(
0
1
1
22
20
21
2
22
2
11
10
11
1
00
0
nn
n
n
nn
n
nn
n
A
A
x
A
x
A
x
P
A
A
x
A
x
A
x
P
A
A
x
A
x
P
A
x
P
и
решим
относительно
неизвестных
n
,...,
,
1
0
определенное
на
R
тождество
0
)
(
...
)
(
)
(
1
1
0
0
x
P
x
P
x
P
n
n
. (2.25)
Из
условий
тождественного
равенства
нулю
многочлена
n
-
й
степени
(
равенство
нулю
коэффициентов
при
всех
степенях
x
)
последовательно
получаем
.
0
0
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
0
0
;
0
0
0
00
0
10
1
10
1
0
n
1
1
1
1
1
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
Таким
образом
,
условие
(2.25)
выполняется
тогда
и
только
тогда
,
когда
0
...
1
0
n
,
т
.
е
.
система
многочленов
)
(
),...,
(
0
x
P
x
P
n
и
любая
подсистема
из
них
линейно
независима
на
R
и
,
следовательно
,
на
любом
R
b
a
,
.
30
Для
построения
)
(
0
x
u
и
линейно
независимой
на
b
a
, ,
системы
пробных
функций
)
(
),...,
(
1
x
u
x
u
n
,
являющихся
многочленами
,
можно
применить
метод
неопределенных
коэффициентов
.
Например
,
предположим
)
(
0
0
x
P
A
u
,
из
условий
(2.3)
получаем
систему
линейных
алгебраических
уравнений
относительно
A
.
,
2
0
2
0
b
A
b
a
A
a
В
том
случае
,
когда
эта
система
совместна
,
коэффициент
A
определяется
.
Если
система
не
совместна
,
то
ищем
аналогичным
образом
)
(
0
x
u
в
виде
)
(
)
(
1
0
x
P
Bx
A
x
u
и
т
.
д
.,
до
тех
пор
,
пока
не
будет
найдена
)
(
)
(
0
0
x
P
x
u
r
,
удовлетворяющая
условиям
(2.3).
Далее
,
используя
условия
(2.6),
методом
неопределенных
коэффициентов
определяем
последовательно
так
же
,
как
и
)
(
0
x
u
,
.
),
(
)
(
;
),
(
)
(
;
0
),
(
)
(
1
1
2
2
1
1
2
1
n
n
r
n
r
r
r
r
x
P
x
u
r
r
x
P
x
u
r
x
P
x
u
n
(2.26)
Пример
1
.
Построить
)
(
0
x
u
и
систему
из
пяти
пробных
функций
для
задачи
с
краевыми
условиями
.
4
)
1
(
)
1
(
,
1
)
0
(
)
0
(
y
y
y
y
(2.27)
Решение
.
Пусть
A
x
u
)
(
0
,
тогда
0
0
u
и
условия
(2.27)
дают
несовместную
систему
из
уравнений
1
A
и
4
A
.
Пусть
Bx
A
u
0
,
тогда
B
u
0
и
условия
(2.27)
дают
.
5
,
6
,
5
,
0
,
4
2
,
1
B
A
B
B
A
B
A
B
A
Итак
,
x
u
5
6
0
.
Определяем
)
(
1
x
u
.
Если
A
u
1
или
Bx
A
u
1
,
то
однородные
условия
,
соответствующие
условиям
(2.27),
выполняются
,
если
0
1
u
,
что
невозможно
из
-
за
требования
линейной
независимости
пробных
функций
.
Ищем
0
2
1
C
Cx
Bx
A
x
u
,
тогда
Cx
B
u
2
1
,
и
из
однородных
условий
,
соответствующих
(2.27),
получаем
систему
.
0
3
2
,
0
C
B
A
B
A
Решая
ее
методом
Гаусса
,
имеем
.
0
3
,
0
C
B
B
A