Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,85Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.11.2023

Просмотров: 142

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

^x^^x^^hⁱ^^xⁱ^^xⁱ^¹, i 1, n:

i i1 _{2 2}

b _n

I_S _f xdx _h_if x_i .

_ai1

Пример геометрической интерпретации метода средних прямоугольни- ков представлен на рис. 3.

y y fx

fx₁

x₀ x₁

^x¹^xnx

Рис. 3. Пример метода средних прямоугольников.
В случае постоянного шага интегрирования, когда
h h ^b^^a,

i _n

i 1, n, формула средних прямоугольников будет иметь следующий вид

b _n

I_S _fxdx h_fx_i,

a
где x a h^i ¹^, i 1, n.

i1

i  ₂

 

Из трех рассмотренных выше методов в подавляющем большинстве случаев метод средних прямоугольников является наиболее точным.

Замечание. Если подынтегральная функция

fx

задана не

аналитическим выражением, а таблично, то формула средних прямоугольников оказывается неприменима (без привлечения дополнительной интерполяции), так как значения функции известны лишь в узловых точках. В этом случае пользуются либо формулами левых или правых прямоугольников, либо используют другие методы.

Метод трапеций

^Н^а^ка^ж^д^о^м^ч^а^сти^чн^ом^от^р^езке^ин^т^ег^ри^ро^в^а^н^ияx_i_₁, x_i^,

i 1, n, заме-

ним подынтегральную функцию

fx

полиномом первой степени

_ix ^–

^прямой^{линией,}^{проходящей}^через^точкиx_i_₁, f_i_₁ ^иx_i, f_i^:

fx  

x  f

f_i

^fⁱ^¹x x

, i 1, n.

i i1

x_i x
i1

i1

Пояснение. В общем виде уравнение прямой линии, проходящей через две ^точкиx₁, y₁ ^иx₂, y₂^,^{задается следующим}^{образом:}

y y₁

_x x₁

, откуда y y  ^^y²^^y¹^x x.

2

y₂ y₁

x₂ x₁

¹x

 x₁

1
Подставляя полученное выражение в формулу (3.1) и выполняя инте- грирование по частичным отрезкам, приходим к формуле трапеций:

b

1

n

2
^^^^^^^ 

I_T_f

a

xdx

_h_i

i1

^fi1

^f_i^,^гдеh_i

^xi ^xi1 ^.

На отрезках x_i_₁, x_i,

i 1, n, площадь под графиком функции

y fx

заменяется площадями трапеций с основаниями, равными значениям функ-

ции

fx ^на^концах^{отрезка,}^и^{высотой,}^равнойh_i

y

(рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация метода трапеций.
В случае постоянного шага интегрирования, когда

i 1, n, формула трапеций принимает вид:
h h ^b^^a,

i _n

b

h

n

2
    

   ^h      

I_T_f

a

xdx



i1

^fi1 ^fi

₂f₀

2 f₁

2 f₂

...

²^fn1

f_n. (3.6)

Для удобства вычислений формулу (3.6) записывают следующим обра-

зом:

b
  ^

f₀ f_n

n1 _

I_T _f

^x^dx^^h

2

^_^fi ^.

_a i1 

Вид представленной формулы позволяет сделать вывод, что она может быть сформирована также исходя из других соображений, так как получае- мый с ее применением результат является средним арифметическим резуль- татов использования формул левых (3.3) и правых (3.4) прямоугольников.

Поэтому

_I_I_L I_RT ₂

и указанное утверждение справедливо для случаев

равных и неравных шагов интегрирования.

Замечание. Несмотря на то, что в методе трапеций для аппроксимации подынтегральной функции используются полиномы первой степени, по сравнению с методами прямоугольников, которые используют полиномы ну- левой степени, точность метода трапеций оказывается ниже точности метода средних прямоугольников. Более высокая точность метода средних прямо- угольников объясняется «удачным» выбором узловых точек для вычисления значений подынтегральной функции.