Файл: Учебнометодическое пособие Электронное издание Красноярск сфу 2016.pdf

15
Пример решения:
Задание: уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных
(Ньютона) с точностью ε=0.000001
Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных (Ньютона), используя Mathcad, необходимо:
1. Запустить Mathcad.
2. Ввести в позиции ввода аргумента выражение, описывающее функцию f(x): f(x) = cos(2x)+x-5.
3. Ввести выражение, описывающее производную второго порядка от функции f(x): f2 x
( )
2
x f x
( )
d d
2

4. Вывести ниже значение производной: f2(x) -4 cos(2x).
5. Ввести выражение, описывающее производную первого порядка от функции f(x): f1 x
( )
x f x
( )
d d

6. Вывести значение производной f1(x) 1-2 sin(2x)
7. Ввести граничные значения отрезка: a:=5, b:=6.
8. Ввести значение погрешности е=0.000001.
9. Описать функцию casat(f,a,b,e) с помощью программы, используя панель «Программирование», для этого выполнить следующие действия:
 Добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике задать условие: if f(a)·f(b)>0, вернуться в темный прямоугольник перед условием и в нем добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике ввести присваивание переменных x1 и a, а в следующем c и a (для присваивания использовать кнопку «Локальное присвоение» на панели
«Программирование» ←).

16
 В нижний темный прямоугольник добавить строку программы, ввести otherwise и в темном прямоугольнике, стоящем перед
otherwise добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике присвоить x1 значение b, а в следующем c и b.
 В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и ввести while |f(x1)|>e
 В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и в двух полученных темных прямоугольниках последовательно ввести выражение:
 И x1 присвоить x2
 В последнем темном прямоугольнике ввести x1.

17
В итоге получаем:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5.33.

18
Лабораторная работа № 3. Метод хорд.
Цель работы: Получить базовые знания вычисления корня методом хорд.
Краткие теоретические сведения:
Пусть на отрезке
 
b
a,
функция непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная
)
(x
f 
сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 6, рис. 7).
Случай 1. Функция возрастает (f(a) <0, f(b) >0, f '(x)>0). a) b)
Рис. 6. Расположение кривых при возрастающей функции. a) Кривая выпукла вниз f ''(x) > 0; b) Кривая выпукла вверх f ''(x) < 0;

19
Случай 2. Функция убывает (f(a)>0, f(b)<0, f '(x)<0). a) b)
Рис. 7. Расположение кривых при возрастающей функции. a)Кривая выпукла вниз f ''(x) > 0; b) Кривая выпукла вверх f ''(x) < 0;
Алгоритм приближенного вычисления корня методом хорд.
Исходные данные: f (x) – функция; ε – требуемая точность; x
0
– начальное приближение.
Результат: x пр
– приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Случай 1:
)
(x
f 
и
)
(x
f 

имеют одинаковые знаки (рис. 8).
Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая
0
)
(
)
(




x
f
x
f

20
График функции проходит через точки
( , ( ))
A a f a
и
( , ( ))
B b f b
Искомый корень уравнения (точка x
*
) нам неизвестен, вместо него возьмет точку х
1
пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Это и будет приближенное значение корня.
В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х
1
; у
1
) и
(х
2
; у
2
):
1 2
1 1
2 1
y
y
y
y
x
x
x
x





Тогда уравнение хорды АВ запишется в виде:
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
f
y
a
b
a
x





Найдем значение х = х
1
, для которого у = 0:
)
(
)
(
)
)(
(
1
a
f
b
f
a
b
a
f
a
x




Теперь корень находится на отрезке


b
x ;
1
. Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки
))
(
,
(
1 1
1
x
f
x
A
и
( , ( ))
B b f b
, и найдем х
2
- точку пересечения хорды А
1
В
0
с осью Ох:
)
(
)
(
)
)(
(
1 1
1 1
2
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x




Продолжая этот процесс, находим:
)
(
)
(
)
)(
(
2 2
2 2
3
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x




Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню
)
(
)
(
)
)(
(
1
n
n
n
n
n
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x





В этом случае конец b отрезка
 
b
a,
остается неподвижным, а конец a перемещается.
Таким образом, получаем расчетную формулу метода хорд:
)
(
)
(
)
)(
(
1
n
n
n
n
n
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x





;
a
x 
0
Вычисления очередных приближений к точному корню уравнения продолжается до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие:




n
n
x
x
1
, где

- заданная точность.

