Файл: Программные средства профессиональной деятельности.pdf

52
Из полученного выражения следует, что для выделения максимальной мощности необходимо выполнение условия
R
R
Рис. 3.16. Зависимость мощности от нагрузочного сопротивления
Определим мощность в нагрузке как функцию тока нагрузки
(
)
P R
После несложных преобразований получаем:
2
(
)
(
)
P I
I
U
I
E
I
R
I
R
E
I
. (3.10)
Дополняя это выражение до полного квадрата, получаем:
2 2
(
)
(
)
2 4
E
E
P I
R
I
R
R
(3.11)
Рассчитанный график данной функции по выражению (3.11) имеет следующий вид (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Зависимость мощности от тока нагрузки
Таким образом, максимум
(
)
P I
приходится на величину тока кз
2
I
I
равного половине тока короткого замыкания, при этом мощность равна величине
2
(
)
4
E
P I
R
(3.12)
Пример листинга пользовательской программы для определения
зависимости
(
)
P R
приведен в приложении 2.

53
3.2.3. Метод комплексных амплитуд.
Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Все это переменный ток.
Традиционно в электротехнике при знакомстве со свойствами электрических цепей переменного тока и с методами их анализа используют синусоидальную форму записи гармонической функции, а в радиотехнике косинусоидальную. Обе формы записи являются равноценными и отличаются только началом отсчета значений функций.
При этом считают, что линейная электрическая цепь с сосредоточенными параметрами, находится под монохроматическом
(одночастотном) гармоническом воздействии. Токи всех неуправляемых источников тока и ЭДС неуправляемых источников напряжений такой цепи есть гармонические функции времени частоты
ω
[12] . Где
ω
угловую частоту гармонической функции при заданной частоте
f
или периоде
T
определяют в виде:
2 /
2
T
f
(3.13)
Таким образом, задача анализа линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами при гармоническом воздействии сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является гармонической функцией времени:
1 1
1 0
1
sin(ω
φ )
n
n
n
n
m
u
n
n
d i
d
i
di
a
a
a
a i
Е
t
dt
dt
dt
. (3.14) где
φ
u
– начальная фаза гармонической функции ЭДС.
Рассматривая установившийся режим, при котором переходные процессы в цепи полностью прекратились, решение (3.14) из теории дифференциальных уравнений имеет единственное решение,
( )
sin(ω
φ ),
m
i
i t
I
t
(3.15) которое является гармонической функцией времени, с начальной фазой
φ
i
Решение дифференциального уравнения (3.14) для относительно простых цепей при
t
оказывается весьма трудоемким. Поэтому на практике анализ таких цепей выполняют с помощью метода комплексных
амплитуд.
Метод комплексных амплитуд основан на идее функционального преобразования, когда исходные функции (оригиналы) заменяют новыми функциями (изображениями) или (символами), а именно гармоническую функцию времени представляют в виде комплексной функции времени.

54
φ
ω
ω
( )
sin(ω
φ )
i
j
j t
j t
m
i
m
i t
I
t
I
e
e
I e
, (3.16) где
φ
i
j
m
I
I
e
– комплексная амплитуда.
Так как в электрических цепях переменного тока приборы, с помощью которых измеряют токи и напряжения, определяют действующие значения, то при расчете и анализе этих цепей оперируют комплексными числами.
Комплексное значение тригонометрических функций напряжения и тока в этом случае записывают в следующем виде:
φ
φ
,
2 2
i
i
u
u
j
j
j
j
m
m
I
U
I
e
Ie
U
e
Ue
(3.17) где
,
I U
– действующие значения тока и напряжения,
,
I U
– комплексные значения тока и напряжения.
Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов согласно первому закону Кирхгофа (рис.3.18)
Рис. 3.18.Схема узла в цепи переменного тока
нужно проделать следующие операции, а именно:
1. представить тригонометрическую функцию (мгновенное значение) первого тока, подтекающего к узлу, в виде комплексной функции времени
1 1
1 1
1 1( )
sin(
)
j
j t
j t
m
m
i t
I
t
I e e
I e
;
2. представить тригонометрическую функцию (мгновенное значение) второго тока, подтекающего к узлу, в виде комплексной функции времени
2 2
2 2
2 2( )
sin(
)
;
j
j t
j t
m
m
i t
I
t
I e
e
I e
3. сложить тригонометрические функции токов, используя их комплексные изображения
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
sin(
)
sin(
)
(
)
(
)
j
j
j t
j t
m
m
m
m
I
t
I
t
I e
I e
e
I
I e
Тогда значение третьего тока, оттекающего от узла можно представить в виде комплексного значения, а затем преобразовать в тригонометрическую функцию
ω
φ
ω
sin(ω
φ)
j t
j
j t
m
m
I
Ie
I e e
I
t
Аналогично осуществляются все другие операции – умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:
φ
( )
( )
sin(ω
φ)
ω
ω ;
j
m
m
di t
i t
I
t
j I e
j I
dt

