Файл: правильные и полуправильные многогранники по дисциплине Математика.docx
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 421
Скачиваний: 18
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ И НАУКИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ТОРГОВО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙЙ КОЛЛЕДЖ»
Индивидуальный проект
на тему:
«ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ»
по дисциплине «Математика»
Профессия СПО:43.01.09 «Повар - кондитер»
Выполнила:
Юрова Кира Константиновна
Курс 1, групп ПК 1/2
Научный руководитель –
учитель математики
Дадова Радиана Владимировна
Работа защищена
« » 2023г. с оценкой
СОДЕРЖАНИЕ:
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………………5
1. Основные понятия………………………………………………………….5
2. Тела Платона………………………………………………………………..6
2.1. История названия правильных многогранников…………………….7
2.2 Почему их только пять?. ………………………………………………8
3. Полуправильные многогранники……………………………………………..9
3.1. Тела Архимеда…………………………………………………………9
3.2 Тела Кеплера-Пуансо. ………………………………………………… 10
3.3. Тела Федорова. ………………………………………………………... 10
3.4. Каталановы тела………………………………………………………..11
4. Биография Платона…………………………………………………………….11
4.1 Деятельность в цитатах. ……………………………………………..…12
4.2. Философия Платона…………………………………………………… 12
ПРОНИКНОВЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ОКРУЖАЮЩИЙ МИР……..………………….. …..14
1.Теория Кеплера………………………………………………………………….14
2.Многогранники в искусстве……………………………………………………15
3. Многогранники в природе……………………………………………………..17
4. Мифические существа - духи………………………………………………….19
5. Планета Земля и многогранники………………………………………………
20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………...…………………….22
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………...………………….23
ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………………24
ВВЕДЕНИЕ.
Если самые замечательные открытия
древних математиков охватываются
теперь элементарной математикой...
то это потому, что открытия сведены
к фактам.
(1715—1771) —
французский литератор и философ-материалист
утилитарного направления; идеолог французской
буржуазии эпохи Просвещения.
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с изучением формы, размеров и взаимного расположения пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул, и строители, рассчитывающие постройку или разрушение зданий, и малыш в детском саду, строящий пирамидку из кубиков. Таким образом устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов.
Изучая математику в школе меня особо заинтересовал такой её раздел, как геометрия, в частности её раздел - стереометрия (от греч. «стереос» — обьѐмный, «метрео»— измеряю), в котором изучаются фигуры в пространстве и который в школе я ещё не изучала.
В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых:
скрещивающиеся прямые (например дорога на мосту и под мостом, то есть они не пересекаются).
Меня привлек и особенно заинтересовал такой раздел стереометрии, как «Правильные многогранники». При этом невозможно не затронуть такой невероятно красивый материал, сопутствующий данной теме, как «Полуправильные многогранники». Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы (Почему правильных многогранников только пять?).
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и
красотой, как правильные многогранники и сложностью своих форм, как полуправильные многогранники. Они открыли нам попытки
ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую
привлекательность геометрии.
Мной был изучен необходимый непрограммный материал, и захотелось расширить свои знания и представления по данной теме.
Предложенная тема предположила цель работы:
- ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами;
- развитие пространственного мышления, умения обобщать и анализировать новый материал;
- выяснение значимости понятий правильных и полуправильных многогранников в различных сферах деятельности человека.
В связи с поставленной перед собой целью необходимо было решить ряд
задач:
1) организовать поиск, изучение различных источников информации
(печатные, электронные, интернет) и отбор материала, представляющего
интерес по обозначенной теме;
2) обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;
3.) оценить результат проделанной работы.
Практическая значимость реферата:
Представить ценность данного материала в обычной жизни каждого человека.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Основные понятия.
Стереометрия - часть геометрии, в которой изучаются фигуры в пространстве. Стереометрия включает изучение плоскостей, объемных геометрических тел, их всевозможных сечений и комбинаций, а также измерение объемов и площадей тел.
Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер. Кроме того правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.
Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.
Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры граней куба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.
Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это – любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять.
Можно доказать, что отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра – не что иное, как золотое сечение.
Теперь докажем равенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O. Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пять точек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны.
Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. соединяя середины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильнгый пятиугольни. Всего таких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы.
2. Тела Платона.
Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которыхправильные многоугольники.
Существует всего пять правильных многогранников:
2.1. История названия правильных многогранников.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.
Итак, тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.
Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть.
Октаэдр - восьмигранник, "окто" – восемь.
Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать;
Икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.
2.2 Почему их только пять?
Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.
Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.
-
Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник. -
Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°. -
Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.
Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
3. Полуправильные многогранники
Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками.