Файл: Лаб. прак. частина 1.doc

Закономірності випадкових похибок детально вивчені і розроблені методи їх оцінок. Поява тієї чи іншої випадкової похибки є так званою випадковою подією. Випадковими подіями називають такі події, поява яких не може бути точно передбаченою. Вони вивчаються теорією імовірностей, яка дає методи розрахунку імовірності їх появи.

Вимірювання, які виконуються при додаткових умовах, одним і тим же дослідником, одним і тим же приладом, за тією ж самою методикою вимірювань, називаються рівно точними. Нехай при повторних рівно точних вимірюваннях деякої фізичної величини x одержали n числових значень, які дещо відрізняються одне від одного:

х₁, х₂, х₃, ... х_n.

Припустимо, що в цьому ряді немає систематичних і грубих похибок. Тоді відхилення кожного з цих результатів вимірювання від істинного значення і вимірюваної величини можна вважати випадковою похибкою цього вимірювання:

x_i = x_i – x₀.

Різні за числовим значенням похибки мають різну імовірність своєї появи. У більшості фізичних вимірювань випадкові похибки описуються так званим законом нормального розподілу або формулою Гаусса. Ця формула одержана з врахуванням таких емпіричних положень:

1. імовірність появи похибки зменшується із збільшенням її числового значення, тобто чим більша абсолютна величина похибки, тим рідше вона зустрічається;

2. при великому числі вимірювань похибки однакової абсолютної величини, але різних знаків, мають однакову імовірність.

Формула Гаусса має такий вигляд:

(5)

де y(x_i) – імовірність появи похибки x_i;

e – основа натуральних логарифмів;

 – середнє квадратичне відхилення результату спостереження;

x_i = x_i - x₀ ;

(6)

Графіки формули Гаусса для деяких значень  показані на рис.1.

Рис. 1.

3 цього рисунка видно, що чим менше , тим менша імовірність появи великої за абсолютною величиною випадкової похибки x_i.

Середнє квадратичне відхилення  результату спостереження характеризує розкид окремих значень x_i даного ряду результатів вимірювання. Чим менше , тим менший розкид окремих значень x_i, тобто вища точність вимірювань.

Користуючись кривою нормального розподілу випадкових похибок (рис. 1), легко визначити імовірність появи відхилень певного числового значення. Але ще більший інтерес становить визначення імовірності того, що відхилення x_i лежать в межах - x до x, тобто імовірність появи відхилень x_i , абсолютна величина яких не перевищує деякого заданого значення x. Цю імовірність називають довірчою імовірністю і позначають буквою p.

Інтервал значень від x₀ - x до x₀ + x, в який попадає дійсне значення вимірюваної величини із заданою імовірністю p називають довірчим інтервалом. Зрозуміло, що чим більшої довірчої імовірності ми вимагаємо, тим більшим буде відповідний довірчий інтервал, і, навпаки, чим більший довірчий інтервал ми задаємо, тим імовірніше, що результати вимірювань не вийдуть за його межі.

---

При виконанні лабораторних робіт рекомендується вибирати довірчу імовірність p=0,9. При обмеженій кількості вимірювань (n= 5...10) вводять коефіцієнт Стьюдента t_p,n, який залежить від числа вимірювань n_і і довірчої імовірності. Значення коефіцієнтів Стьюдента для різних значень n при довірчій імовірності p=0,9 наведені в табл.1.

Таблиця 1

n								10	30	
tp,n	2,92	2,35	2,13	2,02	1,94	1,93	1,8б	1,83	1,70	1,65

Похибки прямих вимірювань

Припустимо, що грубі похибки відсутні, а систематичні похибки вилучені, тобто неточність вимірювання визначається тільки похибкою вимірювальних приладів і випадковими похибками. Можливі три випадки:

1. випадкові похибки менші за похибки приладу;

2. випадкові похибки такого ж порядку, як похибки приладу;

3. випадкові похибки більші за похибки приладу.