55
φ
φ
( )
sin(ω
φ)
( )
ω
ω
ω
j
j
m
m
m
I e
I
I
i t
I
t
i t dt
j
e
j
j
Таким образом, линейные операции над гармоническими функциями времени соответствуют операциям над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления. Это свойство комплексных изображений гармонических функций позволяет существенно упростить анализ линейных цепей переменного тока [12]. При этом систему интегро- дифференциальных уравнений электрического равновесия цепи можно записать ввиде системы алгебраических уравнений для комплексных изображений соответствующих токов и напряжений.
3.2.4. Расчет и анализ стационарных режимов в цепях переменного тока.
Рассмотрим и проведем анализ режима работы электрической цепи переменного тока рис. 3.19.
Рис. 3.19. Схема цепи переменного тока
Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующей ЭДС.
( )
R
L
C
u
u
u
e t
, (3.18) где
( )
sin(ω )
m
e t
E
t
– мгновенное значение ЭДС источника напряжения
Напряжения на активном, индуктивном и емкостном элементе схемы можно записать в виде:
,
,
R
L
C
d
q
u
iR u
u
dt
C
, (3.19) где потокосцепление
Li
, а заряд на емкостном элементе
q
idt
Учитывая компонентные выражения (3.19), отражающие физические свойства элементов схемы, топологическое уравнение (3.18) можно записать в виде:
1
( ).
di
iR
L
idt
e t
dt
C
(3.20)
Для решения этого уравнения представим его в комплексной форме:

56 1
ω
ω
IR
j LI
j
I
E
C
. (3.21)
Обозначим коэффициенты пропорциональности перед токами
I
через
1
= ω ,
ω
L
C
X
L X
C
. Данные коэффициенты, имеют размерность сопротивлений, и в электротехнике называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлением. Алгебраическую сумму этих сопротивлений называют полным реактивным сопротивлением
(
)
L
C
X
X
X
, а
(
)
L
C
Z
R
j X
X
– полным комплексным сопротивлением схемы (рис. 3.15).
Тогда уравнение (3.21) можно записать в виде:
(
)
L
C
I
R
j X
X
E
. (3.22)
Решение данного уравнения можно представить в виде отношения комплексных чисел:
(
)
L
C
E
E
I
R
j X
X
Z
(3.23)
Уравнение (3.23) позволяет проанализировать влияние значений активного R , индуктивного
L
X
и емкостного
С
X
сопротивления на стационарный режим работы цепи переменного тока, исследовать явление резонанса напряжений и изменение фазового сдвига между напряжением и током.
На (рис. 3.20) приведена зависимость действующего значения тока
I
в схеме (рис. 3.19) от изменения индуктивного сопротивления
L
X
Рис. 3.20. Зависимость тока
(
)
I Xl
.
На (рис. 3.21) приведена зависимость фазового сдвига тока
(
)
Xl
относительно фазы ЭДС источника питания.
Анализ этих зависимостей позволяет сделать вывод о том, что при индуктивном сопротивлении
5 Ом
Xl
Xc
возникает резонанс напряжений, что подтверждается максимальным значение тока (рис. 3.16).
При этом анализ зависимости
(
)
Xl
показывает, что в дорезонансной области при значениях Xl < Xc характер нагрузки емкостной и напряжение отстает по фазе от тока, а при Xl > Xc характер нагрузки индуктивный и

57 напряжение опережает ток по фазе. В первом случае
(
)
Xl
имеет отрицательные значения, а во втором положительные значения.
Рис. 3.21 Зависимость
(
)
Xl
Листинг пользовательской программы для расчета и анализа
стационарного режима работы цепи переменного тока, с использованием
прикладного программного пакета MathCAD приведен в приложении 3.
Внимание
Для работы с комплексными числами указывается используемое в документе обозначение мнимой единицы – либо
1
i
, либо
1
j
Примеры работы с комплексными числами представлены на (рис.
3.16)
Рис. 3.22. Примеры арифметических операций с комплексными числами
Для определения мгновенного значения тока, т.е.
( )
sin(ω
φ )
m
i
i t
I
t
, необходимо:
1. Определить амплитуду мгновенного значения тока, а именно
2
m
I
I
, где
I
действующее значение тока;
2. Определить фазовый сдвиг тока по отношению фазы напряжения, а именно
φ
φ
φ
i
e
z
, так как в показательной форме комплексное значение тока записывается в виде:
φ
(φ
φ )
φ
φ
e
e
z
i
z
j
j
j
j
E e
E
I
e
I e
Z e
Z
(3.24)

58
3.2.5. Расчет и анализ динамических режимов работы.
Возможности прикладного программного пакета MathCAD позволяют при решении систем дифференциальных уравнений провести расчет и анализ динамических режимов работы электрических цепей, переходных процессов в электроустановках, в энергетических и электромеханических системах. Системы дифференциальных уравнений для их решения в среде
MathCAD должны быть представлены в форме Коши. При этом аналогично решению одиночного дифференциального уравнения система уравнений может быть решена в векторной форме.
Расчет переходных процессов рассмотрим на примере простейшей
RC-цепочки (рис. 3.23)
Рис. 3.23. схема RC-цепи
При подключении данной цепи к источнику напряжения постоянного тока, когда
( )
1( )
u t
U
t
представляет собой единичную ступенчатую функцию времени, можно проанализировать процесс зарядки конденсатора. При питании данной цепи от источника переменного тока, изменяющегося по синусоидальному закону, частота которого регулируется, можно изучить свойства этой цепи, как фильтра низких частот.
Листинг программы для расчета и исследования процесса заряда
конденсатора приведен в приложение 4. Используя данную программу,
студенты должны определить влияние сопротивления R на время заряда
t
зар
конденсатора при неизменном значении емкости С и наоборот
определить влияние С на t
зар
при неизменном значении R.
При разработке программы с помощью программного пакета
MathCAD для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ) используют:
классический метод решения, пример такого решения приведен в
приложение 4;
операторный метод решения, при использовании прямого и
обратного преобразования Лапласа;
численные методы решения, которыми пользуются когда
аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений
невозможно.

59
Алгоритм классического метода решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере следующего уравнения
2 2
1 0
2
( ),
d x
dx
a
a
a
x
f t
dt
dt
(3.25) где
( )
f t
– временная зависимость управляющего воздействия (для электрической цепи напряжение питания),
2 1
0
, ,
a a a
– коэффициенты уравнения, определяемые внутренними параметрами исследуемого объекта (для электрической цепи реактивными и активными параметрами схемы),
x
– координаты переменных величин (для электрических цепей значения искомых токов или напряжений).
Из математики известно, что решение данного уравнения имеет три составляющие [1], а именно одну принужденную и две свободных составляющих. Свободные составляющие реакции исследуемого объекта
(для электрической цепи токи или напряжения) на входное управляющее воздействие с течением времени затухают. Принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение. Поэтому общее решение уравнения (3.25) записывают в виде [1,2]:
1 2
пр
1 2
( )
( )
p t
p t
x t
x
t
A e
A e
, (3.26) где значение принужденной составляющей при
t
определяется в виде: пр
0
( )
( )
f t
x
t
a
. (3.27)
Значение принужденной составляющей – это частное решение уравнения (3.25), которое при
t
имеет следующий вид:
0
( )
a
x
f t
. (3.28)
Свободные составляющие процессов в исследуемом объекте протекают за счет разности энергий соответствующих установившимся режимам до и после коммутации. Они определяются из решения однородного дифференциального уравнения, которое представляет уравнение (3.25) без правой части, т. е.
( )
0
f t
2 2
1 0
2 0.
d x
dx
a
a
a
x
dt
dt
(3.29)
Для определения свободных составляющих необходимо найти корни
i
p
характеристического уравнения соответствующего однородному уравнению (3.29).
2 2
1 0
0,
a
p
a
p
a
(3.30)
Определение корней одного простейшего характеристического уравнения в MathCAD осуществляют с помощью функций root.
При нахождении корней полинома имеющего вид
2 1
2 1
0 0
n
n
a
p
a
p
a
p
a
. (3.31)

