Файл: Программные средства профессиональной деятельности.pdf

71
При составлении систем уравнений необходимо помнить первое
условие, что число уравнений, входящих в систему, равно числу неизвестных токов. Поэтому в схеме, представленной на рис. 4.7, необходимо определить пять токов.
Рис. 4.7. Схема электрической цепи постоянного тока
Второе условие, которое требуется соблюдать, это необходимо определить число уравнений составленных по первому и второму законам
Кирхгофа. Как известно по первому закону Кирхгофа число уравнений равно числу узлов в схеме без одного узла, т. е. [2,14]:
1
n
m
, (4.1) где
n
– число уравнений по первому закону Кирхгофа, а
m
– число неизвестных токов, равное числу ветвей в схеме электрической цепи.
Тогда число уравнений k , которые необходимо составить по второму закону Кирхгофа, равно:
k
m n . (4.2)
Соблюдая эти условия полную систему уравнений для рассматриваемой схемы можно представить в виде:
1 2
3 4
5 1
2 3
4 5
1 1
2 3
4 4
5 1
1 2
2 3
4 5
5 2
1 2
03 3
4 4
5 5
3 1
0 1
1 0
0;
0 1
1 0
1 0;
0 0
0
;
0 0
0
;
0 0
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
R I
I
I
R
I
I
E
I
R
I
I
I
R
I
E
I
I
R
I
R
I
R
I
E
(4.3)
С использованием понятия матрицы и матричных операций система
(4.3) может быть представлена в виде матричного уравнения [15]:
A x
B
, (4.4) где
A
– матрица коэффициентов (параметров схемы) системы уравнений
(4.3), x – вектор неизвестных токов, B – вектор свободных членов.
Для решения матричного уравнения (4.4) запишем исходные данные для схемы рис. 4.7

72
Тогда матрицу коэффициентов
A
,
вектор неизвестных токов x и вектор свободных членов B можно записать, как
Решение системы методом обратной матрицы может быть получено умножением правой и левой части системы уравнения на матрицу, обратную к матрице коэффициентов системы:
1 1
A
A x
A
B (4.5)
Учитывая, что произведение обратной матрицы на прямую матрицу дает единичную матрицу, получаем
1
x
A
B . (4.6)
Таким образом, решение системы сводится к нахождению обратной матрицы
1
A
и затем вычислению произведения этой матрицы на вектор
B . Этот метод удобно применять в тех случаях, когда несколько раз решается система с разными правыми частями. В этом случае достаточно один раз вычислить обратную матрицу
1
A
и затем умножать ее на разные векторы B .
Для решения системы (4.3) в Excel нужно:
1. Создать новый лист и присвоить ему имя «Система».
2. В ячейке А1 ввести текст «Решение систем уравнений; обращение матрицы».
3. В ячейку В3 ввести текст
A x
B . Теперь ввести матрицу коэффициентов
A
и вектор правой части B , для этого: в ячейку А5 ввести текст «Исходная матрица (А)»; в ячейки А6:E10 ввести элементы матрицы
A
;
в ячейку G5 ввести текст «Правая часть (В)»; в ячейки G6:G10 ввести компоненты вектора правой части;
Далее необходимо обратить матрицу
A
и умножить вектор B на обратную матрицу
1
A
. Применяемая для обращения матрицы функция
МОБР, вызывают с помощью Мастера функций. Она возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.
4. Для вычисления обратной матрицы необходимо: в ячейку А12 ввести текст «Обратная матрица (1/А)».

73 выделить ячейки А13:E17, куда будет помещена обратная матрица. щелкнуть по пиктограмме Мастер функций fx
в первом окне Мастера функций выбрать категорию Математические
функцию МОБР.
во втором окне Мастера функций ввести адрес массива исходной матрицы А6:E10. Нажать одновременно клавиши Ctrl+ Shift+Enter для вставки этой формулы во все выбранные ячейки А13:E17.
5. Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов необходимо: в ячейку G12 ввести текст «Вектор решения х =(1/А)b»; выделить ячейки G13:G17; щелкнуть по пиктограмме Мастер функций; выбрать категорию Математические, функцию МУМНОЖ; ввести формулу =МУМНОЖ(А13:E17; G6:G10); затем нажать «Ctrl + Shift + Enter» для вставки формулы во все выделенные ячейки.
Рабочий лист к этому моменту должен выглядеть так, как показано на рис. 4.8 (режим показа формул – рис. 4.9). В ячейках G13:G17 должны стоять значения компонентов вектора решения х1, х2, х3, х4, х5 (в данном примере это значение неизвестных токов (I
1
=0,936 А; I
2
= 0,9118 А;
I
3
= - 0,507 А; I
4
= 0,5866 А; I
5
= 0,4048 А)).
Рис. 4.8. Рабочий лист Excel с решением системы уравнений