21
Случай 2:
0
)
(
)
(




x
f
x
f
первая и вторая производные имеют разные знаки
(рис. 9).
Рис. 9. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая
0
)
(
)
(




x
f
x
f
Соединим точки
( , ( ))
A a f a
и
( , ( ))
B b f b
хордой АВ. Точку пересечения хорды с осью Ох будем считать первым приближение корня. В этом случае неподвижным концом отрезка будет являться конец а.
Уравнение хорды АВ:
b
a
b
x
b
f
a
f
b
f
y





)
(
)
(
)
(
Отсюда найдем
1
x
, полагая y = 0:
)
(
)
(
)
)(
(
1
a
f
b
f
a
b
b
f
b
x




Теперь корень уравнения
 
1
*
; x
a
x 
. Применяя метод хорд к этому отрезку, получим
)
(
)
(
)
)(
(
1 1
1 1
2
a
f
x
f
a
x
x
f
x
x




Продолжая и т.д., получим
)
(
)
(
)
)(
(
1
a
f
x
f
a
x
x
f
x
x
n
n
n
n
n






22
Расчетные формулы метода:
)
(
)
(
)
)(
(
1
a
f
x
f
a
x
x
f
x
x
n
n
n
n
n





,
b
x 
0
Условие окончания вычислений:




n
n
x
x
1
. Тогда х
пр
= x
n+1
с точностью

.

23
Пример решения:
Задание: уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью ε=0.000001
Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд используя Mathcad, необходимо:
1. Запустить Mathcad.
2. Ввести в позиции ввода аргумента выражение, описывающее функцию f(x): f(x) = cos(2x)+x-5.
3. Ввести выражение, описывающее производную второго порядка от функции f(x): f2 x
( )
2
x f x
( )
d d
2

4. Вывести ниже значение производной: f2(x) -4 cos(2x).
5. Ввести граничные значения отрезка: a:=5, b:=6.
6. Ввести значение погрешности е=0.000001.
7. Описать функцию hord(f,a,b,e) с помощью программы, используя панель «Программирование», для этого выполнить следующие действия:
 Добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике задать условие: if f(a)·f2(a)>0, вернуться в темный прямоугольник перед условием и в нем добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике ввести присваивание переменных x1 и b, а в следующем c и a (для присваивания использовать кнопку «Локальное присвоение» на панели
«Программирование» ←).
 Вставить в нижний темный прямоугольник и добавить строку программы, ввести otherwise и в темном прямоугольнике, стоящем перед otherwise добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике присвоить x1 значение a, а в следующем c и b.
 В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и ввести while |f(x1)|>e
 В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы, где ввести выражение:

24
И x1 присвоить x2.
 В последнем темном прямоугольнике ввести x1.
В итоге получаем:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5.33.

25
Лабораторная работа №4.
Комбинированный метод хорд и касательных.
Цель
работы:
Получить базовые знания вычисления корня комбинированным методом хорд и касательных.
Краткие теоретические сведения:
Преимущества комбинированного метода состоят в следующем: во- первых, он дает более быструю сходимость, чем метод хорд, во-вторых, поскольку последовательные приближения x n
и x n+1
комбинированного метода с разных сторон приближается к корню, то разность | x n+1
- x n
| дает оценку погрешности этого метода.
Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a,b]
(при условии f(a)f(b)<0) на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.
Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Комбинированный метод применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, т.е. f’(x)≠0 и f”(x)≠0.
Условие начальной точки для метода хорд f(x)f”(x)<0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f”(x)>0.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, т.е. f(a)f(b)<0.
Алгоритм приближенного вычисления корня комбинированным
методом хорд и касательных.
Исходные данные: f (x) – функция; ε – требуемая точность; x
0
– начальное приближение.
Результат: x пр
– приближенный корень уравнения f (x) = 0.

26
Метод решения:
1. Если f(a)·f ''(a)<0, то иначе если f(a)·f ''(a)>0, то
.
2. Если f(b)·f ''(b)<0, то
, иначе если f(b)·f ''(b)>0, то
.
3. Если |a-b|>2·ε, то идти к пункту 1.
4. x=(a+b)/2.

