Практическое занятие №11

«Кривые второго порядка»

Цель: закрепить знание определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, фокуса, осей, асимптот и эксцентриситета; научиться находить элементы кривых 2-го порядка, составлять уравнения кривых второго порядка и строить в координатной плоскости.

Теоретическая часть

Окружностью (рис.)называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R. Число R> 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности имеет вид  

Например:

Переход от последнего уравнения к общему виду. Для удобства заменим





- общее уравнение окружности

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается: . Например: .





Пусть  Р ( х₁ , у ₁ ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда  уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

  ( х₁ – х₀) ( х – х₀ ) + ( у₁ – у ₀ ) ( у – у ₀ ) = R ² .

 Условие касания прямойy = mx + kи окружности х²  +  у  ² = R ² :

  k ²  / (1 +m² )=R ² .

Пример 1.Доказать, что уравнение х²+ у² + 8х - 4у -5 = 0 является уравнением окружности. Найти её центр и радиус.

---

Решение: Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим х²- 4х +у² + у = 2. Дополним полученные выражения относительно переменных до полного квадрата двучлена

(х²- х + 4) - 4 +(у² + у + ) - = 2

.

Ответ: .

Пример 2.  Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(7;7) и В(-2; 4), если ее центр лежит на прямой 2х – y – 2 = 0.

Решение: Уравнение окружности: Так как точки А и В лежат на данной окружности, то координаты этих точек будут удовлетворять уравнениям:

центр окружности по условию лежит на прямой.

Раскроем скобки Вычтем из первого уравнения второе Полученное подставим в любое уравнение и найдём R=5. Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Эллипсом (рис.) называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁ и  F₂, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2a.

- каноническое уравнение эллипса.

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При  a>b фокусы эллипса лежат на оси ОХ, при  a<bфокусы эллипса лежат на оси ОY, а приa = b эллипс становится окружностью(фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса

---

.

• 
  Отрезок  F₁F₂ = 2с,  где , называетсяфокусным расстоянием.
  
• 
  Отрезок  AB = 2a называется большой осью эллипса, а отрезок  CD = 2b – малой осью эллипса.
  

• 
  Число  e = c / a ,  e< 1 называется эксцентриситетом эллипса – мера сжатости эллипса. Форма эллипса зависит от его эксцентриситета (при e = 1 и b = 0 эллипс переходит в радиус F₁F₂ т.е. в уравнение окружности). Из этого следует, что окружность это частный случай эллипса, у которого фокусы слились в одну точку и совпали с его центром.
  

При изменении e от 0 до 1, эллипс будет из окружности, постепенно, сжимаясь, трансформироваться во всё более и более вытянутую кривую пока не перейдёт в отрезок прямой F₁F₂.

- данное уравнение служит для определения формы эллипса.

Аналогично т.к. эллипс симметричен.

Достаточно рассмотреть его часть в 1 четверти и тогда y> 0 и х > 0, можно построить график функций

• 
  Отрезок прямой соединяющий две точки эллипса называется хордой.
  

Оси симметрии – просто Ось эллипса.

Точка пересечения – центр.

• 
  Точки в которых эллипс пересекает оси называются вершинами.
  
• 
  Осями называют также отрезки B₁B = 2b, A₁A = 2a
  

Фокальная ось – ось на которой расположены фокусы.

Если , то величина - величина действительная и фокальной осью будет 2a.

Если , то величина с – мнимая величина. Фокусы будут на оси ординат, фокальной осью будет 2b.

Пусть  Р(х₁,  у₁) – точка эллипса, тогда  уравнение касательной к эллипсу в данной

точке имеет вид: =1.

Условие касания прямой

---

  y = mx + k  и эллипса х²/a² +  у  ² / b ²  =1 : k ² =m² a²+b ²

Пример 3. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось а =5 и эксцентриситет е = 0,6.

Решение: Зная, что e , найдем с = 0,6 . Но тогда квадрат малой полуоси эллипса Каноническое равнение эллипса имеет вид .

Ответ: .

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М и N .

Решение: Пусть искомое уравнение эллипса, координаты данных точек должны ему удовлетворять, т.е. и , или и .

. Уравнение эллипса имеет вид

Ответ: .

Пример 5. Составить уравнение касательной к эллипсу в точке (3; 1).

Решение: Так как уравнение касательной к эллипсу имеет вид =1, то искомое уравнение касательной к данной кривой будет: =1, =1.

Ответ: x + y – 4 = 0.

Пример 6. Доказать, что уравнение64х²+100у²-6400=0 является уравнением эллипса. Найдите координаты и фокальное расстояние.

Решение: Разделив обе части уравнения на 6400, получим

---

- это каноническое уравнение эллипса. Из равенства , следует, что . Фокусы эллипса будут находиться в точках F₁(-6; 0) и F₂(6; 0). Фокальное расстояние 2с =12.

Ответ: F₂(-6; 0) и F₁(6; 0), 2с =12.

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек F₁ и  F₂, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое уравнение гиперболы.

.

Гипербола называется сопряженной с гиперболой

Числа a и b называются соответственно вещественной и мнимыми полуосями гиперболы.

• 
  Ось гиперболы – прямая соединяющая её фокусы.
  
• 
  Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы, называют фокусами расстояний гиперболы.
  
• 
  Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называют большой или вещественной полуосью гиперболы a,
  
• 
  Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты в доле направления параллельное оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы b,
  .
  
• 
  y = x – прямые являются асимптотами гиперболы.
  
• 
  Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом , . Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.
  
• 
  Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой параллельной Оси ординат называется фокальным параметром р, .
  
• 
  Парацентрическое расстояние (r.p.) – расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы (в задачах связанных с движением)
  
• 
  Предельным параметром называют расстояние от фокуса до одной из асимптот гиперболы. Предельный параметр равен малой полуоси гиперболы.
  

---

Смотрите также файлы

• 1. История возникновения игр. Подвижные игры 1 Возникновение игры.rtf

• Отчет по ознакомительной практике на территории предприятия гуп Московский метрополитен.docx

• Закрепление табличного сложения и вычитания в пределах 20.docx

• 1. Характеристика предприятия.doc

• 2 Прессы для автоматизированного вырубания с чпу.docx