74
Рис. 4.9. Рабочий лист Excel с решением системы уравнений в режиме
показа формул
Метод Крамера. Метод Крамера – это способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. В данном методе (при не равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов системы) значения переменных определяются следующим образом
1,2,....,
i
i
i
n
A
x
A
(4.7)
Здесь в знаменателе стоит определитель матрицы коэффициентов системы. В числителе – определитель матрицы, полученной из матрицы коэффициентов путем замены i-го столбца на вектор-столбец свободных членов системы.
Для системы с n уравнениями, записанной в общем виде:
11 1
12 2
1 1
21 1
22 2
2 2
1 1
2 2
;
;
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a
x
a
x
a
x
b
a
x
a
x
a
x
b
a
x
a
x
a
x
b
(4.8) определитель основной матрицы и определители числителя имеют следующий вид
11 12 1
1 12 1
11 1
1 21 22 2
2 22 2
21 2
2 1
2 1
2 2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
b
a
A
A
A
a
a
a
b
a
a
a
b
n
nn
a
и т. д.
Для системы (4.3) составляются следующие определители

75 1
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
,
,
20 0 0
65 0 60 0 0
65 0 0
50 0 0
85 80 50 0 0
85 0
0 5
65 85 70 0 5
65 85
A
A
2 3
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
,
,
20 60 0 65 0 20 0 60 65 0 0
80 0 0
85 0
50 80 0 85 0
70 5 65 85 0
0 70 65 85
A
A
4 5
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
,
20 0 0
60 0 20 0 0
65 60 0
50 0 80 85 0
50 0 0
80 0
0 5
70 85 0
0 5
65 70
A
A
Затем производится вычисление определителей и определение неизвестных токов согласно (4.7).
Для использования Excel при решении системы (4.3) методом
Крамера нужно:
1. Создать новый лист и присвоить ему имя «Система»;
2. В ячейку А1 ввести текст «Решение системы уравнений методом
Крамера»;
3. В ячейку В3 ввести текст «Основная матрица»;
4. В ячейки А4:Е8 ввести элементы основной матрицы системы уравнений;
5. В ячейки А10:Е14, А16:Е20, А22:Е26, А28:Е32, А34:Е38 ввести элементы новых матриц с заменой соответствующих столбцов матрицы столбцом свободных членов.
6. Далее вычисляют определители полученных матриц. Для этого: в ячейку G7 необходимо ввести знак « » и щелкнуть по пиктограмме Мастер функций fx;
на первом шаге выбрать функцию
МОПРЕД, возвращающей определитель квадратной матрицы; на втором шаге указать адрес массива матрицы А4:Е8 и нажать Enter; далее проделать аналогичные операции для всех матриц.