27
Пример решения:
Задание: уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε=0.000001
Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 комбинированным методом хорд и касательных используя Mathcad, необходимо:
1. Запустить Mathcad.
2. Ввести в позиции ввода аргумента выражение, описывающее функцию f(x): f(x) = cos(2x)+x-5.
3. Ввести выражение, описывающее производную второго порядка от функции f(x): f2 x
( )
2
x f x
( )
d d
2

4. Вывести ниже значение производной: f2(x) -4 cos(2x).
5. Ввести выражение, описывающее производную первого порядка от функции f(x): f1 x
( )
x f x
( )
d d

6. Вывести значение производной f1(x) 1-2 sin(2x)
7. Ввести граничные значения отрезка: a:=5, b:=6.
8. Ввести значение погрешности е=0.000001.
9. Описать функцию hordcas(f,a,b,e) с помощью программы, используя панель «Программирование», для этого выполнить следующие действия:
 Добавить строку программы.
 В первом темном прямоугольнике задать условие: if
f(a)·f2(a)>0, вернуться в темный прямоугольник перед условием и в нем добавить строку программы, затем добавить строку программы еще раз.
 В появившихся темных прямоугольниках ввести присваивание m1 и b,c и a,n1 и a соответственно (для присваивания использовать кнопку «Локальное присвоение» на панели
«Программирование» ←).

28
 Вставить в нижний темный прямоугольник и добавить строку программы, ввести otherwise и в темном прямоугольнике, стоящем перед otherwise добавить два раза строку программы.
 В появившихся прямоугольниках ввести присвоение переменных: m1 и a, c и b, n1 и b.
 В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и ввести while |n1-m1| ≥ 2e и в появившемся черном прямоугольнике добавить строку программы.
 Ввести выражение: m1 присвоить m2, n1 присвоить n2.
 Добавить строку программы и ввести:
 В оставшемся прямоугольнике ввести х.

29
В итоге получаем:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5.33.

30
Задания для самостоятельных решений.
Задание 1.
Графическим способом отделить корни уравнения f(x) = 0.
Задание 2.
Вычислить корень уравнения f(x) = 0, с точностью ε = 0.001 следующими методами: деления отрезка пополам, касательных, хорд и комбинированным методом хорд и касательных. Сравнить полученные результаты. Определить, какой из методов является более точным.
№
вар.
f(x) = 0
№ вар.
f(x) = 0
1 sin(x) – 1/9(x – 3)
2 12 3x
4
+4x
2
– (1/2)
x/3–11 2 cos(x/2) – x
13 cos(x + 7) – 0.2(x – 7)
3 2(x + 7)
3
– (1/2)
x–2 14 tg(2x/9) – 5
x–4 4
1/2sin(x) – ln(x + 3)
15 sin(x) + 2/7(x – 5)
5 4ln(x + 4) – 2sin(x/3)
16 cos(πx) + x – 1/9x
2 6 ln(x/3) + 1/4(x – 6)
3 17 2ln(x + 6) + sin(x/3)
7 3ln(x + 3) – 1/6(x + 3)
2 18 1/2sin(x/2) + ln(x + 8)
8
x
3
+8x
2
– (2/3)
x–0.5 19 ln(x + 9) – 1/9(x + 2)
2 9
2tg(x/2) – 3
x–5 20 2ln(x + 9) + 8x
2
– 1/7x
4 10 1/6(x – 8)
2
– 2sin(2x)
21 1/8(x + 7)
1/2
– 2
x/4–5/3 11 tg(x/2) – (2/5)
x+9 22 4(x + 2)
–x/8
+ tg(x/3)

31
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение …………………………………………………………..……..….… 3
Численные методы решения нелинейных уравнений ……………..……… 4
Лабораторная работа № 1. Метод половинного деления ……………..... 8
Цель работы …………...……………………………………………...... 8
Краткие теоретические сведения ………………………………....….. 8
Пример решения …………………………………………………….... 10
Лабораторная работа № 2. Метод касательных (Ньютона)………....….. 12
Цель работы …………...…………………………………………….... 12
Краткие теоретические сведения ……………………………………. 12
Пример решения …………………………………………………….... 15
Лабораторная работа № 3. Метод хорд ………………………..………… 18
Цель работы …………...…………………………………………….... 18
Краткие теоретические сведения ……………………………………. 18
Пример решения ……………………………………………………… 23
Лабораторная работа № 4.
Комбинированный метод хорд и касательных …………………………… 25
Цель работы …………...…………………………………………….... 25
Краткие теоретические сведения ……………………………………. 25
Пример решения …………………………………………………..….. 27
Задания для самостоятельных решений …………………………….……... 30