4.2. Уравнение Майера

Уравнение Майера связывает между собой теплоемкости идеального газа в процессах p=const и v=const. Для удельных теплоемкостей с_p и с_v эта связь получается из рассмотрения формулы, являющейся определением функции состояния-энтальпии:

, Дж/кг.

Тогда дифференциал , а производная энтальпии по температуре при равна:

, где R- удельная газовая постоянная, зависящая от рода газа, или , Дж/кгК, или .

Для молярных теплоемкостей эта связь имеет вид: , Дж/мольК, так как , и , где - молярная масса, кг/моль.

Для n молей вещества получим связь

, Дж/К,

где n – количество вещества, моль; и - общие теплоемкости термодинамических процессов при постоянных давлении и объеме соответственно.

Отношение изобарной теплоемкости к изохорной теплоемкости называется показателем адиабатного процесса:

.

Для реальных газов показатель к зависит от температуры – к=f(T). Для воздуха и двухатомных газов при 0⁰С показатель к=1,4. С ростом температуры в соответствии с уравнением Майера показатель адиабаты убывает, т.к. теплоемкость с ростом температуры возрастает:

.

4.3. Теплоемкость химически реагирующей термодинамической системы

При нагревании смеси газов массой m на один градус необходимо температуру каждого компонента смеси также повысить на один градус. Тогда общая теплоемкость смеси, выраженная через удельные теплоемкости, будет равна:

, Дж/К,

т.е. .

При этом удельная теплоемкость смеси

, Дж/кгК,

где - массовая доля i-го компонента.

Общая теплоемкость смеси, выраженная через молярные теплоемкости, будет равна:

, Дж/К,

а молярная теплоемкость смеси газов:

, Дж/мольК,

где - количество вещества смеси газов, моль; - молярная доля i-го компонента смеси газов.

Для изобарного ТП (p=const) общая теплоемкость смеси газов равна:

, Дж/К.

Полученные ниже формулы справедливы для расчета теплоемкости смесей газов постоянного состава, когда химические реакции не протекают в ТС.

В случае химически реагирующих газовых смесей должны учитываться затраты теплоты на изменение состава смеси, зависящие от температуры. Так для изобарного процесса (p=const) получим:

, Дж/К.

---

ГЛАВА 5. Первый закон термодинамики

5.1. Уравнение первого закона термодинамики для сложной открытой системы в общем виде.

В соответствии с законом сохранения и превращения энергии внутренняя энергия изолированной системы (ИС) сохраняется при протекании любых процессов внутри ТС (обратимых и необратимых). При этом энергия может передаваться от одних тел к другим телам лишь внутри ИС с сохранением или изменением формы движения материи.

В термодинамике рассматриваются ТС, которые взаимодействуют с телами окружающей среды, обмениваясь с ними теплотой, различными видами работ и веществом. В этом случае внутренняя энергия ТС будет изменяться. Тогда уравнение первого закона термодинамики для открытой сложной ТС будет иметь вид:

, Дж,

где - порция подводимой к ТС теплоты ; - порция различных видов работ, совершаемых ТС ; - порция внутренней энергии, подводимой в ТС вместе с массой .

Таким образом, первый закон термодинамики можно сформулировать так: «Запас внутренней энергии ТС может изменяться за счет подвода теплоты, совершения различных видов работ и массообмена с окружающей средой».

Запас энергии ТС состоит из:

- запаса внутренней энергии, связанной с собственными внутренними свойствами термодинамической системы - ;

- запаса энергии, зависящей от внешних условий. Если на ТС воздействуют внешние силовые поля, то часть полной энергии составит потенциальная энергия. Если ТС, как целое, совершает движение, то в состав полной энергии входит кинетическая энергия ТС.

При рассмотрении открытых систем их потенциальная и кинетическая энергии вводятся в уравнение первого закона термодинамики в виде самостоятельных членов дополнительно к внутренней энергии.

Таким образом, внутренняя энергия ТС – это та часть полного запаса энергии ТС, которая не связана с положением термодинамической системы в поле внешних сил и с ее движением относительно тел окружающей среды и является функцией состояния неподвижной замкнутой системы:

.