76
В ячейках G12,G18, G24, G30, G36 вычисляют определители соответствующих матриц А10:Е14, А16:Е20, А22:Е26, А28:Е32,
А34:Е38;
7. Для получения неизвестных делают следующее операции: в ячейку H7 ввести название искомой переменной «I1», в ячейку H8 ввести название «I2», и т. д. H9 – «I3», H10 – «I4», H11 – «I5»; в ячейку I7 ввести формулу = G12/$G$6, в ячейку I8 ввести формулу
= G18/$G$6, и т. д. в ячейку I9 – = G24/$G$6, в ячейку I10 – = G30/$G$6, в ячейку I11 – = G36/$G$6; в ячейки J7:J11 ввести размерность искомой величины «А».
Рабочий лист после выполнения всех операций должен выглядеть так, как показано на рис. 4.10 (режим показа формул – рис. 4.11).
В ячейках I7:I9 при этом должны стоять значения неизвестных токов
1 2
3 4
5 1,09 A;
0,91 A;
0,51 0,59 A;
0, 40 A.
I
I
I
I
I
4.3.2. Расчет электрической цепи переменного тока.
При решении задач, связанных с расчетом электрических цепей переменного тока, пользуются аналитическим символическим методом расчета цепей переменного тока [2,14]. Основой этого метода являются комплексные числа, использование которых позволяет изображения синусоидальных величины представить в виде векторов на комплексной плоскости. При этом дифференциальные уравнения, с помощью которых описывают процессы в электрических цепях переменного тока, приводят к алгебраическим уравнениям.
В качестве примера использования Excel при расчете электрических цепей переменного тока выберем один из наиболее сложных и практически значимых разделов электротехники – «Трехфазные цепи» и рассмотрим следующую типовую задачу.
В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 4.12, по заданным значениям ЭДС трехфазного источника и сопротивлениям нагрузки, имеющим различный характер в каждой фазе, требуется определить фазные токи нагрузки и ток в нейтральном проводе.
Действующее значение ЭДС каждой фазы трехфазного генератора равно
220 В. Комплексные значения ЭДС в фазах можно в этом случае записать в виде:
220 В;
( 110 190,5) В;
( 110 190,5) В;
A
B
C
E
E
E
Сопротивления фаз нагрузки равны: Z
A
= 100 Ом; Z
B
= (86,6 + 50j) Ом;
Z
C
= (86,6 – 50j) Ом.
Расчет такой цепи можно произвести с помощью встроенных функций программы Excel категории «Инженерные», таких как КОМПЛЕКСН,
МНИМ.ДЕЛ, МНИМ.СУММ, МНИМ.ABS, МНИМ.АРГУМЕНТ,
МНИМ.ПРОИЗВЕД.

77
Рис. 4.10.
Рабочий лист Excel с решением системы уравнений
методом Крамера

78
Рис. 4.11.Рабочий лист Excel с решением системы уравнений в режиме
показа формул

79
Рис. 4.12. Электрическая трехфазная цепь
Для расчета данной электрической трехфазной цепи нужно:
1. Создать новый лист;
2. В ячейке А1 ввести текст «Расчет электрической цепи комплексным методом»;
3. В ячейке А3 ввести текст «Расчет источника», в ячейку D3 – «Расчет нагрузки»;
4. В ячейках А5:А7 ввести обозначение ЭДС источника Е
А
, Ев, Ес, в ячейках D5:D7 ввести обозначения полных сопротивлений фаз Z
А
, Z
В
, Z
С, в ячейках G5:G7 ввести обозначения токов фаз Ia, Ib, Ic;
5. Установить курсор в ячейку В5 и щелкнуть по пиктограмме Мастер
функций, f
x
;
6. Выбрать категорию Инженерные, функцию КОМПЛЕКСН;
7) На втором шаге внести действительную и вещественную часть ЭДС, а также указать символ мнимой единицы «j»;
8) Установить курсор в ячейку Е5 и щелкнуть по пиктограмме Мастер
функций, f
x
;
9. Выбрать категорию Инженерные, функцию КОМПЛЕКСН;
10. На втором шаге внести в качестве действительной части значение активного сопротивления фазы А, вещественной части — величину реактивного сопротивления фазы А с учетом знака, а также указать символ мнимой единицы «j»;
11. Повторить пункты 5 – 10 в ячейках В6, В7 (для ввода ЭДС фазы B и фазы с генератора) и в ячейках Е6, Е7 (для ввода сопротивления фазы B и фазы C);
12. Установить курсор в ячейку H5 и щелкнуть по пиктограмме Мастер
функций f
x
;
13. Ввести формулу =МНИМ.ДЕЛ(В5; Е5) из категории Инженерные;
14. Затем нажать «Enter» для вставки формулы в ячейку;
15. Скопировать формулу из ячейки H5 в ячейки H6 и H7. Получили значение фазных токов в виде комплексных чисел;
16. В ячейку M3 ввести «Ток в нейтральном проводе»;
17. Установить курсор в ячейку N5 и щелкнуть по пиктограмме Мастер

