8. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:


тригонометрия функция уравнение

ГЛАВА II. Методы решения тригонометрических уравнений
2.1 Алгебраический метод
Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).

Пример 1. Решить уравнение

2.2 Разложение на множители
Приводим уравнение к виду f(x)=0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f₁(x)*f₂(x)*...* f_m(x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f₁(x)=0, f₂(x)=0,..., f_m(x)=0. Следует помнить, что эта совокупность не всегда равносильна исходному уравнению и что здесь надо руководствоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл.

Этот метод рассмотрим на примерах.

Пример 2. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Решение. Перенесём все члены уравнения влево:

x + cos x - 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:


1) . sin( ) = 0, 2). cos( ) - sin( ) = 0,

= , tg( ) = 1,

= 2 = arctg 1 + ,

---

= ,


Пример 3. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Решение.
cos 2 x + sin x · cos x - sin 2 x - cos 2 x = 0 ,x · cos x - sin 2 x = 0 ,x · ( cos x - sin x ) = 0 ,


Пример 4. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.

Решение.
cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,


.3 Приведение к однородному уравнению
Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .

Пример 5. Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

Решение.
3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,² x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y₁=1, y₂=3, отсюда

1) tg x = -1, 2) tg x = -3,


.4 Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:

Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Решение.
6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin

---

² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tg ² ( x / 2 ) - 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
.5 Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

Пример 7. Решить уравнение:

.6 Преобразование произведения в сумму
Здесь используются соответствующие формулы.

Пример 8. Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Решение. Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x - cos 8x = cos 4x ,8x = 0 ,

x = π/ 2 + πk , = π/ 16 + πk / 8 .

2.7 Универсальная подстановка
Как известно, метод замены переменной (метод подстановки) удобен в случае, если уравнение можно представить в виде F(j(x)) = 0, где F и j - некоторые функции. Метод заключается в том, что вводят новую переменную t = j(x). Тогда исходное уравнение принимает вид: F(t) = 0. Находим корни последнего уравнения и для каждого его корня t_o решаем уравнение j(x) = t_o. В результате получаем корни исходного уравнения.

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 9. Решить уравнение: 3 sin x - 4 cos x = 3.



Таким образом, решение даёт только первый случай.

---

.8 Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени
Пример 10.



При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.

Ответ:
Пример 11.

Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:

Ответ:

Пример 12.

Решение: т.к.


Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Важным аспектом является изучение тригонометрии - как автономной ветви математики. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине.

В последние годы тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» из основной и старшей школы. Одновременно с этим он традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад, отбором математически одарённых учащихся, а уж на ЕГЭ он имеет место «от А - до С», поскольку чрезвычайно удобен для усложнения.

Другими словами, тригонометрический материал на практике всё более обретает характер селективного инструмента отбора. Соответственно возрастает потребность в хорошей организации обучения этому разделу.

Тем самым анализ учителем возможных подходов к планированию и организации изучения тригонометрии в школе, распределению материала и выбору его сложности с учётом вида школы, предпочтений самого учителя и желаний и способностей учащихся становится чрезвычайно актуальным.

---

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания о видах тригонометрических уравнений; умение решения разными методами тригонометрические уравнения. Умеют использовать элементы причинно-следственного и структурно-функционального анализа.

Учащиеся могут свободно пользоваться знаниями о видах тригонометрических уравнений; умение решения разными методами тригонометрические уравнения. Владеют навыками контроля и оценки своей деятельности, умением предвидеть возможные последствия своих действий.

В проделанной мною работе была изучена история тригонометрии, рассмотрены общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе, формирование понятия «тригонометрических уравнений», охарактеризованы основные понятия формул тригонометрии, дано понятие решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, а так же методы решения тригонометрических уравнений.

ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. - 1995. - №2. -с. 40 - 42.

2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. - М.: Учпедгиз, 1950.

. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

. Горнштейн П.И. Тригонометрия помогает алгебре. // Квант. 1989-№5 - с. 68-70.

. Зарецкий В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе / Зарецкий В.И. - Минск: Народная асвета, 1970.

. Калинин С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа. - Киров: ВГПУ, 1997.

. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.

. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). - М.: Просвещение, 1987.

. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной. //Математика в школе. 2002 - № 6 - с.32-38.

. Панчишкин А.А. Тригонометрические функции в задачах - М.: Наука, 1986.

---

Смотрите также файлы

• Практикум школьных команд Перспективный профиль в целях повышения качества образования с учетом показателей.pptx

• Статья по гражданскому воспитанию.docx

• Доклад на тему " Автопилоты в современном мире" Преподаватель Якушев В. Н студент гр. Ри120935 Жарков С. Н ведущие бренды автопилотов.docx

• Терпения Вам и здоровья вашим детям.docx

• Абсолютизм Петра I, начало и вид монархии, где контроль над управлением государства находится в руках правящего лица или назначенного лица правителем.docx