Дифференциал внутренней энергии - полный дифференциал. Изменение внутренней энергии в конечном процессе 1-2 определяется состоянием ТС в начале и в конце процесса и не зависит от пути процесса:

.

Порция теплоты характеризует термическое воздействие. Если внутренняя энергия ТС при этом возрастает, то , т.е. порция теплоты считается положительной.

Величина в уравнении 1-го закона термодинамики характеризует воздействия, называемыми работой, и записывается в виде суммы:

ℒ,

где - работа расширения или объемной деформации ТС рассматривается отдельно от прочих видов работ; ℒ - работы немеханического характера и другие виды механической работы за исключением работы расширения.

Если ТС совершает работу над окружающей средой с уменьшением величины внутренней энергии, то работа считается положительной, т.е. L>0 и ℒ>0.

---

Для простой (число степеней свободы N=2), закрытой ТС ( ,ℒ=0, ) уравнение 1-го закона термодинамики имеет вид:

, Дж.

Если ТС представляет собой однородное рабочее тело, свойства которого не изменяются в объеме ТС, то можно использовать удельные величины и записать уравнение 1-го закона термодинамики в виде:

, Дж/кг.

В конечном процессе 1-2 работа расширения равна: , где - уравнение процесса. Таким образом, работа расширения – функция процесса и - неполный дифференциал. Для кругового процесса (цикла) работа цикла не равна нулю:

∮ ∮ .

Для сложных ТС необходимо учитывать другие виды работ (работы немеханического характера и механические работы при деформации других видов, кроме объемной) - ℒ. При этом элементарная работа любого вида выражается как произведение обобщенной силы X_i на изменение обобщенной координаты dx_i: ℒ=X_idx_i . Например:

- механическая работа при повороте вала машины

ℒ_М=М_Dd,

где M_D – крутящий момент на валу; d - элементарный угол поворота вала;

- электрическая работа – работа переноса электрического заряда в электрической цепи:

ℒ_эл= ,

где Е_эл – напряженность электрического поля; dl_эл – количество перенесенного электричества;

- магнитная работа – работа намагничивания магнетика в магнитном поле:

ℒ_маг= ,

где Н_маг – напряженность магнитного поля, М_маг – магнитный момент.

Теплоту можно выразить через энтропию S. Энтропия S [Дж/К] - функция состояния, введенная в термодинамику Р. Клаузиусом в 1865г., дифференциал которой dS является полным дифференциалом.

Тогда элементарная порция теплоты будет равна:

, Дж,

где температура Т играет роль обобщенной силы, а изменение энтропии dS – роль обобщенной координаты.

Удельное количество теплоты

, Дж/кг,

где ds, [Дж/кгК] – удельная энтропия.

Для конечного процесса 1-2 теплота

,

где T=T(s) – уравнение процесса.

Количество теплоты q зависит от пути процесса и порция теплоты не является полным дифференциалом. Для кругового процесса (цикла) теплота цикла не равна нулю

∮ ∮ ,

И для простой закрытой системы

∮ ∮ ∮ , т.е. .

В открытую ТС вместе с массой подводится внутренняя энергия и производится работа ввода массы , т.е.

, Дж,

где по определению; - удельная энтальпия, Дж/кг.

- энтальпия ТС, Дж.

Энтальпия Н – это функция состояния, введенная в термодинамику Гиббсом, и ее дифференциал – полный дифференциал.

.

Энтальпия – это сумма внутренней энергии и работы проталкивания.

Если границу ТС пересекают различные вещества, то
, Дж.

Умножив и разделив это выражение на молярную массу , кг/моль, получим другое выражение для величины :

,

где - молярная энтальпия i-го вещества, Дж/моль; - порция количества вещества i-го компонента.

Тогда .

После подстановки в исходное уравнение 1-го закона термодинамики величин:

ℒ и ,

получим уравнение 1-го закона термодинамики для сложной открытой ТС в общем виде:

---

ℒ , Дж.

Учитывая, что , получим выражение 1-го закона термодинамики через изменение энтальпии:

ℒ , Дж.

Таким образом, на основании изложенного, можно сделать следующие выводы:

1. Первый закон термодинамики устанавливает, что внутренняя энергия ТС является однозначной функцией ее состояния, которая не изменяется при отсутствии внешних воздействий при любых процессах внутри термодинамической системы (равновесных и неравновесных).

