Файл: Учебнометодическое пособие Электронное издание Красноярск сфу 2016.pdf

Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
Численные методы
Решения алгебраических
И трансцендентных уравнений
Учебно-методическое пособие
Электронное издание
Красноярск
СФУ
2016

2
УДК 519.615(07)
ББК 22.193.1я73
Ч-671
Составители: Минаков Андрей Викторович
Шебелева Анна Андреевна
Шебелев Александр Валерьевич
Ч-671 Численные методы решения алгебраических и трансцендентных
уравнений. Учебно-методическое пособие по лабораторным работам
[Электронный ресурс] / сост. А.В. Минаков, А.А. Шебелева, А.В. Шебелев.
– Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2016. – 36 с. – Систем. требования: РС не ниже класса Pentium 1; 128 Mb RAM; Windows
98/XP/7/8/10; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
Учебно-методическое пособие содержит лабораторные работы по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
В каждой лабораторной работе кратко изложены необходимые теоретические сведения по численным методам, элементам и конструкциям математического пакета MathCad. Приведены задания и рекомендации по их выполнению.
Предназначено для бакалавров, направления 16.03.01 Техническая физика.
УДК 519.615(07)
ББК 22.193.1я73
© Сибирский федеральный университет, 2016
Электронное учебное издание
Подготовлено к публикации издательством
Библиотечно-издательского комплекса
Подписано в свет 25.10.2016 Заказ № 3296
Тиражируется на машиночитаемых носителях
Библиотечно-издательский комплекс
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru
E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru

3
ВВЕДЕНИЕ
Численные методы – раздел прикладной математики, в котором проводится разработка, обоснование и реализация
(на базе вычислительной техники) методов приближенного решения разнообразных задач на уровне математических моделей. Основное содержание дисциплины составляют численные методы, представляющие собой упорядоченные схемы переработки информации с целью нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи в числовой форме. Следует подчеркнуть компьютерно-ориентированный характер численных методов – в конечном итоге их реализация связана с применением вычислительной техники и программирования.
В настоящем пособии представлены лабораторные работы, целью проведения которых является ознакомление студентов с численными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Лабораторные работы нацелены на выработку навыков, необходимых при решении проектных и научных задач с использованием электронных вычислительных машин.
Общие требования к выполнению лабораторных работ:
Результатом выполнения лабораторной работы является отчет, состоящий из двух частей.
Первая часть отчёта оформляется при подготовке к лабораторной работе и должна содержать краткое изложение теории по теме работы, блок-схемы, графики, исходные данные и расчетные формулы.
Вторая часть оформляется после выполнения работы и должна содержать требуемые в задании сравнительные анализы: методов, результатов, математического обеспечения.
Финалом отчета является заключение. В заключении прописываются результаты проделанных действий, итоговые умозаключения, а так же аргументированные выводы по теме исследования. Начинается оно с обоснования актуальности, продолжается аргументированием цели, достижение которой стало результатом, и заканчивается перечнем решённых задач, обозначенных во введении, которые удалось выполнить.

4
Численные методы решения нелинейных уравнений.
В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:
f(x) = 0
(1) где f(x) – произвольная непрерывная функция.
Всякое число х*, обращающее функцию f(х)=0, называется корнем уравнения 1. Если в точке x= х*, вместе с функцией обращаются в ноль и ее производные до (k-1) порядка, то число х* называют корнем k-й кратности.
В зависимости от вида функций f(x) нелинейные уравнения подразделяются на два вида:
- алгебраические;
- трансцендентные.
Уравнение 1 называется алгебраическим, если функция f(x) является алгебраической функцией. Алгебраическое уравнение всегда может быть представлено в канонической форме:
Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется
трансцендентным уравнением (например, cos(x)+2x=0).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые
(аналитические) и итерационные. Прямые позволяют записать решение в виде некоторого соотношения, при этом значения корней могут быть вычислены за конечное число арифметических операций. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. В таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа:

5
- отделение корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси х, в пределах которых содержится один единственный корень;
- уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.
Отделение корней.
Для отделения корней полезна теорема:
Непрерывная строго монотонная функция f(x) имеет единственный ноль на отрезке [a,b], тогда и только тогда, когда на его концах она принимает значения разных знаков.
Установить монотонность функции на отрезке можно для дифференцируемой функции, проверив постоянство знака ее производной.
Если f(x) дифференцируема на отрезке [a,b] и не меняет знак на (a,b), то условие f(a)·f(b) < 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственный корень на отрезке [a,b].
Алгоритм решения задачи определения количества корней уравнения f(x)=0 и их отделения:
 Найти область определения функции f(x) и исследовать ее на дифференцируемость;
 Найти интервалы монотонности f(x);
 Определить знаки f(x) на концах интервалов монотонности;
 Выбрать интервалы монотонности, где f(x) имеет на концах разные знаки, для непрерывной функции количество корней равно количеству таких интервалов;
 Сузить выбранные интервалы.
В приведенном алгоритме f '(x)=0 решается достаточно легко. В других случаях всю область определения, вызывающую интерес, разбивают точками x i
на отрезки, расположенные на расстоянии h.
Вычисляют f(x i
) и проверяют условия f(x i-1
)· f(x i
) < 0.
Способ перебора корней. Если количество корней известно заранее, то измельчая шаг h, можно локализовать все корни или остановиться на том утверждении, что возможно наличие корней, не различимых с точностью h.

6
Графическое решение уравнений.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции
)
(x
f
y 
. Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).
Рис. 1. Графическое отделение корней.
Графические методы применяют лишь для грубого определения корней или для выделения на оси Ox тех промежутков, которым принадлежит истинный корень, то есть для отделения корней.
Аналитическое решение.
Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах:
Теорема 1. Если непрерывная функция
)
(x
f
y 
принимает на концах отрезка
 
b
a,
значения разных знаков, т.е.
0
)
(
)
(

 b
f
a
f
, то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения (рис. 2).

