Файл: Лаб. прак. частина 1.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.12.2021

Просмотров: 1800

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Табл. 1

m, кг

t, с

H, м

r1, м

r2, м







  1. Для визначення моменту інерції маятника Обербека теоретичним шляхом необхідно заміряти довжину стержня хрестовини l, записати масу вантажів m1 та заміряти їх довжину l0.

  2. Заміряти діаметр стержня хрестовини D і віддаль вантажів від осі обертання R. Всі дані занести в таблицю 2.

Табл. 2

l, м

D, м

m1, кг

l0, м

m2, кг

R, м

R0, м









де m2 маса стержня, яку можна знайти за формулою:

(8)

 – густина матеріалу стержнів,

R віддаль від осі обертання до центрів мас вантажів


(9)


Обробка результатів експерименту і їх аналіз

  1. За формулою (4) вирахувати момент інерції маятника Обербека для різних радіусів диска та вантажів m .

  2. Визначити абсолютну та відносну похибки експерименту.

  3. За формулою (7) визначити теоретичний момент інерції маятника Обербека.

  4. Порівняти результати, одержані експериментальним та теоретичним шляхом. Зробити відповідні висновки.


Контрольні запитання

  1. Тверде тіло як система матеріальних точок. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

  2. Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла. Момент інерції, момент сили, момент імпульсу.

  3. Кінетична енергія тіла, що обертається.

  4. Закони збереження енергії та моменту імпульсу.


Лабораторна робота №1 - 8

Визначення моментів інерції тіл методом

крутильних коливань

л.1. §§31, 32; 2. §§ 64,65

Мета роботи: поглиблення поняття моменту інерції тіла; експериментальне і теоретичне визначення моментів інерції тіл.

Прилади і матеріали: крутильний маятник з вмонтованим електронним секундоміром; набір досліджуваних тіл; штангенциркуль.


Теоретичні відомості

При розв'язуванні багатьох питань динаміки обертового руху тіл зустрічаються величини, які визначаються через суми добутків мас точок тіла на квадрати їх віддалей до осі, до точки чи до площини. Ці суми називають моментами інерції тіла відносно осі, відносно точки або відносно площини.

Наприклад, момент інерції тіла відносно осі z дорівнює:


Iz = mi(xi2 + yi2) =miri2, (1)


де mi маса і-тої точки;

xi, yi абсциса та ордината цієї точки;

ri віддаль її до осі z .

Аналогічно визначається момент інерції відносно якої-небудь точки чи площини. Так, момент інерції тіла відносно точки 0 дорівнює:

(2)

а момент інерції відносно площини ХОY:

(3)


Формули (1) та (2) дозволяють одержати наступне співвідношення:

(4)


яке вказує на зв'язок між моментами інерції тіла відносно координатних осей та відносно початку координат. Вираз (4) дає можливість в багатьох випадках порівняно легко визначити моменти інерції тіл.

Знайдемо момент інерції тіла відносно довільної осі OL, що проходить через початок координат 0. Нехай напрямок цієї осі характеризується направляючими кутами , , . Радіус-вектор довільної точки тіла масою mi позначимо через ri, а віддаль цієї точки до осі OL через Ri. Тоді, згідно з визначенням моменту інерції відносно осі, маємо:


(5)


З рис.1 видно, що Ri = ri sin . Нехай одиничний вектор осі OL дорівнює l. Тоді | ri l | = ri sin і відповідно R2 = | ri l |. Так як l =(cos · cos · cos ), а

то проекції цього вектора на осі координат дорівнюють:

Рис.1

Рис.2


Таким чином, момент інерції тіла відносно осі 0L можна записати у вигляді:

(6)



Після очевидних перетворень одержуємо:

(7)


Звернемо увагу, що

Введемо позначення для сум:


(8)

Величини Iхy, Iyz, Iхz називають відцентровими моментами інерції тіла відносно відповідних пар осей. Іншими словами, відцентровий момент інерції тіла відносно якої-небудь пари осей називають суму добутків мас всіх точок тіла на їх координати відносно цих осей. Тепер формула (7) набуде вигляду:

(9)


З одержаної формули випливає, що для визначення моменту інерції тіла відносно осі, яка проходить через точку, необхідно знати шість величин — три моменти інерції відносно координатних осей та три відцентрових моменти інерції.

