Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,85Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.11.2023

Просмотров: 141

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью

которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная

функция

fx^,^{выбрана}^{парабола.}

Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй

степени)

y ax²  bx c

по трем соседним точкам. Для нахождения

^{коэффициентов}^a^,b^и^c^{полинома,}^{проходящего}^через^точкиx₀, y₀^,

x₁, y₁^,x₂, y₂^,^{требуется}^найти^{решение}^{следующей}^{системы}^{линейных}уравнений

^y₀ ax²  bx

_0 0

1
_y₁ ax²  bx₁ c,

^y₂ ax²  bx c,

_2 2

относительно неизвестных a, b, c.

Разделим отрезок интегрирования a,b

на четное число nравных от-

^рез^к^ов^с^ш^а^га^м^иh^.^Н^а^ка^ж^дом^о^т^рез^к^еx_i_₁, x_i_₁

длиной

2h, содержащем

три узла x_i_₁, x_i, x_i_₁, заменим подынтегральную функцию полиномом вто- рой степени _ix  ax²  bx c. Пример представлен на рис. 5.

Рис. 5. Пример замены функции

y fx ^{параболой.}

Для рассматриваемого примера значения коэффициентов a, bи cмо- гут быть вычислены следующим образом:

^ah²  bh c

^fi1 ^,


^c f,

i


^ah²  bh c

^fi1 ^,

^откудаc

f_i^,

2ah²  2 f_i

^fi1 ^

f_i_₁, a

f_i_₁ 2 f_i

2h²

^fⁱ^¹, а b

^fi1 ^

2h

^fi1 _.

В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид

fx  _i

x 

f_i

^fi1 ^

2h

^fi1 _x_

f_i_₁ 2 f_i

2h²

^fi1 _x²_.

^И^нтег^ри^р^у^я^п^р^и^в^е^д^е^н^н^ое^в^ы^р^а^же^н^ие^на^от^р^езкеx_i_₁, x_i_₁^,^по^л^у^ч^и^м

^xi1

^xi1 _

f  f

f  2 f f ₂ _h

__ixdx _

__f_i_i1 i1 _x_i1 i i1 _x

_dx

 f_i_₁ 4 f_i f_i_₁.

(3.7)

^xi1

^xi1 ^²^h

2h² _³

Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирова-

ния a,b

получим суммированием частичных интегралов (3.7) по всем от-

^резкамx_i_₁, x_i_₁^:

b
  

__hn21__

  

I _f

a

xdx



³i0

^f2i

⁴^f2i1

^f2i2

(3.8)

 ^h f

₃0

 4 f₁

 2 f₂

 4 f₃

 2 f₄

 ...  2 f
n2

n1 ^

f_n.

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или

формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный

интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на ^все^х^ч^а^ст^и^чн^ых^от^р^езках^инт^е^г^ри^ро^в^а^н^ияx_i_₁, x_i_₁^.

Если подынтегральную функцию

fx

заменять полиномом второй

^степ^е^ни^на^от^р^ез^к^а^хx_i_₁, x_i^,

i 1, n, с привлечением дополнительных точек

_x_^xi^^xi1 _,

i ₂

i 1, n

– середин данных отрезков, то число отрезков разбиения

nможет быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид:

b _h_n

_f_x_dx ₆__f_i_₁ 4 f_i

f_i_

_ai1

 ^h_f 4 f 2 f 4 f

 ...  2 f

 4 f f_

(3.9)

₆0 1 1 2

n1 n n

Напомним, что

f_i

fx_i^,

^fi1 ^

fx_i_₁^,

f_i

fx_i, i 1, n.

Замечание 1. Формула (3.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (3.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:

b _n

_fxdx _A_if_i,

_ai0

где

f_i^–^{значения}^{подынтегральной}^{функции}^в^{узловых}^точках

x_i^,^а

A_i^–

весовые коэффициенты.

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 15

Смотрите также файлы

Инновационное предпринимательство как особая форма экономической активности.docx

Реферат по дисциплине Основные принципы охраны здоровья, медицинское право Тема Право на охрану здоровья. Право на медицинскую помощь. Права пациента. студентка группы л519.docx

Анализ диагностической работы по обществознанию в 9 В кл. Учитель Боваев Ч. М цель.docx

История денег Коллективный проект учащихся 6 класса.pptx

Урока музыки для вкр санктПетербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение.docx

Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно