Файл: Лаб. прак. частина 1.doc

М g - T₂ = - M а, (2)

У випадку невагомого блока і відсутності сили тертя в його осі :

Т₁ = Т₂ . (3)

З рівнянь ( 1 ) , ( 2 ) та ( 3 ) знайдемо прискорення системи :

(4)

Таким чином, вважаючи g відомим та проводячи досліди з різними вантажами М і додатковими тягарцями m, за формулою (4) можна вирахувати прискорення а і здійснити експериментальну перевірку другого закону Ньютона.

Машина Атвуда дає можливість також визначити прискорення вільного падіння g, що й складає основне завдання даної роботи. Для цього з формули (4) знайдемо g :

(5)

Прискорення а безпосередньо виміряти неможливо, але його легко вирахувати, вимірявши шлях S₁ , пройдений вантажем М при рівномірно прискореному русі, а також шлях S₂ рівномірного руху та час t його проходження.

Для рівномірно прискореного руху, при умові, що початкова швидкість V₀ рівна нулеві, пройдений шлях можна знайти, маючи кінцеву швидкість та прискорення :

(6)

Кінцева швидкість V набувається вантажем М в момент проходження кільця Р, яке припиняє дію додаткового тягарця. Далі з цією швидкістю вантаж рухається рівномірно і за час t проходить шлях S₂ . Тому :

(7)

З формул (6) і (7) знаходимо прискорення а , підставляючи його значення в вираз (5) ,остаточно одержуємо :

(8)

де М – маса великого вантажу;

M – маса додаткового тягарця;

S₁ – шлях, що проходить вантаж (М+m) при рівномірно прискореному русі;

S₂ – шлях, пройдений вантажем М при рівномірному русі;

T – час проходження шляху S₂.

Порядок виконання роботи

1. Підготувати прилад до вимірювань, для чого необхідно :

• з допомогою регулюючих ніжок встановити колонку приладу строго вертикально ;

• змістити правий вантаж у верхнє положення, покласти на нього додатковий тягарець та впевнитись, що система знаходиться в стані спокою;

• натиснути клавішу “ПУСК” і переконатись, чи прийшла система в рух, чи був затриманий на середньому кронштейні додатковий тягарець, чи виміряв мілісекундомір час проходження правим вантажем шляху S₂ та чи була система загальмована в кінці цього шляху;

• звільнити клавішу “СБРОС” та перевірити чи відбулось обнуління показів вимірювача і звільнення електромагнітного блокування ролика;

• змістити правий вантаж у верхнє положення і звільнити клавішу “ПУСК”, а також перевірити виникнення повторного блокування ролика;

2. На правий вантаж встановити один з додаткових тягарців.

3. Сумістити нижню грань правого вантажу з рискою, що нанесена на верхньому кронштейні.

4. Виміряти з допомогою шкали колонки шляхи рівномірноприскореного руху S₁ та рівномірного руху S₂.

5. Натиснути клавішу “ПУСК”.

6. Записати значення часу t.

7. Вимірювання повторити не менше 5 разів.

8. Дані всіх вимірювань занести в таблицю:

№ досліду	М, кг	m, кг	S1, м	S2, м	t, с	g, м/c2	g, м/с2	, %

---

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1. Визначити середнє значення часу руху вантажу на шляху S₂ за формулою:

де n – кількість виконаних вимірювань;

t_i – час і-того вимірювання.

2. За допомогою формули (8) вирахувати значення прискорення вільного падіння тіл.

3. Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювань.

Контрольні запитання

1. Механічний рух як найпростіша форма руху матерії. Відносність руху. Види руху.

2. Кінематика матеріальної точки: траєкторія, шлях, переміщення, швидкість, прискорення. Поступальний рух твердого тіла.

3. Проаналізуйте можливі джерела та причини похибок при визначенні g.

Лабораторна робота № 1-2

Визначення прискорення вільного падіння

з допомогою універсального маятника

Л.1. §§ 4. 2. §§ 64. 65.