7
Рис. 2. Существование корня на отрезке.
Теорема 2. Если непрерывная на отрезке
 
b
a,
функция
)
(x
f
y 
принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная
)
(x
f 
сохраняет знак внутри отрезка
 
b
a,
, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 3).
Рис. 3. Существование единственного корня на отрезке.
Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов.
Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд), комбинированный метод хорд и касательных.

8
Лабораторная работа №1. Метод половинного деления.
Цель работы: Получить базовые знания вычисления корня методом половинного деления.
Краткие теоретические сведения:
Метод деления отрезка пополам имеет другие названия: метод половинного деления, метод дихотомии, метод проб, метод бисекций.
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b], т.е. f(a)·f(b) < 0.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом половинного
деления.
Исходные данные: f (x) – функция; ε – требуемая точность; a, b – границы заданного интервала (границы поиска корня).
Результат: x пр
– приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
1. Выбрать середину
2
b
a
c


отрезка
 
b
a,
в качестве приближенного корня.
2. Если
0
)
(

c
f
, то c – искомый корень уравнения, на этом прекращаем вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.
3. Точный корень уравнения x
*
отличается от c не более чем на половину длины отрезка, т.е. не более чем на
2
)
(
a
b 
(полученная точность).
Проверяем условие



2
)
(
a
b
. Если условие не выполняется, т.е. полученная точность нас не устраивает (она больше, чем требуемая), то перейти к шагу 4; в противном случае прекратить вычисления, поскольку мы достигли требуемой точности, и приближенным корнем уравнения f (x)
= 0 считать середину c отрезка
 
b
a,
4. Определить интервал дальнейшего поиска корня. Из двух образовавшихся при делении отрезков переходим к той из его половин
 
c
a,
и
 
b
c,
, на концах которого функция принимает значения разных знаков.

9
Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)·f(b) < 0.

10
Пример решения:
Задание: уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью ε=0.000001
Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Mathcad, необходимо:
1. Запустить Mathcad.
2. Ввести в позиции ввода аргумента выражение, описывающее функцию f(x): f(x) = cos(2x)+x-5.
3. Ввести граничные значения отрезка: a:=5 b:=6;
4. Ввести значение данной погрешности: e:=0.000001.
5. Выбрать на панели инструментов кнопку
«Инструменты программирования».
6. Ввести в позиции поля ввода имя новой функции и знак присвоить значение: pol(f,a,b,e):=
7. На панели «Программирование» выбрать «Add Line» - добавить строку программы.
8. В первый темный прямоугольник добавить запись «whill» и условие цикла: |b-a|>e.
9. В следующем темном прямоугольнике, задать тело цикла: добавить строку программы, в первом темном прямоугольнике ввести: с←(a+b)/2 10. В следующем темном прямоугольнике, прежде чем вводить выражение, добавить строку программы, а затем ввести выражение: b←c if f(a)·f(c)<0 11. Строкой ниже ввести: a←c otherwise

11 12. В самом нижнем темном прямоугольнике ввести переменную ввода: с.
13. В поле ввода, под программой, набрать pol(f,a,b,e) и знак равенства.
В итоге получаем:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5.33.

12
Лабораторная работа №2. Метод касательных (Ньютона).
Цель работы: Получить базовые знания вычисления корня методом касательных.
Краткие теоретические сведения:
Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке
 
b
a,
Необходимым условием сходимости метода является то, что производные
)
(x
f 
и
)
(x
f 

непрерывны и сохраняют постоянные знаки.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом
касательных.
Исходные данные: f (x) – функция; f
‘
(x) – производная заданной функции f
(x); ε – требуемая точность; x
0
– начальное приближение.
Результат: x пр
– приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Случай 1:
0
)
(
)
(




x
f
x
f
.
 т.е.
)
(x
f 
и
)
(x
f 

имеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке
 
b
a,
(рис 4).
Рис.4. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая
0
)
(
)
(




x
f
x
f

13
 Проведем касательную к кривой y =f(x) в точке В(b;f(b)). Уравнение касательной в точке В
0
имеет вид
)
)(
(
)
(
b
x
b
f
b
f
y




 В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y=0, найдем
)
(
)
(
1
b
f
b
f
b
x



 Теперь
 
1
*
; x
a
x 
. Применяя метод еще раз для отрезка


1
; x
a
, получим
)
(
)
(
1 1
1 2
x
f
x
f
x
x



 Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x




Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x
0
=b. Приближение к корню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.
Случай 2:
0
)
(
)
(




x
f
x
f
 т.е.
)
(x
f 
и
)
(x
f 

имеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке
 
b
a,
(рис 5).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая
0
)
(
)
(




x
f
x
f

14
 Если провести касательную к кривой в точке В, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку
 
b
a,
. Поэтому проведем касательную в точке
))
(
,
(
0
a
f
a
A
. Ее уравнение
)
)(
(
)
(
a
x
a
f
a
f
y




 Находим x
1
, полагая y = 0:
)
(
)
(
1
a
f
a
f
a
x



 Корень
 
b
x
x
;
1
*

. Применяя метод еще раз для отрезка


b
x ;
1
, получим
)
(
)
(
1 1
1 2
x
f
x
f
x
x



 Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:

)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x




 В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x
0
=a.
 Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за
x
0
принимаем конец b отрезка, во втором – конец a.
При выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка
 
b
a,
, в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.
Условие окончания вычислительного процесса:




n
n
x
x
1
, где ε - заданная точность. Тогда x
пр
= x
n+1
с точностью ε.