80
функций;
13. Ввести формулу =МНИМ.СУММ(Н5;Н6;Н7) из категории
Инженерные;
14. Затем нажать «Enter» для вставки формулы в ячейку. Получили значение тока в нейтральном проводе в виде комплексного числа;
15. Для определения значений ЭДС, полного сопротивления, фазных токов нагрузки и тока в нейтральном проводе необходимо воспользоваться функцией, МНИМ.ABS;
16. Для определения сдвигов фаз можно воспользоваться функцией
МНИМ.АРГУМЕНТ, которая возвращает значение угла в радианах;
17.
Для перевода значения углов из радиан в градусы можно воспользоваться функцией ГРАДУСЫ.
Рабочий лист после выполнения всех операций должен выглядеть, как показано на рис. 4.13 (режим показа формул – рис. 4.14).
Изменение режима нагрузки позволяет автоматически пересчитать нужные параметры электрической цепи.
Рис. 4.13. Рабочий лист Excel с комплексным методом расчета электрических
цепей переменного тока
При обрыве нейтрального провода необходимо рассчитывать напряжение смещения нейтрали
Nn
U
по формуле
1 1
1 1
1 1
A
B
C
A
B
C
Nn
A
B
C
E
E
E
Z
Z
Z
U
Z
Z
Z
(4.9)

81
Рис. 4.14. Рабочий лист Excel с комплексным методом расчета электрических
цепей переменного тока в режиме показа формул
Для вычисления комплексных проводимостей
1
k
k
Y
Z
необходимо воспользуемся функцией МНИМ.ДЕЛ, а для вычисления произведения
k
k
E
Y
– функцией МНИМ.ПРОИЗВЕД.
Часть рабочего листа с расчетом напряжения смещения нейтрали выглядит так, как показано на рис. 4.15 (режим показа формул – рис. 4.16).
Рис. 4.15. Часть рабочего листа Excel с комплексным методом расчета
напряжения смещения нейтрали в трехпроводной трехфазной электрической цепи

82
Рис. 4.16. Часть рабочего листа Excel с комплексным методом расчета
напряжения смещения нейтрали в режиме показа формул
4.4. Анализ и расчет электротехнических устройств в программе Excel.
Электротехническое устройство – это совокупностью компонентов, предназначенных для производства, передачи, преобразования и использования электрического тока.
При анализе и расчете электротехнических устройств осуществляется решение определенного вида задач.
4.4.1. Расчет электротехнических устройств в Excel
Расчет электротехнических устройств это задачи, связанные с определением напряжений, токов и мощностей различных элементов электрических цепей устройства при заданных их параметрах. Нередко возникает и другая задача, когда бывает необходимо найти значения параметров тех или иных элементов, например электродвижущих сил
(ЭДС) источников, обеспечивающих получение требуемых напряжений, токов или мощностей.
В качестве примера рассмотрим задачу, связанную с расчетом числа витков W катушки индуктивности, намотанной на тороидальный магнитопровод рис. 4.17.
Ф
Ф
i
2 r
2 R
Рис. 4.17. Катушка индуктивности

83
Исходными данными при решении этой задачи являются геометрические размеры магнитопровода:
6 160 10
м
R
,
6 32 10
м
r
; относительная магнитная проницаемость магнитопровода
160 .
При этом необходимо рассчитать число витков катушки для того, чтобы получить требуемую индуктивность
0
L
равную
0.05 Гн
Основой для решения данной задачи является компонентное уравнение, определяющее индуктивность катушки в виде отношения потокосцепления к току
L
i
. (4.10)
Где потокосцепление катушки пропорционально произведению числа витков W на средний поток Ф через сечение магнитопровода площадью S.
Ф
W
. (4.11)
Площадь сечения тороидального магнитопровода определяется в виде
2
π
S
r
(4.12)
Согласно закону полного тока i w
H l
можно выразить ток в катушке
H l
i
W
, (4.13) где H – напряжённость магнитного поля; l – длина средней силовой линии магнитопровода.
2 π
l
R
r
. (4.14)
Поток Ф через поперечное сечение магнитопровода пропорционален произведению магнитной индукции B на площадь сечения S :
Ф = B S
(4.15)
Магнитная индукция B связана с напряжённостью магнитного поля
H :
0
μ μ
B
H
,
(4.16) где
7 0
Гн
4 π 10
м
– магнитная постоянная.
Учитывая (4.10) – (4.16), индуктивность катушки определяется как
2 2
2 2
0 0
μ μ
π
μ μ
Ф
2 π
H
W
r
W
W
S B
S
L W
W
H l
i
H l
l
H
R
r
W
,
2 2
0
μ μ
2
W
r
L W
R
r
(4.17)
Согласно условиям задачи составим нелинейное уравнение
0 0
L W
L
(4.18)