У першому випадку похибка вимірювання оцінюється тільки за похибкою приладу, а в другому випадку похибка вимірювання розраховується за формулами, які дає теорія випадкових похибок.

Для з'ясування, який випадок має місце, необхідно виконати декілька однакових вимірювань. Якщо результати всіх вимірювань однакові в межах похибки приладу, то похибка вимірювання визначається похибкою приладу (систематична похибка вимірювання):

(7)

де t_p, – коефіцієнт Стьюдента при n  ,

x_np – абсолютна похибка приладу.

Абсолютна похибка приладу, як правило дорівнює половині ціни його поділки або визначається класом його точності (найчастіше для електровимірювальних приладів).

У другому випадку проводять n рівноточних вимірювань. Теорія випадкових похибок доводить, що найбільш близьким до істинного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне ряду рівно точних вимірювань, тобто

(8)

де x_i – числове значення, одержане при і-му вимірюванні.

Оскільки відхилення результату вимірювання x від істинного значення вимірюваної величини (4) нам невідоме (внаслідок невизначеності x₀), то відповідно нам невідома і величина  , яка визначається формулою (6). Тому вводять величину

(9)

яку називають оцінкою середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від їх середнього арифметичного.

Якщо вимірювань дуже багато, то виконується співвідношення:

Випадкова абсолютна похибка визначається за формулою:

x₂ = t_p,n S_x, (10)

де t_p,n – коефіцієнт Стьюдента.

Загальна абсолютна похибка вимірювання у цьому випадку дорівнює:

(11)

У третьому випадку, очевидно, абсолютна похибка вимірювання визначається за формулою (10).

Остаточні записи результату прямого вимірювання мають форму:

(12)

де E – відносна похибка вимірювання.

Запис результату вимірювання

о значає, що істинне значення x₀ вимірюваної величини з імовірністю p лежить в середині інтервалу [,].

---

Таким чином, можна рекомендувати слідуючий порядок математичної обробки результатів прямих вимірювань:

1. знайти абсолютну систематичну похибку вимірювання, користуючись формулою (7);

2. знайти середнє арифметичне значення вимірюваної величини за формулою (8);

3. знайти оцінку середнього квадратичного відхилення за формулою (9);

4. знайти абсолютну випадкову похибку, користуючись табл. 1 і формулою (10);

5. знайти загальну абсолютну похибку вимірювання за формулою (11);

6. записати остаточний результат (12).

Похибки посередніх вимірювань

Нехай вимірюється деяка фізична величина y, яка є функцією незалежних величин х₁, х₂ ,..., х_n , числові значення яких знаходять за допомогою прямих вимірювань:

y = f(х₁, х₂ ,..., х_n), (13)

Необхідно знайти похибки вимірювання величини y за відомими похибками незалежних змінних x_i, i = 1, … ,n.

Абсолютну похибку вимірювання величини y можна знайти за формулою:

(14)

де x_i – загальні абсолютні похибки прямих вимірювань величин x₁, x₂,x₃, ..., x_n, знайдених за правилами, розглянутими у попередньому розділі.

С ереднє значення y отримується підстановкою в (13) середніх арифметичних x₁, x₂, ... , х_n. Значення частинних похідних у формулі (14) знаходяться для середніх арифметичних значень величин x₁, x₂, ... , x_n.

Для математичної обробки результатів посередніх вимірювань можна рекомендувати слідуючий порядок:

1. виміряти кілька разів величини x₁, x₂, ... , x_n (але не менше 3 вимірювань кожної з них);

2. виконати п.п. 1-6 попереднього розділу;

3. визначити середнє значення досліджуваної величини y за формулою:

y = f ( x₁, x₂, ... , x_n);

4. знайти абсолютну похибку вимірювання величини y за формулою (14);

5. записати одержані результати в такому вигляді:

6. зробити аналіз одержаних результатів та висновки.

При математичній обробці результатів вимірювання доводиться використовувати табличні дані математичних та фізичних величин. Ці дані наводяться з правильними цифрами і однією (останньою) сумнівною. За абсолютну похибку табличних величин приймають половину одиниці сумнівної цифри. Наприклад, sin 58°= 0,8480.

