Пусть  Р(х₁,  у₁) – точка гиперболы, тогда  уравнение касательной к гиперболе в данной

точке имеет вид: =1.

Условие касания прямой  y = mx + k  и гиперболы х²/a² -  у  ² / b ²  =1 :

k ² =m² a²+b ²

Пример 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М( , если фокальное расстояние гиперболы равно 20.

Решение: По условию 2с = 20, с =10. Запишем каноническое уравнение гиперболы По условию точка М принадлежит гиперболе, т.е. и второе уравнение для нахождения a и b: = 100 - .

Решим систему уравнений Решая систему относительно aиb(a>0, b>0), найдем . Искомым уравнением будет .

Ответ:

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен 13/12.

Решение: По условию 2с=26, с=13 и e =c/a=13/12. Следовательно, большая полуось гиперболы a = По формуле = 169 -144=25, . Уравнение гиперболы имеет вид .

Ответ: .

Пример 3. Построить гиперболу 16х² - 9у² = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение асимптот.

Решение: Разделив обе части уравнения на 144, получим

---

.

а) полуоси гиперболы a=

б) координаты фокусов: , c= =5. Фокусы F₂(-5; 0) и F₁ (5; 0);

в) эксцентриситет ;

г) уравнение асимптот y = x = x .

Ответ: б) F₂(-5; 0) и F₁ (5; 0); в) ; г) y = x .

Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точкиF, называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Каноническое уравнение параболы (рис.1):

y ² = 2px , р>0.

Число р  параметр параболы. Начало координат О(0;0) – вершина параболы, а ось ОХ является осью симметрии параболы. Точка F(p/2; 0) – фокус параболы, х = -р/2 директриса параболы.

Пусть  Р(х₁,  у₁) – точка параболы, тогда  уравнение касательной к параболев данной точке имеет вид: у₁y = p(x+  х₁) .

Условие касания прямойy = mx + kи параболы y ² = 2px: 2mk  =p .

Пример 4. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Решение: Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды – точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид y ² = 2px; полагая в нем х = 6 и у = 8, находим 8²=2р

2 = . Итак, уравнение параболы имеет вид y ² =

---

x, F(8/3;0)

Ответ: y ² = x.

Пример 5. Написать уравнение касательной к параболе y ² = 8x, параллельной прямой

2х + 2у – 3 = 0.

Решение: Уравнение касательной к параболеy ² = 2pxв точке Р(х₁,у₁) имеет вид

у₁y = p(x+  х₁).

Сравнивая с уравнениемy ² = 8x, получим 2р=8, р=4. Тогда уравнение касательной имеет вид у₁y = 4(x+  х₁) или вид у₁y = 4x+4 х₁. Так как касательная параллельна прямой 2х + 2у – 3 = 0, то их угловые коэффициенты равны у = - х + , т.е. k = -1

Э ллипс

Пример 6. Построить кривую второго порядка по уравнению
.

Решение: Из уравнение узнаём, что центр окружности в точке . Так как b>a, то окружность вытянута по оси Оу.

Основные характеристики:






Гипербола

П ример 7. Определить вид линии и дать ей основные характеристики, а так же построить
:

Выделим полный квадрат:







– гипербола

Парабола

Пример 8. Построить кривую второго порядка по уравнению

---

и
.

Р ешение: Прировняем уравнения.











Практическая часть

Задание 1: Составить канонические уравнения: эллипса, гиперболы, параболы

(А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, а – большая (действительная полуось), b – малая (мнимая) полуось, – эксцентриситет, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

Вари ант	эллипс	гипербола	парабола
	b=15, F=(-10;0)	a=13,	D: x=-4
	b=2, F=(4 ;0)	a=7,	D: x=5
	A(3;0), B(2;	k=3/4,	D: y=-2
	A(-5;0),	A( ;3), B(4	D: y=1
	2a=22,	k=2/3, 2c=10	A(27;9), Ось симметрии Ох
	b= ,	k=3/4, 2a=16	A(4;-8), Ось симметрии Ох
	a=4, F=(3;0)	b= , F(-11; 0)	D: x=-2
	b=4, F=(9;0)	a=5,	D: x=6
	A(0; ), B(	k= /10,	D: y=-4
	A(8;0),	A( ), B(	D: y=4
	2a=24,	k= , 2c=10	A(-7;-7), Ось симметрии Ох
	b=2,	k=12/13, 2a=26	A(-5;15), Ось симметрии Ох
	a=6, F=(-4;0)	b= , F(7; 0)	D: x=-7
	b=7, F=(5;0)	a=11,	D: x=10
	A(- ), B(	k=1/2,	D: y=-1

---

Задание 2: Упростить уравнение кривой, установить её вид и построить в системе координат.

Вариант	Уравнение кривой	Вариант	Уравнение кривой
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.

Контрольные вопросы:

1. 
   Запишите общее уравнение второй степени с двумя переменными. Чем отличается уравнение окружности от него?
   
2. 
   Какие прямые называют директрисами эллипса?
   
3. 
   Запишите уравнение касательной к эллипсу в точке .
   

---

Смотрите также файлы

• 1. История возникновения игр. Подвижные игры 1 Возникновение игры.rtf

• Отчет по ознакомительной практике на территории предприятия гуп Московский метрополитен.docx

• Закрепление табличного сложения и вычитания в пределах 20.docx

• 1. Характеристика предприятия.doc

• 2 Прессы для автоматизированного вырубания с чпу.docx