Мета роботи: експериментальне визначення прискорення вільного падіння тіл з допомогою коливань математичного і фізичного маятників.

Прилади і матеріали: установка, обладнана математичним і фізичним маятниками; електронним мілісекундоміром і фото-електричним датчиком.

Теоретичні відомості

I. Падіння тіл на Землі — одне з проявлень закону всесвітнього тяжіння, згідно з яким сила взаємодії F двох матеріальних точок з масами m₁ i m₂ на віддалі r визначається за формулою:

(1)

де  = 6.67·10^-11 м³/кгс² — гравітаційна стала.

Під дією сили притягання до Землі всі тіла падають з однаковим відносно поверхні Землі прискоренням, яке прийнято позначати буквою g. Це значить, що в системі відліку, зв’язаною з Землею, на всяке тіло масою m діє сила:

Р = m g. (2)

У цьому випадку дану систему відліку можна вважати інерціальною. На основі закону тяжіння прискорення вільного падіння повинне бути:

(3)

де М – маса Землі ,

R – радіус Землі в даному місці.

Визначення величини прискорення вільного падіння дало можливість вирахувати масу Землі та середню густину її складу (М=5,9610²⁴ кг, =5,510³ кг/м³ ). Збільшення прискорення вільного падіння при переміщенні від екватора до полюсів показало, що Земля має форму сплюснутого вздовж осі обертання геоїда.

Земна кора в різних місцях має неоднаковий склад, тому в місцях, де кора має більшу густину, прискорення вільного падіння збільшується . Це явище служить основою одного з методів розвідки корисних копалин.

Згідно закону тяжіння по мірі віддалення від Землі прискорення зменшується обернено пропорційно квадратові віддалі до центру Землі. Це зменшення являється суттєвим і приймається до уваги при розрахунках руху штучних космічних тіл.

При вивченні руху тіл відносно земної поверхні необхідно мати на увазі, що система відліку, зв’язана з Землею не є інерціальною. Прискорен-ня, що відповідає рухові по орбіті, значно менше, ніж прискорення, яке зв’язане з добовим обертанням Землі. Тому з достаньою точністю можна вважати, що система відліку, що зв’язана з Землею, обертається відносно інерціальних систем з постійною кутовою швидкістю . Таким чином, розглядаючи рух тіл відносно Землі, необхідно вводити відцентрову силу інерції :

---

F_i = m ² r, (4)

де m – маса тіла;

r – віддаль тіла до земної осі (рис.2).

Обмежуючись випадками, коли висота тіл над поверхнею Землі невелика , можна прийняти r рівним:

r = R cos  , (5)

де R – радіус Землі ;

 – широта місцевості ( рис.1 ).

Вираз для сили інерції в такому випадку набуде вигляду:

Fi = m 2 R cos  (6)

Рис.1 Рис.2

Отже, прискорення вільного падіння тіл відносно Землі обумовлюється дією двох сил: сили тяжіння та сили інерції .

Результуюча цих двох сил:

(7)

є вагою тіла ( див. формулу ( 2 )).

Р ізниця між вагою тіла і силою притягання до Землі невелика, так як відцентрова сила інерції значно менша за . Кут  між напрямками та можна оцінити, скориставшись теоремою синусів ( рис. 2 ):

звідки sin  = 0,0035 sin   cos  = 0,0018 sin 2.

Так як кут  малий, то можна записати

 = 0,0018 sin 2. (8)

Напрямок дії ваги тіла , що визначається з допомогою виска, у різних місцях на поверхні Землі, крім полюсів і екватора, не збігається з напрямом до центра Землі, вздовж якого діє сила тяжіння . Але кут  між ними дуже малий і на проміжних широтах визначається виразом (8).

Різниця між силою тяжіння та вагою тіла на полюсах рівна нулеві, а на екваторі досягає максимуму, рівного 0,3% сили тяжіння .

Завдяки дії відцентрової сили інерції та за рахунок сплюснутості земної кулі біля полюсів прискорення вільного падіння g змінюється з широтою в межах від 9,780 м/с² на екваторі до 9,832 м/с² на полюсах. Значення g=9,80665 м/с²приймається як нормальне (стандартне) прискорення вільного падіння тіл на Землі.

Експериментально визначити прискорення вільного падіння можна при вивченні коливань фізичного та математичного маятників.

II. Фізичним маятником називають тверде тіло, що може здійснювати коливання навколо нерухомої точки, яка не співпадає з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника C знаходиться під точкою підвіса маятника O на одній з нею вертикалі (рис.3).

При відхиленні маятника від положення рівноваги сила P=mg ви-кликає появу так званої квазіпружної сили, яка намагається повернути маятник в положення рівноваги. Ця сила аналогічно пружній описується закономірністю

F=-kx. (9)

Рис. 3

Знак “ - ”говорить про те, що зміщення x і сила F мають протилежні напрямки. Таким чином, при відхиленні маятника від положення рівноваги на кут  виникає момент сили, що прагне повернути маятник в положення рівноваги. Цей момент сили дорівнює:

M= -mgl sin  , (10)

де m – маса маятника,

l – віддаль між точкою підвісу і центром інерції маятника.

Позначивши момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку підвісу, буквою I, можна записати рівняння динаміки обертального руху:

I = -mgl sin  , (11)

де ε – кутове прискорення.

Розглядаючи випадки малих коливань, коли кут  малий і справджу-ється співвідношення sin  =  та ввівши позначення

---

(12)

із співвідношення ( 11 ) одержимо рівняння:

(13)

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Його загальний розв’язок має вигляд:

 = a cos (  t + φ₀ ) . (14)

Отже, при малих коливаннях кутове відхилення маятника змінюється з часом за гармонічним законом.

Так як циклічна частота ₀ зв’язана з періодом коливань співвід-ношенням:

(15)

то, враховуючи співвідношення (12), одержимо формулу періоду коливань фізичного маятника:

(16)

Нехай фізичний маятник є матеріальною точкою масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці довжиною l . Такий маятник називають математичним. Момент інерції його відносно точки підвісу визначається за формулою:

I = m l ². (17)

Використовуючи вирази (16) та (17), можна одержати формулу періоду коливань математичного маятника:

(18)

Достатньо задовільним наближенням до математичного маятника може служити невеличка кулька , підвішена на довгій тонкій нитці.

Із співставлення формул (16) та (18) одержуємо що математичний маятник довжиною

(19)

буде мати такий же період коливань, як і даний фізичний маятник. Величину l_звназивають зведеною довжиною фізичного маятника. Таким чином, зведена довжина фізичного маятника — це довжина такого математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань даного фізичного маятника.

Точка на прямій, що з’єднує точку підвісу з центром інерції та лежить на відстані зведеної довжини від осі обертання, називається центром коливань фізичного маятника (точка О на рис. 3). Центр коливань і точка підвісу — спряжені точки: якщо їх поміняти місцями, то період коливань фізичного маятника не зміниться.

Дійсно, згідно з теоремою Штейнера, момент інерції маятника відносно осі О може бути записаний у вигляді:

I = I₀ + ml². (20)

де I₀ – момент інерції відносно осі, що паралельна до осі обертання і проходить через центр інерції маятника. Підставляючи (20) в формулу (19), одержуємо:

(21)

З цього виразу випливає, що зведена довжина маятника завжди більша l, тому точка підвісу О і центр коливання О лежать по різні боки відносно центру інерції.

Тепер підвісимо маятник в точці, що співпадає з центром коливань О. згідно формули (21) зведена довжина маятника в цьому випадку буде рівною:

(22)

де – відстань між попереднім центром коливань та центром інерції маятника.

Як бачимо, l _зв = l _зв = O C + C O = l + l , звідки випливає висновок, що при підвішуванні маятника в центрі коливань його зведена довжина, а значить і період коливань, не змінюються, тобто центр коливань і точка підвісу є взаємно спряженими точками.

IV. Доведена властивість спряженості покладена в основу визначення прискорення вільного падіння з допомогою так званого оборотного маятника. Оборотним називають такий маятник, у якого поблизу кінців є дві паралельні одна одній опорні призми, за які він може по черзі підвішуватись. Вздовж маятника можуть переміщуватись та закріплюватись на ньому важкі вантажі здебільшого у вигляді циліндрів або дисків. Переміщенням добиваються того, щоб при підвішуванні маятника за любу із призм період коливань був однаковим. Тоді відстань між опорними ребрами призм буде рівною l _зв. Вимірюючи період коливань маятника і знаючи зведену довжину його l _зв за формулою

---

(23)

знаходять прискорення вільного падіння g .

Експериментальна установка являє собою прилад, що дає можливість з високим ступенем точності визначити період коливань математичного та фізичного (оборотного) маятників з допомогою фотоелектричного датчика й універсального мілісекундоміра. З допомогою даного приладу визначається час t певної кількості n повних коливань маятника, а потім за формулою [24] вираховується період коливань

. (24)

Порядок виконання роботи

а). Математичний маятник.

1. Нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком встановити в нижній частині колонки, щоб верхня грань кронштейна показувала на шкалі довжину не менше 50 см.

2. Повертаючи верхній кронштейн, помістити над фотоелектричним датчиком математичний маятник.

3. Обертаючи корбочку на верхньому кронштейні встановити довжину математичного маятника так, щоб кулька перекривала оптичну вісь фотоелектричного датчика.

4. Ввімкнути прилад перемикачем "Сеть".

5. Відхилити кульку на 4-5° від положення рівноваги.

6. Натиснути кнопку "Сброс".

7. Після підрахунку вимірювачем близько 10 коливань натиснути клавішу "Стоп".

8. Значення кількості коливань n та часу t занести в таблицю.

9. Вимірювання повторити 3-5 разів.

10. По шкалі колонки визначити довжину маятника l.

в). Фізичний (оборотний) маятник.

1. Повернути верхній кронштейн на 180°.

2. Встановити маятник опорною призмою на вкладишеві верхнього кронштейна.

3. Нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком перемістити таким чином, щоб стержень маятника перекривав оптичну вісь.

4. Відхилити маятник на 4-5° від положення рівноваги.

5. Виконати вимірювання періоду коливань.

6. Встановити маятник на другій опорній призмі. При цьому необхідно виконати корекцію положення фотоелектричного датчика.

7. Визначити період коливань у даному положенні.

8. Переміщенням вантажу, який знаходиться між опорними призмами, добитися співпадання періодів коливань при підвішуванні за яку-небудь із призм з точністю 0,5 % .

9. Визначити зведену довжину оборотного маятника l_зв, підраховуючи число рисок на стержні між опорними гранями призм, що нанесені через кожні 10 мм.

Обробка результатів експерименту

1. За формулою (24) підрахувати період коливань математичного маятни-ка.

2. Використовуючи формулу (18), визначити значення прискорення віль-ного падіння.

3. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

4. За формулою (23) визначити прискорення вільного падіння.

5. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

1. Чому коливання математичного та фізичного маятників описуються гармонічним законом тільки при малих кутах відхилення від положення рівноваги?

2. Якими величинами визначаються періоди коливань математичного та фізичного маятників?

3. Що таке зведена довжина фізичного маятника?

4. У чому полягає основна властивість центра коливань фізичного маятника?

5. Чи будуть рівними між собою періоди коливань однакових маятників, розташованих на екваторі і на полюсах земної кулі?

6. Оцінити похибку вимірювання g з допомогою оборотного маятника.

---