2. Работа может совершаться за счет изменения внутренней энергии и за счет сообщения системе теплоты.

3. В круговом процессе изменение внутренней энергии не происходит, и работа совершается только за счет получения системой теплоты от внешних источников.

4. Появление работы всегда сопровождается затратами других видов энергии, т.е. вечный двигатель 1-го рода неосуществим. Вечный двигатель 1-го рода – это периодически действующая машина, которая совершает работу, не заимствуя энергию извне.

5.2. Уравнение 1-го закона термодинамики для проточной термодинамической системы

Проточная система является частным случаем открытой ТС, когда вещество на одном участке границы ТС входит в систему, а на другом участке – выходит из ТС. В этом случае рассматривается схема течения вещества относительно неподвижных осей координат, связанных с границей ТС, как представлено на прилагаемом рисунке.

На элемент dh в сечении I-I площадью F действует давление – р при скорости течения потока рабочего тела – W, а в сечении II-II площадью (F+dF) – давление (р+dp) при скорости (W+dW), и подводится теплота .

Тогда в уравнение 1-го закона термодинамики дополнительно к внутренней энергии необходимо учитывать, что в проточной ТС поток рабочего тела несет с собой кинетическую энергию своего движения относительно границ ТС, равную d(mW²/2), а потенциальная энергия потока рабочего тела в поле внешних сил (в поле тяготения Земли) может изменяться gd(my), где у – пьезометрическая высота, g – ускорение силы тяжести. Эти виды энергии входят в уравнение 1-го закона термодинамики в качестве самостоятельных членов.

Кроме того, над рабочим телом, поступающим в ТС, совершается работа проталкивания (вытеснения) ℒ_прот=d(pV) по преодолению внутреннего давления ТС внешней силой и давления окружающей среды при выводе рабочего тела из ТС. При этом полагается, что процессы ввода-вывода рабочего тела являются равновесными.

Работа проталкивания d(pV) – функция состояния и определяется только начальными и конечными значениями параметров, а ее дифференциал является полным дифференциалом:

ℒ_прот= , ,

где pdV – работа расширения; Vdp – располагаемая работа (работа перемещения), которая идет на изменение кинетической энергии рабочего тела и преодоление сил трения.

Термодинамическое рабочее тело может также производить техническую работу ℒ_техн при перемещении канала с рабочим телом в пространстве, например, при вращении ротора турбины.

---

Таким образом, уравнение 1-го закона термодинамики для проточной ТС при m=const будет иметь вид:

ℒ_техн, Дж/с.

Для однородного рабочего тела при m=1кг/с

, Дж/кг.

При и

, Дж/кг.

Так как , то уравнение 1-го закона термодинамики, выраженное через энтальпию, будет иметь вид:

, Дж/кг.

Эти уравнения пригодны для исследования термодинамических процессов во всех типах тепловых двигателей, где имеется движение рабочего тела по тракту двигателя (реактивные двигатели, газотурбинные установки и др.).

Относительно осей координат, которые движутся вместе с центром масс рассматриваемого элемента потока, энергетические превращения можно описать уравнением Бернулли:

.

Тогда уравнения 1-го закона термодинамики для подвижных осей координат при и будут иметь вид:

,

и , которые аналогичны по форме записи уравнениям первого закона термодинамики для неподвижной закрытой термодинамической системы.

Запишем уравнение 1-го закона термодинамики для конечного процесса в проточной ТС в виде:

,

где - сумма величин механической природы, называемой располагаемой работой. В тепловых машинах =0.

Тогда в турбинах , а в соплах . Техническая работа в турбине может совершаться за счет уменьшения кинетической энергии потока рабочего тела или за счет уменьшения его потенциальной энергии при падении потока воды с верхнего уровня на нижний уровень.

Приведенные в данном разделе уравнения выводились при использовании параметров состояния в сечениях на входе и выходе из системы, где состояния рабочего тела полагались равновесными. Поэтому эти уравнения справедливы и в случае протекания неравновесных процессов внутри термодинамической системы, например, если в ТС происходят химические реакции, потери на трение и др.

---

Смотрите также файлы

• Лабораторна робота_01.doc

• Ргр 2.docx

• task6.doc

• Task4.doc

• Task2.doc