Якщо через точку О провести пучок осей, то за формулою (9) можна визначити моменти інерції тіла відносно всіх осей пучка. У загальному випадку вони виявляться різними. Для наочного уявлення зміни моментів інерції тіла відносно осей пучка використаємо наступний геометричний спосіб. Відкладемо від точки О вздовж осі OL відрізок R, довжина якого рівна


Виконавши таку побудову для кожної осі пучка, одержимо сукупність точок, що складають деяку поверхню. Знайдемо рівняння цієї поверхні. З рис.1 видно, що координати кінця відрізка дорівнюють:

(11)


Домноживши обидві частини рівняння (9) на R2 і приймаючи до уваги співвідношення (10) та (11), одержуємо:

(12)

Якщо зробити припущення, що IL 0 то вираз (12) являє собою рівняння еліпсоїда. Знайдений еліпсоїд називають еліпсоїдом інерції для даного тіла в точці 0.

Момент інерції тіла відносно осі характеризує інертність його в обертовому русі, а також розподіл маc тіла відносно цієї осі. Тому еліпсоїд інерції тіла в якій-небудь точці є загальною геометричною характеристикою розподілу мас тіла відносно пучка осей, що проходять через цю точку.

З аналітичної геометрії відомо, що рівняння еліпсоїда значно спрощується, якщо осі координат вибрати спрямованими вздовж його головних діаметрів. У цьому випадку рівняння еліпсоїда інерції (12) набуває вигляду:

(13)


тобто, відцентрові моменти інерції тіла дорівнюють нулеві.

Три взаємно перпендикулярних осі, що проходять через дану точку і відносно яких відцентрові моменти інерції тіла рівні нулеві, називаються головними осями інерції для даної точки, а моменти інерції Ix, Iy, Iz відносно цих осей носять назву відповідно головних моментів інерції тіла.

Написавши рівняння еліпсоїда в канонічній формі

та співставивши його з рівнянням (13), знайдемо півосі еліпсоїда інерції тіла:

(14)


Напрямок головних осей тіла часто можна визначити, користуючись принципом симетрії. Наприклад, головні осі однорідного прямокутного паралелепіпеда відповідно паралельні його ребрам.


Якщо тіло має симетрію обертання навколо деякої осі, то його еліпсоїд інерції має таку ж симетрію. До тіл подібного типу відноситься, наприклад, циліндр. Причому, у таких випадках вісь симетрії тіла є одночасно однією з головних осей інерції.

Для динаміки обертового руху тіла суттєвою є не симетрія самого тіла, а симетрія відповідного йому еліпсоїда інерції. Всі тіла з однаковими еліпсоїдами інерції динамічно еквівалентні. Наприклад, в динамічному відношенні конус може бути еквівалентним кулі або циліндрові.

Моменти інерції тіл правильної геометричної форми можна теоретично вирахувати з допомогою методів інтегрального числення. Для тіл складної форми простіше момент інерції знаходити експериментально. На практиці особливо велике застосування знайшли методи маятникових та крутильних коливань, а також метод падаючого тягаря (маятник Обербека).

Знання моментів інерції тіл відіграють важливу роль у техніці. У різних машинах зустрічаються деталі, що обертаються з дуже великою частотою. Наприклад, веретена прядильних машин, вали парових газових турбін, колінчаті вали двигунів внутрішнього згорання і т.д. У цих випадках дуже важливо, щоб головна вісь обертання проходила через центр мас. При цьому відбувається зрівноваження відцентрових сил інерції. Слід зокрема підкреслити, що в сучасному машинобудуванні зрівноваження сил інерції є предметом постійних турбот конструкторів.

Моменти інерції перерізів різних конструкційних елементів поряд з характеристиками міцності матеріалу визначають їх властивість чинити опір зовнішнім навантаженням. Це широко використовується при розрахунках будівельних конструкцій — ферм, балок, каркасів і т.п.

У даній роботі для експериментального визначення моментів інерції тіл використовується метод крутильних коливань. Конструкція установки дає

Рис. 3

можливість визначити тільки центральні моменти інерції, тобто, моменти інерції відносно осей, які проходять через центр мас тіла.

Нехай деяке тіло закріплене з допомогою дроту, як показано на рис. 2. Якщо це тіло повернути на невеликий кут навколо осі ОО і потім відпустити, то виникнуть так звані крутильні коливання. Період цих коливань визначається за формулою

(15)


де I момент інерції тіла відносно осі ОО;

f – модуль кручення дроту.