Абсолютна похибка дорівнює ±0,00005.

У фізичному лабораторному практикумі є лабораторні роботи, в яких та чи інша фізична величина отримується шляхом сумісних вимірювань. Наприклад, вимірювання термічного коефіцієнту опору, сталої термо-е.р.с. Теорія випадкових похибок рекомендує в цьому випадку використовувати так званий метод найменших квадратів.

Слід звернути увагу, що в останні роки набули поширення нестатистичні методи математичної обробки результатів вимірювань. Одним з них є метод, який базується на понятті нечітких (розмитих) множин. Теорія нечітких множин за свої 25 років існування перетворилась у розвинуту теорію, яка має важливе практичне застосування в тих випадках, коли задачі не допускають точного формулювання, включаючи неточності і невизначеності.

---

---

Розділ перший

Механіка

Перед початком виконання лабораторної роботи студенту необхідно одержати допуск до роботи. Для цього йому слід відповісти на декілька запитань з теорії методу і знання лабораторної установки. Одержавши відмітку про допуск на бланку звіту, студент може приступити до виконання роботи.

Проробивши всі необхідні вимірювання і записавши їх в звіт студент виконує контрольні розрахунки, тобто знаходить одну або декілька вимірюваних величин і при необхідності узгоджує їх у викладача. Бланк звіту з результатами контрольного розрахунку підписується у викладача.

В першому розділі перед початком подання теорії методу до кожної лабораторної роботи є посилання на підручники, які в достатній кількості є в науковій бібліотеці університету.

1. Савельєв И.В. "Курс общей физики". Т.І.М:Наука:1977.

2. Яворский Б.М. і.інш. "Курс физики". Т.І.М:Наука:1977.

Студент може користуватись також будь-яким іншим підручником де є відповідний теоретичний матеріал.

Лабораторна робота № 1-1

Дослідження прямолінійного руху тіл в полі

тяжіння за допомогою машини Атвуда.

Л. 1. §§ 3, 4, 7, 8.

Мета роботи: дослідити закони руху тіл в полі земного тяжіння.

Прилади і матеріали: машина Атвуда, набір важків, додаткові

тягарці, електронний секундомір.

Теоретичні відомості.

Машина Атвуда призначена для вивчення законів прямолінійного рівномірного та рівномірно прискореного рухів і, зокрема, для визначення прискорення вільного падіння тіл.

Будова машини Атвуда зображена на рис.1. Принцип її дії грунтується на використанні законів вільного падіння тіл в повітрі. Через нерухомий блок, при обертанні якого силою тертя в осі можна знехтувати, перекинута нитка з двома однаковими вантажами масою М кожний. В цьому випадку система знаходиться в рівновазі. Якщо на один з вантажів покласти невеликий додатковий тягарець масою m, то система, що складається з двох вантажів і тягарця, одержить деяке прискорення a під дією сили F= mg і на шляху S₁ , буде рухатись з цим прискоренням.

Кільцем Р дія додаткового тягарця m припиняється і вантажі, рухаючись рівномірно, пройдуть шлях S₂.

Знайдемо закон руху вантажу М , розташованого праворуч. Для цього скористаємося системою координат, початок якої знаходиться на осі блока, а вісь ox напрямлена вертикально вниз. На вантаж М діють дві сили : сила тяжіння (М+m)g та сила натягу правої частини нитки Т₁. Запишемо другий закон Ньютона:

( М + m ) g - T₁ = ( M + m ) a , (1)

де а – прискорення вантажу М.

Тепер застосуємо другий закон Ньютона до вантажу М, що розташований ліворуч. Так як нитка нерозтяжна, прискорення лівого вантажу за абсолютним значенням рівне прискоренню правого, але направлене в протилежний бік, тобто воно рівне – а. Натяг лівого кінця нитки позначимо через Т₂ , тоді :

---