60 лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни,
как вещественные, так и комплексные.
Вычисление корней кубического полинома приведено на рис. 3.24.
Рис. 3.24. Вычисление корней кубического полинома
Значения постоянных интегрирования определяются с использованием нулевых начальных условий для момента времени
0
t
, когда
( )
( )
0,
0
dx t
x t
dt
. Уравнение (3.26) при этих условиях можно представить в виде: для
( )
0
x t
0 0
пр
1 2
0
( )
x
t
A e
A e , (3.32) для
( )
0
dx t
dt
пр
1 1
2 2
0
( )
x
t
A p
A
p
. (3.33)
Представим уравнения (3.32) и (3.33) в следующем виде: пр
1 1
2 2
пр
( )
1 1
( )
x
t
A
p
p
A
x
t
. (3.34)
Решение системы уравнений (3.34) позволяет определить значения постоянных интегрирования
1
A
и
2
A
, где пр
2
пр
1 2
1
( )
( )
x
t
p
x
t
A
p
p
а
1
пр пр
2 2
1
( )
( )
p x
t
x
t
A
p
p
Тогда в окончательном виде уравнение (3.26) в пользовательской программе MathCAD можно представить в виде:

61 1
2
пр
2
пр
1
пр пр пр
2 1
2 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p t
p t
x
t
p
x
t
p x
t
x
t
x t
x
t
e
e
p
p
p
p
. (3.35)
3.3. Символьные вычисления в системе MathCAD.
Символьные вычисления в системе MathCAD позволяют решить многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычислений.
Символьные вычисления в MathCAD можно реализовать тремя способами: с использование команд подменю позиции Symbolics (Символика) главного меню (рис. 3.24)
Рис. 3.24. Команды подменю позицииSymbolics
с использованием команд панели Symbolic, включаемой кнопкой на математической панели инструментов (рис.3.25)
Рис. 3.25. Математическая панель инструментов Symbolics

62 с использованием команды Optimization позиции главного меню
Math.
Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух различных вариантах: с помощью команд меню; с помощью оператора символьного вывода
, ключевых слов символьного процессора и обычных формул.
Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция.
Первым способом символьных вычислений пользуются, когда необходимо осуществить аналитическое преобразование выражения не сохраняя сам ход вычислений. При этом аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются одного выделенного выражения,
выделенной части выражения или отдельной переменной. На эти преобразования не влияют формулы, находящиеся в пользовательской программе Mathcad выше выделенного выражения. Данный способ наиболее приемлем при изучении разделов математики, связанных с преобразованием компонентных уравнений. В качестве примера рассмотрим разложение на сомножители выражения sin 2x .
Алгоритм преобразования данного выражения следующий:
1. Введите выражение sin 2x ;
2. Выделите его целиком;
3. Выберите в главном меню пункт Symbolics (Символика)/
Expand
(Разложить)
Фрагмент данного преобразования в программе Mathcad приведен на
(рис. 3.26)
Рис. 3.26. Разложение на сомножители
Второй способ позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохраняет символьные вычисления в документе
Mathcad. Оператор символьного вывода учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом. Второй способ символьных вычислений достаточно широко используется в инженерных расчетах и при разработке математических моделей в Mathcad.
В целом символьные вычисления можно использовать при решении
задач алгебры, осуществляя следующие преобразования: упрощение выражений (Simplify), разложение выражений (Expand), разложение на множители (Factor), приведение подобных слагаемых