Для визначення невідомої величини f вимірюють спочатку період крутильних коливань T1 тіла, момент інерції I1 якого відомий (куб, I1 =(4,083±0,0005)10- 3 кгм2). Далі вимірюють період крутильних коливань T2досліджуваного тіла і визначають його момент інерції I2 за формулою:


(16)

Опис експериментальної установки

Крутильний маятник зображений на рис.З. До підставки 2, що має чотири гвинтові ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та колонка 3 з кронштейнами 4, 5, 6. Кронштейни 4 і 6 мають затискачі для закріплення стального дроту з рамкою


7. З допомогою кронштейна 5 закріплюється стальна плита 8 з фотоелектричним датчиком 9, електромагнітом 10 та кутовою шкалою 11. Положення електромагніту відносно датчика вказує стрілка на кутовій шкалі.

Конструкція рамки дає можливість закріплювати тіла 12 різних форм. Тіла закріплюються з допомогою гвинтів та рухомої балки з затискними втулками. На передній панелі мілісекундоміра розташовані клавіші управління приладом: "Сеть", "Сброс", "Пуск" і "Стоп", а також цифрові індикатори лічильника періодів коливань та лічильника часу. (Рис. 4)

Період крутильних коливань маятника вираховується на основі показів цифрових індикаторів за формулою:


(17)


де t – час коливань;

N число періодів.

Порядок виконання роботи

  1. Ввімкнути прилад в електричну мережу.

  2. Натиснути клавішу "Сеть". Переконатись, чи всі індикатори висвічують нулі, чи світиться лампочка фотоелектричного датчика.

  3. В рамці приладу закріпити еталонне тіло-куб.

  4. Повертаючи рамку приладу, наблизити стрілку до електромагніта і зафіксувати її в цьому положенні.


Рис.4

.

  1. Натиснути клавішу "Пуск".

  2. Після здійснення не менше 10 крутильних коливань натиснути клавішу "Стоп".

  3. Записати покази лічильника періодів N та лічильника часу t .

  4. Натиснути клавішу "Сброс" і "Пуск".

  5. Виконати пункти 3-7 для досліджуваного тіла, вимірюючи періоди його крутильних коливань відносно головних осей та двох інших центральних осей.

  6. Визначити розміри досліджуваного тіла.

Обробка результатів вимірювання

  1. За формулою (17) знайти періоди крутильних коливань еталонного та досліджуваного тіла.

  2. Вирахувати головні моменти інерції досліджуваного тіла за формулою (16).

  3. Написати рівняння еліпсоїда інерції досліджуваного тіла в формі (1З).

  4. За формулою (16) знайти моменти інерції досліджуваного тіла відносно вибраних інших центральних осей.

  5. Знаючи Ix , Iy , Iz та розміри досліджуваного тіла, за формулою (9) знайти моменти інерції відносно цих же осей і співставити одержані результати.

  6. Знайти похибки вимірювань.


Контрольні запитання

  1. Фізичний зміст поняття моменту інерції тіла. Роль моментів інерції в техніці.

  2. Знаходження моментів інерції окремих тіл правильної форми: стержень, диск, куля, кільце відносно різних осей.

  3. Теорема Штейнера-Гюйгенса та її практичне застосування.

  4. Еліпсоїд інерції тіла та його геометричний зміст. Динамічна еквівалентність тіл.

Лабораторна робота № 1-9

Балістичний крутильний маятник

л.1. §§ 31,32; 2.§§ 64,65

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.

Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджувальне тіло-”снаряд”.

Теоретичні відомості

Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецезійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.


В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" – тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.

Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:

(1)

де Lz проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z;

Mz проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.


Д о удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:

(2)

Звідки слідує, що Lz = const .

До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю . Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R2 від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I2, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:

(3)

На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:

(4)


Маючи початковий момент імпульсу L2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M() залежить від кута повороту маятника , що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення , яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:


(5)


причому, безпосередньо перед ударом W= 0, а при = W= 0.

Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:


(6)


Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення

(7)


де WП() – є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.

Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут . При повороті на безмежно малий кут d силами пружності виконується елементарна робота:

(8)


де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки dWП= – dA, то проінтегрувавши (8), одержуємо: